向后差分格式

3.1向后差分格式

向后差分格式

022

=+----+-h u u u a

u u n

j n j n j n j

n j τ

（1.10）

)(0j j x g u =

现将（1.10）式化为等价性式

11)21(--+=-++-n j n j n j n j u u a u a u a λλλ

其中2

h τ

λ=，求差分格式的数值解，只需求如上差分格式按j 展开后形成的线性

方程组

????

?????

????????

???+?+=???????????????

??????????????????

???

?????+-?

-+???????

+-?-+-?-+---------n

M n M n M n n n n n M n M n n n u a u u u u u a u u u u u u a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλ

λ1

112

111232121000

2100000100010

0021 为了（1.10）的数值解，就求出如上线性方程组就可以．

3.2向后差分格式的截断误差

现在讨论差分格式（1.10）的截断误差，由泰勒展开式得到 -??+??-??=--3

332221][!31][!21][τττn j n j n j n j

u t u t u u u … （1.11）由（1.11）式（1.9）式得

u u u a

u u n j n j n j n j

n j -+-+---τ

=-??+??-??3

33222][!31][!21][τττn j n j n j t u t u t u …

+??+??+??-4

6624422][!62][!42]{[h x u h x u x

u a n j n j n j …

=+??-??-??-??2

442222][!41][!21][][h x u a t u x

u a x u n j n j n j n j τ…

假设),(t x u 是充分光滑的，就可以得到其截断误差为

+??-??-??-??=2

442222][!41][!21}][]{[),(h x u a t u x u a x u t x T n j n j n j n j τ…

+??-??-=2

4422][!41][!21h x

u a t u n j n j τ…

所以说它的精度是1，并且当0→τ，0→h 时，0),(→t x T ，所以此差分格式是相容的．

3.3向后差分格式的和稳定性分析

如下本文给出向后差分格式的稳定性的Fourier 方法．令ikjh

n n j e

v u =，并将它代入上式得

ikjh n h j ik n ikjh n h j ik n e v e v a e v a e v a 1)1()1()21(--+=-++-λλλ

消去公因子ikjh e 有

1])21([--=-++-n ikh ikh n v e a a e a v λλλ

由此得增长因子为

ikh

ikh e a a e a k G --++-=

λλλτ)21(1

),(

令kh i kh e ikjh sin cos +=，kh i kh e ikjh sin cos -=-，得

sin 411),(2

a k G λτ+=

由于0>a ，所以对任何网格比λ都有(,)1G k τ<，所以向后差分格式是无条件稳定的，并且收敛的．

(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法

抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：（1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近取 N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τ k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ= 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)k j k j u u x t t t ????≡ ? ????）： ()() ()ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()2112,,ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--,,1 ()() ()2112,,h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()() ()2 222 11,,2,h O x u h t x u t x u t x u k j k j k j k j +???? ????=+--+ 可得到以下几种最简差分格式

差分格式

§1. 差分 1．一阶导数的差分近似（差商）导数的定义： ()()()0 000 lim x x f x f x f x x x ?-￠= - 导数的近似： ()()()10010 f x f x f x x x -￠?- （当 1x 与 0x 足够接近时）这样的表达式称为差商，它可作为导数的近似，称为导数的差分近似。误差分析－泰勒展开：将 ()1f x 在 0x 处做泰勒展开，有 ()()()()()()2100100101 2f x f x f x x x f x x x ⅱ?=+-+-+L 于是 ()()()() 1001010 f x f x f x x x x x -￠- =-- 各种差分近似：取 0h >（称为步长），则可以有向前差分近似（相当于取 100x x h x =+>） ()()() 000f x h f x f x h +-￠?

向后差分近似（相当于取 100x x h x =-<） ()()() 000f x f x h f x h --￠? 中心差分近似（前差近似与后差近似的算术平均） ()()() 0002f x h f x h f x h +--￠? 2．差分近似的一般形式差分近似的一般形式可写成 ()()()() () ()()()022********* m m n n f x c f x c f x c f x h c f x c f x c f x c f x ------é ￠? ++ê?+ù++++ú? L L 或简写为 ()()01n j j j m f x c f x h =-￠?? 称为一阶导数 ()0f x ￠的一个 1m n ++ 点差分近似。这里 0 ( , , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , , )j x x jh j m n =+=---L L

Poisson方程九点差分格式_米瑞琪

数值实验报告I 实验名称Poisson方程九点差分格式实验时间2016年 4 月 15 日姓名米瑞琪班级信息1303学号04成绩一、实验目的，内容 1、理解Poisson方程九点差分格式的构造原理； 2、理解因为网格点的不同排序方式造成的系数矩阵格式的差异； 3、学会利用matlab的spdiags(),kron()函数生成系数矩阵；二、算法描述针对一个Poisson方程问题：在Poisson方程五点差分格式的基础上，采用Taylor展开分析五点差分算子的截断误差，可以得到：为了提高算子截断误差的精度，在(1)式中配凑出了差分算子的形式，将原Poisson方程代入（1）式有：考虑，有：

将（3）代回（2）可得得到Poisson方程的九点差分格式：在计算机上实现（4）式，需要在五点差分格式的基础上在等式两端分别增加一部分，将等式左侧新增的部分写成紧凑格式，有：对于该矩阵，可以看成是两个矩阵的组合：

以及则生成这两个矩阵可以采用Kroncker生成，方法类似于五点差分格式。对于右端添加的关于f(x,y)的二阶导数，可以采用中心差分格式进行近似代替，即：写成相应的紧凑格式有：

该式中的矩阵又可以分解为两个矩阵的和：

%计算误差 u_real=@(x,y)exp(pi*(x+y))*sin(pi*x).*sin(pi*y); for i=1:N1-1 u_m((i-1)*(N2-1)+1:i*(N2-1))=u_real(x(i),y); end u_v=u_m'; err_d=max(abs(u_d-u_v)); sol=reshape(u_d,N2-1,N1-1); mesh(X,Y,sol) 四. 数值结果针对课本P93给出的问题，分别采用步长，将计算出的误差列表如下：步长五点差分格式误差九点差分格式误差可见采用九点差分格式可以进一步缩小误差，达到更高阶的精度。五. 计算中出现的问题，解决方法及体会在生成九点差分格式的时候，等号右端涉及到了对f的二阶偏导，我最初利用符号函数定义了f,随后求出其二阶偏导（仍然是符号函数）之后带入网格点，求f二阶偏导的精确解，但是代入过程相当繁琐，运行速度非常慢，最终我改变策略，选用f关于x,y的二阶中心差分格式替代精确值，最终得到了相对满意的结果。教师评语指导教师：年月日

对流扩散方程有限差分方法.

对流扩散方程有限差分方法求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。 3.1 中心差分格式时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[ 2 1 11 1122h u u u v h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j -+-+++-=-+-τ （3）若令 h a τ λ=，2h v τ μ=，则（3）式可改写为 )2()(2 111111 n j n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4）从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1 +n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对流扩散方程的显示格式。假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1 +n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处进行Taylor 展开： )(),(),(211ττO t u t x u t x u u n j n j n j n j +??? ?????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????-==-- 代入(4)式，有 2 111 1122),(h u u u v h u u a u u t x T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-+++---+-= τ )()()(2222 h O v x u v h O a x u a O t u n j n j n j ?-????????-?+????????++????????=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u n j n j n j ?-++????????-??? ?????+????????=τ

利用中心差分格式数值求解导数

利用中心差分格式数值求解导数目录一、问题描述 (2) 二、格式离散 (2) 二阶导数中心差格式离散 (2) 追赶法求解线性方程组简述 (3) 计算流程图 (5) 三、程序中主要符号和数组意义 (5) 四、计算结果与讨论 (6) 五、源程序 (9)

一、问题描述利用中心差分格式近似导数22/dx y d ，数值求解 ()x dx y d 2sin 22= ()10≤≤x 1 /,0/10====x x y y 步长分别取 0001.0,001.0,01.0, 05.0=?x 二、格式离散将x 轴上[0,1]之间的线段按上述步长，等步长的离散为n 个小段，包括端点，共n+1个网格节点，示意图如下：线段上边的数字表示x 轴上的坐标值，线段下边的数字表示节点编号，从0到n 编号。二阶导数中心差格式离散 211222)2sin(x y y y dx y d x i i i ?+-==+- 整理为线性方程形式 )2sin(2211x x y y y i i i ?=+-+- 其中，x ? 为空间离散步长；i=1,2，……，n-1 包括边界条件的线性方程组如下：

边界条件边界条件0 ) *)1(*2sin(2......... ..........) **2sin(2..................) *1*2sin(20 21221122100=?-?=+-??=+-??=+-=--+-n n n n i i i y x n x y y y x i x y y y x x y y y y 改写成矩阵形式： f Ay = 其中，?????? ????????????????????----=1012112112112101 A ，??????????????????????=-n n i y y y y y y 110 ，??????????????????????=-n n i f f f f f f 110 系数矩阵A 中仅三对角线上的数值不全为0，其余位置上的数值全为0，是典型的对角占优的三对角矩阵，列向量f 中，)2sin(2x i x f i ??=，且10==n f f ，作为边界条件。追赶法求解线性方程组简述 ????? ?????????????????=??????????????????????????----=---n n n n n i i i b a c b a c b a c b a c b A 1111110 01012112112112101

珞琪rtk无人机后差分数据处理案例

RTK无人机数据处理案例本次工程的主要内容是通过机载RTK获取无人机在飞行过程中的持续观察数据，将RTK数据导入差分后处理软件（PPK软件）RockyPPS进行处理，获取无人机拍照时的高精度POS数据（即无人机在拍照时的三维地理信息），再将POS数据与拍摄照片导入影像后处理软件PhotoMetric中完成三维重建工作，得到拍摄区域内的三维地理信息，将其与在地面预先测算好的检校点进行比较分析，得到整体三维重建的精度情况。一、工程概况本次作业区域大小为1000米乘800米，飞行高度为370米，拍摄相片数量为76张，RTK基站信息格式为UniCore格式，RTK流动站信息格式为OEMV，预设的检校点数量为20个，检校点坐标系为国家2000大地坐标系。 pt0546067.06573370255.36623.4217 pt1546249.152********.49715.4442 pt2546302.92513370959.91514.676 pt3546077.69143370976.09419.129 pt4546057.95183370642.55119.5544 pt5545899.63453370808.34422.7109 pt6545840.7833371091.50222.6866 pt7546440.97263370969.24411.7632 pt8546439.66423370825.79111.031 pt9546452.0933370744.30510.5249 pt10546458.87263370674.86810.1986 pt11546469.47463370537.539.3458 pt12546510.29083370408.2988.5436

3差分格式

§3. 热传导方程上一节曾指出，由于定解问题中的每一个偏导数都有多种差分近似，所以一个定解问题可以有多个不同的差分格式。下面以热传导方程为例，对此展开讨论。为简单起见，先不给出定解条件。考虑热传导方程 2 2u u t x 抖=?? 方程中出现了一阶时间导数 u t ?? 和二间空间导数 22u x ?? 。对于一阶时间导数 u t ?? ，常用的差分近似就有三种，记向前差分近似 1n n n j j j u u u t t +-?ü 禗向后差分近似 1 n n n j j j u u u t t --?ü 禗中心差分近似 11 2n n n j j j u u u t t +--?ü 禗这里，我们用“ü”代表上一节推导差分近似的过程。

前面已经看到，二阶导数通常用中心差分近似。对这里的二阶空间导数的中心差分近似为 2 11 2 2 2n n n n j j j j u u u u x x +--+?ü 禗但是也可以考虑其他可能的方案。由泰勒展开，有 ()1 2 232 2 222 n n n n j j j j u u u u t t x x t x x O +抖抖= +D +=+D 抖抖?L ()1 2 2 3 2 2 222 n n n n j j j j u u u u t t x x t x x O -抖抖= -D +=+D 抖抖?L 所以，如果用 1 2 2 n j u x +?? 或 1 2 2 n j u x -?? 代替 2 2 n j u x ?? ，虽然会引入新的误差，但这种误差与差分近似已有的误差为同一量级的，因而还是可以接受的。这样一来，二阶空间导数的差分近似又有了两种新的方案 1 1112 2 11 2 2 2 2n n n n n j j j j j u u u u u x x x +++++--+抖苘抖D 1 1112 2 11 2 2 2 2n n n n n j j j j j u u u u u x x x ----+--+抖苘抖D

单基准站模式下多种GNSS差分数据的传输

单基准站模式下多种GNSS差分数据的传输平先才，陈星荣，梁向棋，吕娇，舒晓明（长江航道测量中心，湖北武汉 430000）摘　要：本文针对单基准站单一GNSS差分数据的传输问题，对拥有内置无线模块的天宝SPS985做了分析和研究，根据仪器的通讯数据格式以及其所支持的协议设置实现了单基准站模式下多种GNSS差分数据的传输，并做了利用4G路由器为天宝SPS985基准站提供网路信号的实验，实验表明，该方法解决了单基准站模式下多种GNSS差分数据不兼容的问题，实现了使用天宝SPS985网络基站时，市场上主流的GNSS接收机间的多种差分数据传输。该技术可以广泛应用于测绘领域。关键词：单基准站模式；多种GNSS差分数据；多种GNSS接收机；4G无线路由中图分类号：P228.4 文献标识码：A 文章编号：1006—7973（2018）8-0043-02 DOI编码：10.13646/https://www.360docs.net/doc/e411643799.html,ki.42-1395/u.2018.08.019 从上个世纪70年代开始，随着信息技术的高速发展，卫星导航定位（GNSS)精度的一步步提升，使其在建筑、渔业、气象、电信、测绘等行业得到大幅度深层次地扩展应用。由于GNSS具有高精度、全天候、高效率、多功能、操作简便等特点，在常规的大比例尺地形图测绘项目中，利用GNSS测量技术很大程度上提高了测量作业的效率和可靠性，大大降低技术人员的作业强度。但是，在实际生产测绘作业过程中，当我们遇到GNSS接收机品牌类型多但是同一型号仪器的数量少的时候，往往需要架设两个甚至多个基准站，这个时候整个过程就略显繁琐，也会浪费一部分人力物力资源。于是设想，使用其中某一个GNSS 接收机架设基准站，其他各种品牌型号的 GNSS接收机作为流动站都能正常接收差分信号，并能保障其日常作业精度等要求，该功能的实现，可以为技术人员提供更加便捷高效的测绘作业。 1 常用GNSS接收机介绍全球导航卫星系统(Global Navigation Satellite System），简称GNSS，它是所有全球导航卫星系统及其增强系统的集合名词，是利用全球的所有导航卫星所建立的覆盖全球的全天侯无线电导航系统。目前，GNSS包含了美国的GPS、俄罗斯的GLONASS、中国的Compass(北斗)、欧盟的Galileo系统，SBAS 广域差分系统，DORIS星载多普勒无线电定轨定位系统，QZSS 准天顶卫星系统，GAGAN GPS静地卫星增强系统等，可用的卫星数目达到100颗以上。它利用了众多卫星导航系统中的一个或多个系统进行导航定位，并同时提供卫星的完备性检验信息(Integrity Checking)和足够的导航安全性预警信息。表1列出了5种市场上常用的GNSS接收机型号的通讯数据格式及支持模式。从表1可以看出，不同品牌的GNSS接收机和同一品牌不同型号的GNSS接收机，它们通讯数据格式及支持模式都不一样。在表1品牌型号的GNSS接收机中只有天宝系列可以支持多种协议、多种数据格式信号，但是在使用天宝系列架设网络基站时，差分数据通过手簿网络上传服务器进行转发，在这种测量模式型号通讯数据格式支持模式天宝R8差分数据格式CMR+、CMRx、RTCM2.1、RTCM2.3、RTCM3.0、 RTCM3.1、RTCM3.2 网络模式支持支持Trimble、Pacific Crest和SATEL无线电协议天宝SPS985 差分数据格式CMR 、CMR+、CMRx、RTCM3、RTCM2.X 网络模式支持支持TCP/IP协议，支持NTRIP协议中海达H32 差分数据格式CMR、RTCM2.X、RTCM3.0、RTCM3.2 网络模式支持支持UDP和TCP/IP协议，支持NTRIP协议南方银河1差分数据格式CMR+、CMRx、RTCM2.1、RTCM2.3、RTCM3.0、 RTCM3.1、RTCM3.2 网络模式支持VRS、FKP、MAC，支持NTRIP协议莱卡GS15 差分数据格式Leica、Leica4G、CMR、CMR+、RTCM2.1/2.3/3.0/3.1 网络模式支持支持TCP/IP协议，支持NTRIP协议表1 各品牌型号GNSS接收机的主要通讯数据格式及支持模式 C W T中国水运2018·0843

一阶中心差分格式

中心差分格式的程序实现数学10-1班余帆 10072121 1、考虑问题考虑二阶常微分方程边值问题： f qu dx u d Lu =+-=22 （1） βα==)(,)(b u a u 其中q ，f 为[a,b]上的连续函数，βα,为常数。 2、网格剖分与差分格式将区间[a,b]分成N 等分,分点为 N i ih a x i ,,1,0,???=+= , h=(b-a)/N,于是我们得到区间I=[a,b]的网格剖分，i x 为网格节点，h 为步长。差分格式为： . ,,1,,2,1202 1 1βα==-???==++--=-+N i i i i i i i h u u N i f u q h u u u u L 3、截断误差将方程（1）在节点离散化，由泰勒公式展开得 )()(12)()()(2)(344 2222 1 1h dx x u d h dx x u d h x u x u x u i i i i i O +??????+??????=+--+ 所以截断误差为 )()(12)(3 44 2h dx x u d h u R i i O +? ?????-=

4、数值例子 x x q e x u x sin 1)()(+== x e x f x sin )(= 其中[]1 ,0∈x 5、求解由f qu dx u d Lu =+-=22， x e x f x sin )(= x x q e x u x sin 1)()(+== 将向量式的差分格式用矩阵形式表示出来，得到矩阵形式为 ????????????? ?+--+--+-212 22 12112112h q h q h q N ????????????-121N u u u = ?????? ? ????? ??++-βα 12 2 212N f h f h f h 系数矩阵A=??? ? ? ? ? ??? ? ???+--+--+-212 22 12112112h q h q h q N ，我们可以利用高斯消去法求得u （x ）的数值解。 6、实验结果程序输出结果：取N=10；逼近解u1 真解u 1.10521961652189 1.10517091807565 1.22149147782632 1.22140275816017

偏微分中心差分格式实验报告(含matlab程序)

二阶常微分方程的中心差分求解学校:中国石油大学（华东）理学院姓名：张道德一、实验目的 1、构造二阶常微分边值问题: 22,(),(), d u Lu qu f a x b dx u a u b αβ?=-+=<

11122 222222333222122112 100121012010012 00N N N u f q h h u f q h h h u f q h h h q u f h h ---???? ??+-???? ??? ???? ???????-+-? ?????? ???????????=-+? ?????? ???????????-???? ????????-+????? ?? ????? 可以看出系数矩阵为三对角矩阵，而对于系数矩阵为三对角矩阵的方程组可以用“追赶法”求解，则可以得出二阶常微分方程问题的数值解。四、举例求解我们选取的二阶常微分方程边值问题为： 2 22242,01 (0)1,(1), x d u Lu x u e x dx u u e ?=-+=-<

中心差分格式

中心差分格式 1、考虑问题考虑二阶常微分方程边值问题： f qu dx u d Lu =+-=22 （1） βα==)(,)(b u a u 其中q ，f 为[a,b]上的连续函数，βα,为常数。 2、网格剖分与差分格式将区间[a,b]分成N 等分,分点为 N i ih a x i ,,1,0,???=+=, h=(b-a)/N,于是我们得到区间I=[a,b]的网格剖分，i x 为网格节点，h 为步长。差分格式为： .,,1,,2,120211βα==-???==++-- =-+N i i i i i i i h u u N i f u q h u u u u L 3、截断误差将方程（1）在节点离散化，由泰勒公式展开得 )()(12)()()(2)(344222211h dx x u d h dx x u d h x u x u x u i i i i i O +??????+??????=+--+ 所以截断误差为 )()(12)(3442h dx x u d h u R i i O +??????-= 4、数值例子

x x q e x u x sin 1)()(+== 其中[]1,0∈x 5、求解由f qu dx u d Lu =+-=22，且已知 x x q e x u x sin 1)()(+== 可得x e x f x sin )(= 将向量式的差分格式用矩阵形式表示出来，得到矩阵形式为 ??????????????+--+--+-21222 1211 21 12h q h q h q N ????????????-121N u u u =??????????????++-βα122212N f h f h f h 系数矩阵A=?????? ????????+--+--+-212 221211211 2h q h q h q N ，我们求出矩阵A 极其逆便可求得u （x ）的数值解。 6、参考文献《偏微分方程数值解法》李荣华高等教育出版社《科学计算中的有限差分法》《MATLAB 程序设计教程》刘卫国中国水利水电出版社

2差分格式的构造

§2. 差分格式的构造 1．差分格式对于描述流体流动的微分方程定解问题，用差分来近似方程及定解条件中的导数，就可以构造出该定解问题的差分格式。【例】波动方程初边值定解问题 ()()()()()()()22 2 22010 , , 0 , , , , 0 ,0 , , a b t u u c a x b t t x u a t g t u b t g t t u x x a x b u x a x b t ??=ì?抖?=＃ ??抖???????==>????í???=<

b a x M -D = ，时间 t 方向的步长取为 T t N D = ，记 n t n t =D ，（0,1,2,,n N =L ） j x a j x =+D ，（0,1,2,, j M =L ）求解区域里像 () ,n j x t 这样的点称作网格点。定解问题的离散化：在网格点 () ,n j x t 处列出方程 2 2 2 2 2n n j j u u c t x 抖=抖对方程中的二阶时间导数和二阶空间导数，都采用中心差分近似，即 ()()( )() 11 2 2 2 2 ,2,,n n n n j j j j u x t u x t u x t u t t t O +--+?= +D 禗 ()()( )() 2 112 2 2 ,2,,n n n n j j j j u x t u x t u x t u x x x O +--+?= +D 禗代入原方程，就有 ()()( )() ()()( )() 11 2 2 112 2 2 ,2,,,2,,n n n j j j n n n j j j u x t u x t u x t t t u x t u x t u x t c x t O O +-+--++D D -+=+D D

有限差分法

有限差分法有限差分法 finite difference method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛

对流占优扩散方程的差分法

摘要对流占优扩散方程主要包含对流项和扩散项，其中对流项系数远远大于扩散项系数。在数值计算中，方程中的扩散项一般采用具有优良物理特性和计算精度的中心差分离散格式，而关于对流项的处理就稍显困难，若处理不当便会产生数值震荡或数值弥散，给数值计算带来困难。因此，需要对求解的方法做出改进。本文主要讨论迎风差分格式，迎风加权差分格式，以及特征有限差分格式。三种方法都能够消除数值震荡，但各种方法间又各有差异。迎风格式计算量较小，能够消除数值震荡，但是数值解的精度不高。特征有限差分格式中含有多个未知的点，计算量特别大，从误差分析中可以看出，其数值解拥有较高的精度。迎风加权差分格式，是在迎风格式的基础上改进得到的，精度较高，其数值解不仅受到时间和空间步长的影响，还受到不同参数的影响。可以选取不同的参数是迎风加权格式的一个优点。关键词：对流占优扩散方程；迎风格式；迎风加权差分格式；特征有限差分法

Abstract Convection-dominated diffusion problems mainly contain convection and diffusion terms, which the convection coefficient is much larger than the diffusion coefficient. In the numerical calculation, diffusion terms in the equation commonly used central difference discretization scheme with excellent physical properties and calculation accuracy. However, the method of the convective terms slightly difficult. It would produce numerical shock or numerical dispersion if not handled properly. Therefore, we need to make some improvements. This article focuses on upwind difference scheme, upstream weighted scheme, as well as characteristic finite difference method. The numerical oscillation can be eliminated by all three methods, but there are differences between each method. Upwind difference scheme has smaller amount of calculation, to eliminate the numerical oscillation, but the accuracy of numerical solution is not as good as we expect. Characteristic finite difference method which contains a number of unknown point, with a large amount of calculation, and we can see from the error analysis, the accuracy of numerical solution is much higher. Upstream weighted scheme, which improved based on upwind scheme, is not only influenced by the time and space step, but also affected by different parameter of . To choose a different parameter of is also an advantage of upstream weighted scheme. Key Words: Convection-dominated diffusion problem; Upwind difference scheme; Upstream weighted scheme; Characteristic finite difference method

(完整版)有限差分方法概述

有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是数值方法中最经典的方法，也是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。下面我们从有限差分方法的基本思想、技术要点、应用步骤三个方面来深入了解一下有限差分方法。 1.基本思想有限差分算法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，再将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。 2.技术要点如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分

对流扩散方程有限差分方法

对流扩散方程有限差分方法求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隐式差分格式。 3.1中心差分格式时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了流扩散方程的显示格式。处进行Taylor展开: 1) 式的中心差分格式[6] n 1 n U j U j n n U j 1 U j 1 a 2h n U j 1 v n n 2U j U j 1 h2 (3) 若令a h， n 1 U j n U j Vp，则 h 1 / n 2(U 1 (3)式可改写为 n n U j 1) (U j 1 2u：n \ U j 1) (4) 从上式我们看到, 在新的时间层n 1上只包含了一个未知量n U j 1，它可以由时间层n上的值U；1，U j n，U；1直接计算出来。因此, 中心差分格式是求解对假定u(x,t)是定解问题的充分光滑的解，将n 1 U j n U j U； 1 分别在(X j,t n) n U j U(X j,t n 1) U(X j,t n) 0( 2) n U j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) n U j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) U n h2 2 U n X j 2 2 X j U n h2 2 U n X j 2 2 X j 代入⑷式，有 T (X j,t n) n 1 U j n U j n n U j 1 U j 1 a 2h 2U n h2 n 0() n 2 a 0(h ) 2 U 2 X n 2 v 0(h ) j h h n U j 1 0(h3) 0(h3) n U j 1 v ---

利用中心差分格式数值求解导数讲课讲稿

利用中心差分格式数值求解导数

利用中心差分格式数值求解导数目录一、问题描述 ................................................................................................................................... 2 二、格式离散 .. (3) 二阶导数中心差格式离散 ...................................................................................................... 3 追赶法求解线性方程组简述 .................................................................................................. 5 计算流程图 ............................................................................................................................. 7 三、程序中主要符号和数组意义 ................................................................................................... 7 四、计算结果与讨论 ....................................................................................................................... 8 五、源程序. (11) 一、问题描述利用中心差分格式近似导数22/dx y d ，数值求解 ()x dx y d 2sin 2 2= ()10≤≤x 1/,0/10====x x y y