2020年漳州市高一数学下期末试题(附答案)

2020年漳州市高一数学下期末试题(附答案)

一、选择题

1．ABC V 中，已知sin cos cos a b c

A B C

==，则ABC V 为（ ） A ．等边三角形

B ．等腰直角三角形

C ．有一个内角为30°的直角三角形

D ．有一个内角为30°的等腰三角形

2．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U I A ．{1,1}- B ．{0,1} C ．{1,0,1}-

D ．{2,3,4}

3．已知集合{}

{}2

|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件

A C

B ??的集合

C 的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．已知集合{

}

2

2

(,)1A x y x y =+=，{}

(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

5．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若

sin 5sin 2A c

B b

=，

sin B =

，ABC S =△b =（ ）

A ．

B ．

C D 6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α?，则//l m

D ．若//l α，//m α，则//l m

7．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o

，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( )

A ．2? ??

B ．2????

C ．2????

D ．? ??

8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．

4

5

B ．

35

C ．

25

D ．

15

9．已知1sin 34

πα??-= ???，则cos 23πα??

+= ???（ ）

A ．5

8-

B ．

58

C ．78

-

D ．

78

10．已知函数21(1)()2(1)

a x x f x x x x

x ?++>?

=?

?-+≤?在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1

B ．(]0,1

C ．[]1,1-

D ．(]1,1-

11．已知二项式2(*)n

x n N x ?

-∈ ??

?的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰

5，则3x 的系数为（ ） A ．14

B ．14-

C ．240

D ．240-

12．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于

点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上

C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线B

D 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上

二、填空题

13．在直角ABC ?中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ?中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________．（答案用m ，n 表示） 14．设a ，b ，c 分别为ABC ?内角A ，B ，C 的对边.已知

233cos cos a b c

B C

-=

，则222

a c

b ac

+-的取值范围为______. 15．函数()2

sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.

16．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

17．△ABC 的内角A B C ，

，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．

18．设

，则

________

19．已知函数2

,

()24,x x m

f x x mx m x m

?≤=?

-+>? 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的

方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.

20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．

三、解答题

21．某市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：

（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数； （2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于90的概率； （3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价． 22．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；

（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．

23．已知平面向量a r ，b r

满足1a b ==r r .

（1）1a b -=r r ，求a r 与b r 的夹角；

（2）若对一切实数x ，不等式a xb a b +≥+r r r r 恒成立，求a r 与b r

的夹角θ.

24．如图，在等腰直角OPQ ?中，0

90POQ ∠=，22OP =M 在线段PQ 上.

(Ⅰ) 若5OM =PM 的长；

（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ?的面积最小？并求出面积的最小值.

25．在ABC V 中，5,3,sin 2sin BC AC C A ===. （Ⅰ）求AB 的值； （Ⅱ）求sin 24A π??

-

??

?

的值． 26．ABC ?中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =v

，

(2,)n a c b =+v

，且m n ⊥u v v .

（1）求角B 的大小；

（2）若7b =，8a c +=，求ABC ?的面积.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 因为

sin cos cos a b c A B C

==，所以

sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π

==∴== , 即ABC V 为等腰直角三角形. 故选：B .

2．C

解析：C 【解析】

分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ?=-，

结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ??=-. 本题选择C 选项.

点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.

3．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

求解一元二次方程，得

{}

()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .

因为A C B ??，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】

本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.

4．B

解析：B 【解析】

试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆

221x y +=与直线y x =相交于两点,22? ??，22??

-- ? ??

?，则A B I 中有2个元素.故选B.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

5．D

解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简

sin 5sin 2A c

B b

=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由

sin 4

B =

，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于

sin 5sin 2A c B b

=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即5

2a c =

由于在ABC V

中，sin 4B =

，4

ABC S =△

1sin 24ABC S ac B ==V ，

联立521

sin 2sin a c ac B B ?

=??

?=

???=

??

，解得：5a =，2c = 由于B

为锐角，且sin 4

B =

，所以3cos 4B ==

所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=

，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】

本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断

C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断

D .

【详解】

l m ⊥，m α?，则,l α可能平行，A 错；

l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α?，则//l m ， l 与m 异面；C 错，

//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】

本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.

7．A

解析：A 【解析】 【分析】

已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】

由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ?<<

，解得2x <<故选A. 【点睛】

本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或

b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 8．C 解析：C 【解析】

选取两支彩笔的方法有2

5C 种，含有红色彩笔的选法为1

4C 种，

由古典概型公式，满足题意的概率值为142542

105

C p C ==

=. 本题选择C 选项. 考点：古典概型

名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.

9．C

解析：C 【解析】

由题意可得：1

sin sin cos 326

64ππππααα????????-=-+=+= ? ? ???????????， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα??????

+=+=+-=?-=-

? ? ???????

.

本题选择C 选项.

10．C

解析：C 【解析】

x ?1时,f (x )=?(x ?1)2+1?1，

x >1时,()()21,10a a

f x x f x x x

=+

+'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ?x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ?1，

而1+a +1?1，即a ??1， 综上,a ∈[?1,1]， 本题选择C 选项.

点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

由二项展开式的通项公式为()

12r

n r

r

r n T C x -+?= ?

及展开式中第2项与第3项的二项

式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题

得解． 【详解】

二项展开式的第1r +项的通项公式为()

12r

n r

r

r n T C x -+?= ?

由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：1

2

:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()

()3662

16221r

r n r

r r

r r r n

T C x C x

---+?==- ?

令3

632

r -

=，解得：2r =， 所以3x 的系数为()2

262

621240C --=

故选C 【点睛】

本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．

12．A

解析：A 【解析】

如图，因为EF∩HG=M，

所以M∈EF，M∈HG，

又EF ?平面ABC ，HG ?平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法

先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．

二、填空题

13．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决 解析：

12n

m

【解析】 【分析】 【详解】

由题意得ABC ?的三边分别为,1,2x x x ++ 则由()()2

2

221x x x +=++ 可得3n = ，所以，三角数三边分别为3,4,5，因为A B C π∠+∠+∠= ，所以三个半径为1 的扇形面积

之和为

211=22π

π?? ，由几何体概型概率计算公式可知1122

,1342

n n m m ππ=∴=??，故答

案为

12n

m

. 【方法点睛】

本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

14．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为

所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦

解析：()

()0,2U

【解析】 【分析】

把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即

C 角，从而得B 角的范围，注意2

B π

≠

，由余弦定理可得结论．

【详解】

因为

2cos cos a B C

=

，所以()

()2cos cos cos cos 0a C B B C =?≠，

所以()

2sin cos cos A B C C B =，

即()2sin cos A C C B A +=，又sin 0A >，所以cos 2

C =， 则6

C π

=

，因为cos 0B ≠，所以50,

,226B πππ????

∈ ? ??

???

U ，

而2222cos a c b B ac +-=，故()

()2220,2a c b ac

+-∈U .

故答案为：()

()0,2U ． 【点睛】

本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略

cos B 不能等于0.

15．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：13

4

-

【解析】 【分析】

利用换元法，令sin x t =，[]

1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】

令sin x t =，[]

1,1t ∈-，则2

113324

y t t t ??=+-=+- ???， 当12

t =-

时，函数有最小值134-，故答案为13

4-.

【点睛】

求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2

sin sin y a x b x c =++的形式利

用配方法求最值；②形如sin sin a x b

y c x d

+=

+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③

sin cos y a x b x =+型，可化为22sin()y a b x φ=++求最值；④形如

()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 16．2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A （2-2）代入得m=-2∴代入B 得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用

解析：26米 【解析】 【分析】 【详解】

如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2

x my =，

将A （2，-2）代入2

x my =，

得m=-2，

∴2

2x y =-，代入B ()0,3x -得06x =

故水面宽为266 考点：抛物线的应用

17．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可

23

【解析】

【分析】

首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得

1

sin 2

A =

，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得3cos A =，进一步求得83bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】

因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，

结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，

可得1

sin 2

A =

，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =， 所以A 为锐角，且3cos 2A =，从而求得833

bc =， 所以ABC ?的面积为1183123sin 222S bc A ==??=

，故答案是23

. 【点睛】

本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：

（1）2

2

2

2cos a b c bc A =+-；（2）222

cos 2b c a A bc

+-=，同时还要熟练掌握运用两种

形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o 、45o 、60o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-

解析：-1 【解析】 【分析】

由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得

的值.

【详解】

， ，

所以，故答案为-1. 【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外

依次求值．

19．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数

解析：()3+∞，

【解析】

试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.

【考点】分段函数，函数图象

【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.

20．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图 7

【解析】

试题分析：该三棱锥底面是边长为23，有两个侧面是底边为2，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为2277．

考点：三视图．

三、解答题

21．（1）该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数的估计值分别为75,67；（2）

0.1,0.16；（3）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的平均数即为甲部门评分的中位数．同理可得乙部门评分的中位数．（2）甲部门的评分高于90的共有5个，所以所求概率为

550；乙部门的评分高于90的共8个，所以所求概率为850

．（3）市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，且甲部门的评分较集中，乙部门的评分相对分散，即甲部门的评分的方差比乙部门的评分的方差小．

试题解析：解：（1）由所给茎叶图知，将50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故甲样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数估计值是75．

50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为

6668

672

+=，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67． （2）由所给茎叶图知，50位市民对甲，乙部门的评分高于90的比率为

58

0.1,0.165050==，故该市的市民对甲，乙部门的评分高于90的概率的估计分别为0.1,0.16；

（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高，评价较为一致，对乙部门的评价较低，评价差异较大．（注：考生利用其它统计量进行分析，结论合理的同样给分）． 考点：1平均数，古典概型概率；2统计． 22．（1

2）2

2

x (y 1)5++=． 【解析】 【分析】

()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；

()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，

从而可得圆的标准方程． 【详解】

解：()121l //l Q ，a 28a 211

+∴

=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，

故直线1l 与2l

的距离d =

=

= ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-， 所以切点A 的坐标为()2,2--，

从而直线AC 的方程为()1

y 2x 22

+=

+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-． 由()1知C e

所以所求圆的标准方程为：2

2

x (y 1)5++=． 【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题． 23．（1）3

π

（2）θπ= 【解析】 【分析】

（1）根据向量数量积的定义及性质即可求解（2）利用平方化简不等式可得

22cos 12cos 0x x θθ+?--≥恒成立，利用判别式求解即可.

【详解】

（1）∵1a b ==r r

，

21211a b a b ∴-=-?+=r r r u r

，

即12a b ?=r r ，

∴1cos 2

a b θ=r r ，

∴3

π

θ=

.

（2）不等式a xb a b +≥+r r r r

两边平方可得:22cos 12cos 0x x θθ+?--≥恒成立，

∴0?≤，即()2

4cos

412cos 0θθ++≤，

故()2

cos 10θ+≤， 只能cos 1θ=-， 而0θπ≤≤， 所以θπ=. 【点睛】

本题主要考查了向量的数量积定义，性质，不等式恒成立，属于中档题.

24．(Ⅰ)1MP =或3MP =（Ⅱ）当30POM ∠=?时， OMN ?的面积的最小值为

8-【解析】 【分析】 【详解】

解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°

, 由余弦定理得,OM 2=OP 2+MP 2-2OP·MP·cos45°, 得MP 2-4MP+3=0, 解得MP=1或MP=3. (2)设∠POM=α,0°≤α≤60°, 在△OMP 中,由正弦定理, 得

sin OM OPM ∠=sin OM

OPM

∠,

所以OM=

()

sin 45sin 45+OP α

。

。, 同理ON=

()

sin 45sin 45+OP α

。

。. 故S △OMN =

1

2

OM·ON·sin ∠MON

=1

2×()()

22sin 45sin 45+sin 75+OP αα

。。。 =()()

1

sin 45+sin 45+30αα+。。。 =

(

)()()

31sin 45+sin 45+cos 45+ααα??+??

??

。

。。

=()()()231

sin 45+sin 45+cos 45+ααα+。。。 =()()311cos 90+2sin 90+2αα??-+??。。

=331

sin 2cos2αα++ =()31sin 230α++。.

因为0°≤α≤60°, 30°≤2α+30°≤150°,

所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1, 此时△OMN 的面积取到最小值.

即∠POM=30°时,△OMN 的面积的最小值为8-43. 25．（Ⅰ）25；（Ⅱ）2

. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）直接利用正弦定理可求AB 的值；（Ⅱ）由余弦定理求得cos A ，再利用同角三角函数的关系求出sin A ，由二倍角公式求出sin 2A ，cos2A ，根据两角差的正弦公式可求

sin 24A π?

?- ??

?的值．

【详解】 （Ⅰ）在中，根据正弦定理，

sin sin AB BC

C A

=， 于是sin 225sin BC

AB C

BC A

===

（Ⅱ）在ABC ?中，根据余弦定理，得222

cos 2AB AC BC A AB AC

+-=?

于是sin A ==

从而2243sin 22sin cos ,cos 2cos sin 55

A A A A A A ==

=-=

sin 2sin 2cos cos 2sin 44410A A A πππ?

?-=-=

??

?． 【点睛】

本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

26．（1）23π；（2. 【解析】

试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若m n v v

⊥，则有cosB?（2a+c ）+cosC?b=0，结合正弦定理可得cosB?（2sinA+sinC ）+cosC?sinB=0，将其整理变形可得1

cos 2

B =-

，由B 的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a 2+c 2+ac ，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案． 详解：

（1）∵m n ⊥，∴()cos 2cos 0B a c C b ?++?=， ∴()cos 2sin sin cos sin 0B A C C B ?++?=，

∴()2cos sin sin cos cos sin B A C B C B =-?+? ()sin sin B C A =-+=-， ∴1cos 2B =-

，∴23

B π=. （2）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，∴2249a c ac =++， 又因为8a c +=，∴()2

64a c +=，∴22264a c ac ++=，∴15ac =，

则1sin 2S ac B =

?=

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.