一维搜索牛顿法
2013-2014（1）专业课程实践论文题目：一维搜索牛顿法
牛顿法是一种函数逼近法，基本思想是：在极小点附近用 函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数，从而求得目标函数
的极小点的近似值。
对 ()f x 在 xk 点二阶泰勒展开：
221()()'()()''()()(())2
k k k k k k f x f x f x x x f x x x o x x =+-+-+- 略去高阶项得 2
1()()'()()''()()2k k k k k f x f x f x x x f x x x ≈+-+
- 两边对x 求导，'()'()''()()k k k f x f x f x x x ≈+-
令 '()=0f x ，得到
'()
''()k k k f x x x f x ≈-
取 1'()
=''()k k k k f x x x f x +-
作为新的迭代点，继续迭代，直到达到精度，这样就得到了
函数 f 的一个驻点 。以上过程即Newton 法。
三、算法程序
#include
#include
using namespace std;
double fun(double t)
{
return (t*t*t-2*t+1);
}
double dfun(double t)
{
return (3*t*t-2);
}
void NewtonIterative(double(*pfun)(double t),double (*pdfun)(double t)) {
int maxflag=1000,k=1;
double t0=1,err=0.01,t;
do
{
t0=t;
t=t0-pfun(t0)/pdfun(t0);
k++;
}while(fabs(t-t0)>err&&k if(k>=maxflag) cout< 对分法 #include 三点一维搜索法报告 姓名：张攀班级：2009211102 学号：09210048 算法的基本思想： 三点一维算法是从0.618法衍生而来的，0.618算法使用从两点a,b间选择两个点c,d将原来区域分为三个，抛弃不符合所求数值趋势的两个区域，不断逼近所求值，当|b-a| 实例分析： 选择函数：f[x] := Sin[x^4] + Cos[x] 该函数在[0,1]范围内有极小值，令a=0,b=1，p=0.1,e选取1*10^(-9)，运算后结果在x=0.4904089750976563时有最小值0.939949。运算次数为22次， P值选取效率的影响： 在该函数中，[0,1]内函数波动较为平缓，从中间缓慢向两边扩展显然速度较快，因为所求点接近终点，当p增大的时能很快覆盖到所求点效率将变高，如果区域远超过所求点则效率将变低。 P取值以及逼近次数i的关系: P=0.1,i=22 P=0.2,i=26 P=0.25,i=19 P=0.3,i=19 P=0.35,i=21 P=0.4,i=23 P=0.5,i=26 P=0.6,i=30 P=0.7,i=36 P=0.8,i=57 可见最好的取值应为0.25到0.3之间。 总结： 三点一维算法实际通过多次比较，减少了0.618法对点的移动，和对区域的选择，比0.618法稳定。在比较区域大时三点一维算法比起0.618法更加优秀。 非线性方程组的牛顿迭代法的应用 CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告 非线性方程组的牛顿迭代法的应用 一、问题背景 非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱，非线性问题的数学模型有无限维的如微分方程，也有有限维的。道遥咏计算机进行科学计算都要转化为非线性的单个方程或方程组的求解。从线性到非线性是一个质的变化，方程的性质有本质不同，求解方法也有很大差别。本文主要介绍的是非线性方程组的牛顿迭代法的数值解法。 二、数学模型 对于方程()0=x f ，如果()x f 湿陷性函数，则它的求根是容易的。牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将线性方程()0=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程()0=x f 有近似根k x （假定()0'≠k x f ），将函数()x f 在点k x 展开，有 ()()()()k k k x x x f x f x f -+≈'， 于是方程()0=x f 可近似地表示为 ()()()0'=-+k k k x x x f x f 这是个线性方程，记其根为1+k x ，则1+k x 的计算公式 () () k k k k x f x f x x ' 1- =+， ,1,0=k 这就是牛顿法。 三、算法及流程 对于非线性方程 ()()()???? ????????=n n n n x L x x f M x L x x f x L x x f f ,,,,,,,,,2 12 12211 在()k x 处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到 实验九、三点一维搜索策略 0.618方法在一元函数的最优化方法中占有重要的地位，它是在解的存在区间中插入两个分点进而对该区间三分，通过比较两个分点处的函数值大小来扔掉区间某侧的一段来提高解的精度——本实验试图构造某种类似的一维搜索策略，主要不同在于这里一次迭代要在解的存在区间中插入三个分点进而对该区间四分，最后考虑在包括原来区间的两个端点在内的五个点中选择相邻的三点，其函数值具有“高低高”结构且区间长度最短，将之保留。 算法： 步1：给定参数25.0=p ，精度要求0>ε，取初始三点0a a =，0b b =，2 b a x += ， 令)(a f A =，)(b f B =，)(x f X =； 步2：若ε<-a b ，则输出a 、A 、b 、B ，停； 步 3.1：若 2 b a x += ，则令x x =2，)()1(21a x p a x -?-+=，)(223x b p x x -?+=，X X =2，)(11x f X =，)(33x f X =；否则，转步4.1； 步3.2：若{}3,2,1 2==i X Min X i ，则取1x a =、1X A =、3x b =、3X B =，转步2； 若21X X <，则取2x b =、2X B =、1x x =、1X X =，转步2； 若23X X <，则取1x a =、1X A =、3x x =、3X X =，转步2； 步 4.1：令 2 2b a x += ，)()1(21a x p a x -?-+=，)(223x b p x x -?+=， )(11x f X =，)(22x f X =，)(33x f X =； 步4.2：对)3,2,1(=i x i 、x 按照从小到大排序，记为)4,3,2,1(=i u i ， )4,3,2,1(=i U i 表示它们的目标函数值，{}4,3,2,1 * ==i U Min U i ； 若* 1U U =，则取1u x =、1U X =、2u b =、2U B =，转步2； 若* 2U U =，则取1u a =、1U A =、2u x =、2U X =、3u b =、3U B =， 转步2； 若 * 3U U =，则取2u a =、2U A =、3u x =、3U X =、4u b =、4U B =， 目录 一牛顿迭代法的简介 (4) 1.1 牛顿迭代法的产生背景 (4) 1.2 牛顿迭代法的概述 (4) 1.3 牛顿迭代法的优点 (4) 二牛顿迭代法的分析 (4) 2.1 牛顿迭代法的思想 (4) 2.2 牛顿迭代法的要求 (5) 2.3 牛顿.迭代法 (6) 三牛顿迭代求根的方法 (7) 四牛顿迭代法具体例子的实现 (7) 伍牛顿迭代法的收敛性 (10) 六、迭代求根应注意的事项 (10) 七、参考文献 (11) 八附录.c语言代码 (13) 题目: 牛顿法---插值方法 摘要: 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。牛顿迭代法是一个重要的计算方法和思想。牛顿迭代法的主要功能：计算方程时可以比较快速方便的计算出来结果但并不影响计算出来结果的精确度，运用于多种工业设计和数学设计方面. 关键字: 牛顿迭代方程根算法 一 .牛顿迭代法简介 1.1 牛顿迭代法的产生背景 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。 1.2 牛顿迭代法的概述 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +…取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。 1.3 牛顿迭代法的优点 迭代法是求方程近似根的一个重要方法，也是计算方法中的一种基本方法，它的算法简单，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具 牛顿迭代法（简写）就是一种近似求解实数域与复数域求解方程的数学方法。那么这个方法是具体是什么原理呢？ 牛顿迭代如何迭代？ 直接看数学公式描述如何迭代不直观，先来看动图就很容易理解牛顿迭代法为什么叫迭代法以及怎样迭代的： 牛顿迭代法是原理是根据一个初始点在该点做切线，切线与X轴相交得出下一个迭代点的坐标，再在处做切线，依次类推，直到求得满足精度的近似解为止。 由前面描述知道，牛顿迭代法是用来近似求解方程的，这里有两个点需要说明：?为啥要近似求解？很多方程可能无法直接求取其解 ?迭代法非常适合计算机编程实现，实际上计算机编程对于牛顿迭代法广为应用来看看，数学上如何描述的？ 其中为函数在处的一阶导数，也就是该点的切线。 来简单推一推上面公式的由来，直线函数方程为： 知道一个直线的一个坐标点以及斜率则该直线的方程就很容易可以得知： 那么该直线与轴的交点，就是y=0也即等式x 的解： 啥时候停止迭代呢？ 1.计算出 2.给出一个初始假定根值x0,利用上面迭代式子进行迭代 3.计算绝对相对迭代近似误差 4.将绝对相对近似误差与预定的相对误差容限进行比较。如果，则迭 代步骤2，否则停止算法。另外，检查迭代次数是否已超过允许的最大迭代次数。如果是这样，则需要终止算法并退出。另一个终止条件是： 如何编码呢？ 由于牛顿迭代法主要目的是解方程，当然也有可能用于某一个数学函数求极值，所以无法写出通用的代码，这里仅仅给出一个编代码的思路。相信掌握了思路，对于各种实际应用应该能很快的写出符合实际应用的代码。 假定一函数为 其波形图如下： 其一阶导数为： 那么对于该函数的根： 从图上大致可以知道有两个根，如果直接解方程，则很难求出其根，可以编个代码试试： #include 一维搜索方法应用比较 一、黄金分割法 （1）黄金分割法的起源 黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关"黄金分割"，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。我国数学家华罗庚曾致力于推广优选法中的"0.618法"，把黄金分割应用于生活实际及科学应用中。 黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。 牛顿迭代法在架空线路中的应用 牛顿迭代法（Newton's method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。下面就从其原理、几何意义、迭代步骤及实例等方面介绍牛顿迭代法。 一、原理 简单迭代法是用直接的方法从原方程中隐含地解出x ，从而确定出)(x ?。而牛顿迭代法是用一种间接而特殊的方法来确定)(x ?的。下面具体推到牛顿迭代公式。 假设k x 是非线性方程为0)(=x f 的一个近似根，把)(x f 在k x 处作泰勒展开： +-+ -+=2 ' '' )(! 2)())(()()(k k k k k x x x f x x x f x f x f 若取前两项来近似代替)(x f （称为)(x f 的线性化），则得近似的线性方程 0))(()()(' =-+≈k k k x x x f x f x f 设0)(' ≠k x f ，令其解为1+k x ，则得 ) ()(' 1k k k k x f x f x x -=+ （1） 这称为0)(=x f 的牛顿迭代公式。 它对应的迭代方程为) ()(' x f x f x x -=显然是0)(=x f 的同解方程，故其迭代函数为 ) ()()(' k k k x f x f x x - =? （0)(' ≠x f ） 在0)(=x f 的根α的某个邻域)|(|δα≤-x R 内，0)(≈x f 1| )('|| )(||)(||)(|2 ' '' <≤?= L x f x f x f x ?三点一维搜索法报告
非线性方程组的牛顿迭代法的应用
三点一维搜索策略
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牛顿-拉夫逊迭代法原理及其实现
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