期望-方差公式

期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由

早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？

用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞

=1

<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞

=1

i i i p a ，

如果i i i p a ∑∞

=1

=∞，则数学期望不存在。[]1

定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.

期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.

二、数学期望的性质

（1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。

三、 方差的定义

前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的

平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2

p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.

ξ

D 叫标准差，反映了ξ的离散程度.

定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称

]))([(2X E X E -

为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。

方差的算术平方根)(X D 称为随机变量X 的标准差，记作)(X σ，即

)()(X D X =σ

由于)(X σ与X 具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。 D ξ表示ξ对E ξ的平均偏离程度，D ξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差)(X D =0，则随机变量X 以概率1取常数值。

由定义4知，方差是随机变量X 的函数2)]([)(X E X X g -=的数学期望，故

???

??--=?∑∞

∞

-∞=连续时当离散时当X dx x f X E x p X E x X D k k k k ,)()]([X ,)]([)(212

当X 离散时, X 的概率函数为 ,2 ,1 ,)()(====k P x X P x P K K k ； 当X 连续时，X 的密度函数为)(x f 。 求证方差的一个简单公式：

公式1：22)]([)()(X E X E X D -=

证明一：

2

2222)]([)(])]([)(2[]

))([()(X E X E x E X XE X E X E X E X D -=+-=-=

证明二：21

()n

i i i D x E p ξξ==-?∑

2212

2

1

1

1

22222[2()]2()2()()()n

i i i

i n

n n

i i i i i i i i x x E E p x p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+?=-?+?=-+=-∑∑∑∑

22()D E E ξξξ∴=-

可以用此公式计算常见分布的方差

四、方差的性质

（1）设C 是常数,则D (C )=0。 （2）若C 是常数,则)()(2X D C CX D =。 （3）若X 与Y 独立，则

公式2： )()()(Y D X D Y X D +=+。

证 由数学期望的性质及求方差的公式得

{}{}

)

()()]([)()]([)()()(2)]([)]([)()(2)()()]()([]2[)]([])[()(22222

2222222

2Y D X D Y E Y E X E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E x E XY Y X E Y X E Y X E Y X D +=-+-=---++=+-++=+-+=+

可推广为：若1X ,2X ，…，n X 相互独立，则

∑∑===n

i i n

i i X D X D 1

1

)(][

∑∑===n

i i i n i i i X D C X C D 1

21

)(][

（4） D (X )=0 ?P (X = C )=1， 这里C =E (X )。

五、常见的期望和方差公式的推导过程

（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明

1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）p i ≥0，i ＝1，2，...； （2）p 1＋p 2＋ (1)

2．离散型随机变量期望和方差的性质： E (a ξ＋b)＝a E ξ＋b ，D (a ξ＋b)＝a 2 D ξ。

（1） 公式3：E （a ξ+b ）=aE ξ+b ，

证明：令a b ηξ=+ ,a b 为常数 η也为随机变量 ()()i i P ax b P x ξ+== 1,2,3.i = 所以 η的分布列为

1122()()...()n n E ax b p ax b p ax b p η=++++++

=112212(......)(......)n n n a x p x p x p b p p p ++++++++

E η=aE b ξ+

()E a b aE b ξξ+=+说明随机变量ξ的线性函数a b ηξ=+的期望等于随机变量ξ

期望的线性函数

（2） 公式4：D （a ξ+b ）=a 2D ξ（a 、b 为常数）.

证法一： 因为 21()n

i i i D x E p ξξ==-?∑

2212

2

1

1

1

22222

[2()]2()2()()()n

i i i

i n

n n

i i i i i i i i x x E E p x p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+?=-?+?=-+=-∑∑∑∑

22()D E E ξξξ∴=-

所以有：2

2

2

21

1

()[()]()

n

n

i i i

i i i D a b ax b aE b p a

x E p a D ξξξξ==+=+-+?=-?=∑∑ 证毕

证法二：D ξ=2

2

2221

1

1

1

()2()

()n

n

n

n

i i i i i i i

i i i i x E p x p E x p E p

E E ξξξξξ====-?=-+=-∑∑∑∑.

E(a ξ＋b)＝aE ξ＋b ， D(a ξ+b)=a 2D ξ．

2

2

2

211

()[()]()

n

n

i i i

i i i D a b ax b aE b p a

x E p a D ξξξξ==+=+-+?=-?=∑∑

（二）二项分布公式列举及证明

1．二项分布定义：若随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝C n k p k q n-k 。（k ＝0，1，2，…，n ，0＜p ＜1，q ＝1－p ，则称ξ服从二项分布，记作ξ~B (n ，p )，其中n 、 p 为参数，并记C n k p k q n-k =b(k ；n ，p )。

2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：

（1）P (ξ＝k )＝C n k p k q n-k ＞0，k ＝0，1，2，…，n ； （2）∑=n

k 0

P (ξ＝k )＝∑=n

k 0

C n k p k q n-k ＝(p ＋q) n ＝1。

二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。 3．服从二项分布的随机变量ξ的期望与方差公式： 若ξ～B （n ，p ），则E ξ=np ，D ξ=npq （q =1－p ）.

（3） 公式5：求证：E ξ=np

方法一：

在独立重复实验中，某结果发生的概率均为p （不发生的概率为q ，有1p q +=），那么在n 次实验中该结果发生的次数ξ的概率分布为

服从二项分布的随机变量ξ的期望E np ξ=.证明如下：

预备公式 1

1k k n n kc nc --=

100110220211(1)()11011111()(......)n n n n k k n n k n n n n n n n p q c p q c p q c p q c p q c p q ----------------+=++++++ 因为()(1),k k n k k k n k

n n

p k c p p c p q ξ--==-= 所以 001112220012......n n n k k n k n n

n n n n n E c p q c p q c p q k c p q nc p q ξ---=?+?++?++?++ =00110220211(1)()110

11111(......)n n n k k n n k n n n n n n n np c p q c p q c p q c p q c p

q ---------------++++++ =1()n np p q np -+= 所以 E ξ= np 得证

方法二： 证明：若 ),(~p n B X ，则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X 的数学期望。

若设??

?=次试验失败

如第次试验成功

如第i i X i 01 i =1,2，…，n

则12...n X X X X =+++，因为 P X P i ==)1(，q P X P i =-==1)0( 所以p p q X E i =*+*=10)(，则

=)(X E np X E X E n

i i n

i i ==∑∑==1

1

)(][

可见，服从参数为n 和p 的二项分布的随机变量X 的数学期望是np 。

需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。

公式621212(1)k k k n n n k C nC n n C ----=+-

211k k n n k C knC --=

1111111212

[(1)1](1)(1)k n k k n n k k n n n k C nC n k C nC n n C ----------=-+=+-=+- 212

12(1)k k k n n n k C nC n n C ----∴=+-

求证：服从二项分布的随机变量ξ的方差公式7：D ξ=npq （q =1－p ）. 方法一：

证明： 2

20n

i i n i

n i E i C p q ξ-==∑

11

121

222

1

1101

2

221

1

2

1

2

111221122(1)(1)()(1)()(1)n

n

n i i n i

i i n i

n

n n i i n

n

n i i n i

n i i n i

n n n i i n n n n n n C pq nC

p q

n n C p q npq

np C

p q

npC q n n p

C

p q npq np p q npq n n p p q npq np npq n n p np n p -------==-----------==------=++-=+-+-=++-+-+=+-+-=+∑∑∑∑222222

(1)np np p n p npq n p -=-+=+

由公式1知22

()D E E ξξξ=-

222()npq n p np npq

=+-=

方法二： 设~(,)B n p ξ, 则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数。 若设??

?=次试验失败

如第次试验成功

如第i i X i 01 i =1,2，…，n

则1

n

i i ξξ==∑是n 次试验中“成功”的次数，()01i E q p p ξ=*+*=，故

222()()[()](1)i i i D E E p p p p ξξξ=-=-=-， 1,2,,i n =

由于12,,...,n ξξξ相互独立，于是1()()n

i i D D ξξ==∑= np (1- p )。

（三） 几何分布的期望与方差的公式列举及证明

1． 定义5：几何分布（Geometric distribution ）是离散型概率分布。

定义6：在第n 次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。

n 次伯努利试验，前n -1次皆失败，第n 次才成功的概率。

1()(1)k P X k p p -==-

若P k q p k ()ξ==-1，则（1）E p

ξ=

1

，（2）D p p ξ=-12。

求证：（1）几何分布的期望 公式8：E p

ξ=

1

， 若某射击手击中目标的概率为P ，求证：从射击开始到击中目标所需次数ξ的期望

E p

ξ=

1 证明：依题意分布列为

由P k q p k ()ξ==-1，知

2112(1)3(1)...(1)...K E P P P P P KP P ξ-=?+-+-++-+

212123......(123......)k k E p pq q p kq p q q kq p ξ--=+++++=+++++ 下面用错位相减法求上式括号内的值。 记21123...k k S q q kq -=++++

212...(1)k k k qS q q k q kq -=+++-+

两式相减，得21(1)1...k k k q S q q q kq --=++++-

S q q kq q

k k k

=---

-1112() 由01<

→k k kq （可用L'Hospital 法则证明） 故2122

11

123......lim (1)k k k p q kq S q p -→∞

+++++===-， 所以E p

ξ=

1

求证：（2）()(,)p k g k p ξ== 几何分布的方差 公式9：D p

p

ξ=-12

2

q

p =

证明：利用导数公式()'x nx n n =-1，推导如下：

21123......k x x kx -+++++

'2'3''2

3

'

()()...()...(......)

k k

x x x x x x x x =+++++=+++++

=-=----=

-(

)'()()()()x x x x x x 111112

2

上式中令x q =，则得 21

2

211

123......(1)k q q kq

q p

-+++++==- （2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导。

22222123......k E p qp q p k q p ξ-=+++++

22221(123......)k p q q k q -=+++++

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q kq k k 21-=()'，并用倍差法

求和，有22221

123......k q q k q -+++++

23'(23......)k q q q kq =+++++

=-=-+--=

--=+-=

-[()]'()()()()()q q q q q q q q q q p

p 11211111122242

433

则E p p p p p ξ2

32

22=-=-()，

因此D E E p p p p

p

ξξξ=-=

--=-222

22211()() 证明二: 2

2

1

1

11

1

1

()[(1)]k k k K k k E k pq

p k k q

kq ξ∞

∞

∞

---=====-+∑∑∑

=1

()k n k qp q E ξ∞

=+∑

=322121(1)p qp

p p p p +=+- D E E p p p p

p

ξξξ=-=

--=-222

22211()()