高中数学必修五习题及解析

必修五

第一章 解三角形

1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．非钝角三角形 解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320<0，∴B 为钝角． 答案 C

2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A>B>C

B ．B>A>

C C ．C>B>A

D ．C>A>B

解析 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝3

2.

∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C 3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2

B ．4 3

C ．4 6

D.32

3

解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°

sin45°＝8×322

2＝

4 6. 答案 C

4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC →

的值为( ) A ．5

B ．－5

C ．15

D ．－15

解析 在△ABC 中，由余弦定理得 cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7

＝17.

∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17

＝5. 答案 A

5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( ) A ．1：2：3

B ．1：3：2

C ．1：2： 3

D.2：3：2

解析 设三边长分别为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋

3a 2－2a 2

2·a ·3a

＝0，∴A ＝90°.

设最小角为B ，则cosB ＝

2a

2

＋3a

2

－a 22·2a ·3a

＝3

2

，

∴B ＝30°，∴C ＝60°. 因此三角之比为1：2：3. 答案 A 6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解

B ．一解

C ．两解

D ．解的个数不确定

解析 由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA

a ＝9×

226＝3 24>1.

∴此三角形无解． 答案 A

7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析 根据正弦定理，原式可化为

2R ? ????a 24R

2－c 24R 2＝(2a －b)·b

2R ， ∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，

∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2

2

，∴C ＝45°. 答案 B

8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( ) A ．1

B ．2 C. 2 D.3

解析 由a sinA ＝b sinB ＝c

sinC

＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，

可得a 2＋b 2－ab ＝c 2

.∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32

.

∴S △ABC ＝1

2

absinC ＝ 3.答案 D

9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB

sinC 的值为( )

A.85

B.58

C.53

D.35 解析 由余弦定理，得

cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D

10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π

3

B.5π6

C.3π4

D.π

3

解析 由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π

3.

答案 A

11．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( ) A ．0.5 km B ．1 km C ．1.5 km D.3

2

km

解析 如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，

BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC

tan10°＝2cos 210°，

∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1. 答案 B

12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )

A ．2

B ．4＋2 3

C ．4－2 3 D.6－2

解析 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝

22?

?????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A

13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________． 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝

4sin45°sin75°＝4(3－1)． 答案 4(3－1)

14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________. 解析 由B ＝A ＋60°，得

sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋3

2

cosA.

又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋3

2cosA.

即32sinA ＝3

2

cosA.∵cosA ≠0， ∴tanA ＝3

3

.∵0°

15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.

解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°. 又S ＝12

AB ·BC ·sinB ，∴10

3＝1

2

AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案 60° 8

16．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.

解析

设????

?

b ＋

c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，

可得a ：b ：c ＝11：9：7.

∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7. 答案 11：9：7

三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)． (1)求证：A ＝2B ；

(2)若a ＝3b ，试判断△ABC 的形状．

解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝

a 2＋c 2－b

2

2ac

＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，

∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B. 则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.

若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B. (2)∵a ＝3b ，由a 2＝b(b ＋c)，得3b 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b. 又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2. 故△ABC 为直角三角形．

18．(12分)锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin(A ＋B)－3＝0.求： (1)角C 的度数；

(2)边c 的长度及△ABC 的面积．

解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32.

∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.

(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.

∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝ 6.

S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝3

2

.

19．(12分)如右图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 nmile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 nmile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求： (1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．

解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，AB ＝12 6，由正弦定理，得AD ＝

ABsinB

sin ∠ADB

＝126×

22

32

＝24(nmile)．

(2)在△ADC 中，由余弦定理，得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos30°. 解得CD ＝83(nmile)．

∴A 处与D 处的距离为24 nmile ，灯塔C 与D 处的距离为8 3 nmile.

20．(12分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．

(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；