高中数学知识要点重温(19)空间中的角和距离知识点分析

Q

B

C

P

A

D

O

N 图1-1

图1-2

高中数学知识要点重温（19）空间中的角和距离

1．解立几题要有化平几思想：所有求空间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解，有时还可以将要求的角（或线段）所在的平面分离出来，这样清楚醒目，便于求解，不易出错。 2．研究异面直线所成的角通常有两种方法。①通过平移使之成为一个平面角，然后解三角形求得；②在空间直角坐标系中利用向量的夹角公式。[注意] 异面直线所成角的范围是：（00，

900]， 如： cos <，>=-31

,则异面直线 a, b 所成的角为

arccos 31。

[举例] 如图, 已知两个正四棱锥

ABCD Q ABCD P --与的高分别为1和2,

4=AB ，(Ⅰ) 证明: ABCD PQ 平面⊥ ;

(Ⅱ) 求异面直线AQ 与PB 所成的角;

解析：(Ⅰ)记AC 、BD 交于O ，连PO 、QO ， 则PO ⊥面ABCD ，QO ⊥面ABCD ，∴P 、Q 、O 共线，PQ ⊥面ABCD ； (Ⅱ)方法一：“平移”：注意到AC 、PQ 交于O ， 取OC 的中点N ，连结PN ，BN ，

∵11,22PO NO NO OQ OA OC ===，∴

PO

NO

OQ OA =，故AQ ∥P Ｎ. ∠

BP Ｎ是异面直线AQ 与PB 所成的角（或其补角）

. PB ==

∵

BN ===∴

222cos 29PB PN BN BPN PB PN

+-∠===

? 故异面直线AQ 与PB 所成的角是

．

方法二：“建系”：由题设知，ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥．由（I ），PQ ⊥平面ABCD ，故 可以分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴，

y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图1-2），由题设，

相关各点的坐标分别是(0,0,1)P ，(0,0,2)Q -，B

，)2,0,22(--=AQ ，

(0,1)PB =-,于是

3cos ,AQ PB AQ PB AQ PB

?<>=

=

?

注：在“平移”时常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四

边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。

[巩固1]异面直线 a, b 所成的角为600，则过空间中一点P 与a, b 都成300的直线有几条？与a, b 都成500的直线有几条？与a, b 都成600的直线有几条？与a, b 都成700的直线有几条？[变形]过大小为600的二面角外一点P 作与它的两个面都成600的直线有几条？ [巩固2 ]设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E(如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，

此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线

与AE 所成角的大小等于_________．

3．直线与平面所成的角要“抓住”直线在平面内的射影，

然后在直角三角形内求得；直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最小值。线面角的范围：[00，900]。

[举例1] 在如图3-1所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，

DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．求CM 与平面CDE 所成的角．

（07高考浙江理16） 解析：方法一：“找射影”。过M 作MF ⊥ED 于F ，连CF ， 由CM ⊥AB ，CM ⊥AE 得CM ⊥面ABDE ，故CM ⊥ED ，

∴ED ⊥面CMF ，于是有面CED ⊥面CMF 于CF ，过M 作MH ⊥CF 于H ，则MH ⊥面CED ，∴∠MCH 为CM 与平面CDE

所成的角；

设EA a =，2BD BC AC a ===， 在直角梯形ABDE 中，

AB =，M 是AB 的中点，

所以3DE a =，EM =

，MD =，

得EMD △是直角三角形，其中90EMD =∠，∴MF=a 2

在Rt CMF △中，CM=MF ，∴ 45FCM =∠，故CM 与平面CDE 所成的角是45． 注：“作垂面”是求作点M 在面α内的射影的最重要、最常用的方法，其过程是：过M 点作平面β⊥α于l ，则M 在面α内的射影M/∈l 。

方法二：“建系”。如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为

z 轴，建立直角坐标系C xyz -，设EA a =，则(2A a 0，

E D

C

M

A

B

F H

E

D

C

M

A

图3-1

B

C A

D P N M 图3-2 Q C A D

P N

M 图3-3 E

C A

D P N M 图3-1 (020)B a ，，，(20)

E a a ，，．(022)D a a ，，，(0)M a a ，，．

设向量

001y z ()

，，n =与平面CDE 垂直，

则CE ⊥n ，CD ⊥n ，即n ·=0 , n ·=0,∵(20)CE a a =，

，，(022)CD a a =，，， 得：02y =，02x =-，即(1

22)=-，，n ，由向量夹角公式得：cos< n,>=22

, 直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM 夹角的余角，所以45θ=， 故直线CM 与平面CDE 所成的角是45．

注：线与面的法向量所成的角与线面角互余；注意到线面角不为钝角，故：AB 与面α所成的

角为：arcsin ||||n AB （为面α的法向量）。用法向量求线面角，以计算代替说理（找射影），最大限度地实现了“去逻辑化”，为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方便的路径；但是，并非所有的空间形体都可以建立适当的坐标系。

[举例2]如图3-1，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点. 求CD 与平面ADMN 所成的角。

解析：确定C 点在

面ADMN 上的射影Q 的位置很困难。方法一：“射影悬空”。先不管Q 点的位置，∠CDQ 为CD 与平面ADMN 所成的角，入图3-2；记BC=a,在Rt ⊿CQD 中，CD=5a,只需求出CQ （C 到面ADMN 的距离）即可，记为h ；注意到

ACD

M AMD C V V --=，不难知道]

⊿AMD 中AD 边上的高为AN ，AN=2a,∴AMD S ?=2a2；ACD S

?=2a2，M 到面ACD 的距离

为a ，

∴h=2a,故在Rt ⊿CQD 中，∠CDQ= arcsin 510

。注：射影“悬空”求线面角的“革命”性

意义在于绕开了求线面角中最困难的一步——确定射影的位置，把问题化归为求点到面的距离；而求点到面的距离可以通过“等积转换”实现，并不需要知道射影的确切位置。 方法二：“平移”线段。取AD 中点E ，连BE ，如图3-3，易见：BE ∥CD ，∴CD 与平面ADMN

A

B E

D C P A

B

E

D

C

P

F O

所成的角即BE 与平面ADMN 所成的角；不难证明：BN ⊥AN ，BN ⊥AC ，∴BN ⊥面ADMN ，即点B 在面ADMN 上的射影为N ，∠BEN 为BE 与平面ADMN 所成的角；记BC=a ，BN=2a ，

BE=5a ，在Rt ⊿BNE 中，∠BEN=arcsin 510

。本题也可以“建系”求，略。

[巩固1]太阳光线斜照地面，地面上与太阳光线成600角的直线有_________条？若太阳光线与地面成60°角时，要使一根长2米的竹竿影子最长，则竹竿与地面所成的角为 。 [巩固2] 在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ，PA=2BC ，点O 是AC 的中点，OP ⊥底面ABC ．求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．

4．求二面角的方法很多，概括起来有两类，一类是作平面角，一类是不作平面角。作平面角又有直接作和间接作两种，形形色色的方法都是在做一件事：作二面角的棱的垂面；而不作

平面角，要么建系用法向量求，要么用公式cos θ=S S /

（其中S 表示平面α内的封闭图形C 的

面积，S/表示C 在平面β内的射影C/的面积，θ表示α与β所成的锐二面角的大小）。二面角

θ的范围（00，1800)。如cos θ=-31，则θ= arccos （-31）=π- arccos 31。

[举例]如图在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是

直角梯形，∠ADC=2π

，AB ∥CD ，PC ⊥面ABCD ，

PC=AD=DC=21

AB ，E 为线段AB 的中点。

（1）求证：平面PAC ⊥平面PDE ；

（2）求二面角A-PE-D 的大小。 解析：（1）在直角梯形ABCD 中，容易知道四边形AECF 是

正方形，∴DE ⊥AC ，又DE ⊥PC ∴DE ⊥面PAC ，∴面PDE ⊥面PAC ；（2）记PC=a ，

方法一：用三垂线定理作二面角的平面角。记AC 、DE 交于O ，连PO ，PO 是相互垂直的平面PDE 和PAC 的交线，过A 作PO 的垂线交PO （的延长线）于F ，则AF ⊥面PDE ，即F 是A 在面PDE 内的射影，又容易证明AE ⊥面PEC ，则AE ⊥PE ，于是FE ⊥PE ，∴∠AEF 是二面角A-PE-D

的平面角；在⊿PAO 中有面积相等不难算出AF=33a ，而AE=a ，在Rt ⊿AFE 中，∠AEF=arcsin 33。

注：用三垂线定理作二面角的平面角，是作二面角的平面角的最常用、最重要的方法。其过程概括为：找一垂——找（作）一个面内一点P 在另一个面内的射影P/，作二垂——过P （或

P/）作二面角棱l 的垂线，垂足为Q ，连三垂——连P/Q ，则l ⊥P/Q ，于是∠PQ

P/为二面角的平面角；计算该角在直角三角形内进行；在上述过程中，“找一垂”是关键。方法二：射影“悬空”作二面角的平面角 注意到AE ⊥PE ，记点A 在面PDE 内的射影为F （无须知道点F 的确切位置），连EF ，则PE ⊥FE ，于是

A

B

E

D C

P

M

A

B E

D C

P

M

N C

A B

D

E ∠AE

F 是二面角A-PE-D 的平面角；以下问题化归 到求AF 的长度（即A 点到面PDE 的距离）上。以下 用“等积转换”求AF ，计算略。

方法三：利用平面图形的有关性质作二面角的平面角 注意到DP=DE=2a ，取PE 的中点M ，则PE ⊥DM ， 又容易知道AE ⊥PE ，取PA 的中点N ，连NM ，则 NM ∥AE ，∴PE ⊥MN ，于是∠NMD 为二面角A-PE-D 的平面角；以下在⊿DMN 中，用余弦定理求∠NMD ， 计算略。

方法四：用割补法求。视二面角A-PE-D 为二面角A-PE-C 与二面角D-PE-C 的差。对二面角A-PE-C ， ∵ AE ⊥面PEC ，∴面AEP ⊥面PEC ，

即二面角A-PE-C 为2π

；对二面角D-PE-C ，点C 是点D

在面PEC 内的射影，取BE 的中点M ，∵CP=CE=a ，

∴PE ⊥MC ，于是有：PE ⊥MD ，则∠DMC 为二面角D-PE-C 的平面角，

在Rt ⊿DCM 中，∠DMC=arctan 2,∴二面角A-PE-D 注：在求钝二面角时“割补法”往往很有效。 方法五：用平面的“法向量”求

∵CP ⊥CE, CP ⊥CD, CE ⊥CD,故可以C 为原点，

CD 、CE 、分别为x 、y 、z 轴建立空间

直角坐标系。A （a,a,0）、D(a,0,0)、E(0,a,0)、 P(0,0,a)，则EA =(a,0,0),ED =(a,-a,0),EP = (0,-a,a)]

由此不难求出平面PAE 的法向量1n =（0，1，1）， 平面PAE 的法向量2n =（1，1，1）

则有：cos<1n ,2n >=36,∴二面角A-PE-D 的大小为arccos 36

。注：用“法向量”求二面角

有一处严重的不足：二面角两个面的法向量的夹角

未必等于二面角，也可能与二面角互补，这取决于法向量 的方向，而确定法向量的方向却是中学生力不能及的。 [巩固] 如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ， BD ∥AE ，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，求面CDE 与

面CAB 所成的锐二面角．

5．求点到面的距离一般有三种办法：①直接法———过“点” 作“面”的垂线（尽可能找到过这一点的一个与“面”垂直的

平面，然后过“点”作它们交线的垂线）；②等积转换；③法向量: 若平面α的法向量为→

n ，

直线AB 与平面α交于点A ，则点B 到平面α的距离h =

|

||

|→

→

→?n AB n 。

[举例1] 已知线段AD ∥平面α，且与平面α的距离为4，点B 是平面α内的动点，且满足AB=5，AD=10，则B 、D 两点之间的距离 （ ） A ．有最大值55，无最小值； B ．有最小值65，无最大值； C ．有最大值55，最小值65； D ．有最大值185，最小值65；

解析：记A 、D 在面α内的射影分别为A1、D1，∵AB=5，AA1=4，∴A1B=3，即B 在面α内以A1为圆心、3为半径的圆周上，又A1D1=10，故D1B 最大为13，最小为7，而DD1=4，于是：由勾股定理得BD 最大185，最小65，选D 。

[举例2] 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O 是正方形A1B1C1D1的中心，点P 在棱CC1上，且CC1=4CP .求点P 到平面ABD1的距离；

[

解析：方法一：“等积转换”。如果直接研究三棱锥P-ABD1的体积，无论怎样“转换”都不易求；在DD1上取一点Q ，使DD1=4DQ ，则PQ ∥面ABD1，如图5-1；故

1ABD P V -=

1

ABD Q V -，

记P 到面ABD1的距离为h ，则Q 到面ABD1的距离为h ， 由1ABD Q V -=1QAD B V

-得：h=22

3；

方法二：以D 为原点建系，如图5-2，A （4，0，0），B （4，4，0），D1（0，0，4），

P （0，4，1），不难求出面ABD1的法向量n =(1,0,1),=(4,0,-1), h=23

=223；

方法3：“补齐”截面ABD1即正方体的对角面ABC1D1，过P 作PE ⊥BC1于E ，如图5-3，

∵PE ⊥AB ，∴PE ⊥面ABD1，∴PE 的长度即为点P 到平面ABD1的距离，易求PE=223。

[巩固1]已知平面α∥平面β，直线α?l ，点l P ∈，平面α、β之间的距离为8，则在β内到P 点的距离为9的点的轨迹是： （ ） A ．一个圆 B ．两条直线 C ．四个点 D ．两个点

[巩固2]（1） 正三棱锥P ABC -的高为2，侧棱与底面ABC 成45角，则点A 到侧面PBC

C A 1 z · B 1 P

A C D A 1 C 1 D 1

B O H · 图5-1 E 图5-3

的距离为_____（07高考江苏卷14）。（2）正三棱柱111

ABC A B C -的所有棱长都为2，

D 为1

CC 中点，则点C 到平面

1A BD

的距离为 （07高考福建理18）．

答案

2、[巩固1] 1、2、

3、4，[巩固2]900，3、[巩固1]0或无数、300，[巩固2]方法一：“悬空射影”，方法二：“建系”，方法三：取PC 中点D ，PA ∥OD ，去求直线OD 与平面PBC 所成的角，

过O 作面PBC 的垂面，找射影；arcsin 30210

；4、[巩固]方法一：延长DE 、BA 交于P ，CP 是

二面角的棱，∠DCB 是二面角的平面角，∠DCB=450；方法二：“平移“平面。取CD 中点F ，BD 中点G ，二面角D-EF-G 为所求；方法三：以AB 中点为原点“建系“；方法四：用公式：

cos θ=S S /

。5、[巩固1]C ，[巩固

2]

，2。