(完整)高中数学必修一函数教案

函数教案

教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依

赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．

教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此

基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；

教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

一、与函数相关的概念

（一）函数的有关概念 1．函数的概念：

设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．

记作：y=f(x)，x ∈A ．

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．

注意：

○

1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○

2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2． 构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示．

4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论.

判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？

（1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x （3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x

（二）课堂练习

求下列函数的定义域

（1）|

x |x 1

)x (f -=

（2）x

111)x (f +=（3）5x 4x )x (f 2+--=

（4）1

x x 4)x (f 2

--=

（5）10x 6x )x (f 2+-=（6）13x x 1)x (f -++-=

（三）函数的复合型

设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=g(x),设M表示u=g(x)的值域,N是函数y=f(u)的定义域,当M?N,则y成为x的函数,记为y=f[g(x)].这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.

二、函数的表达方式

函数的表达方式：解析法、图像法、列表法

（一）解决函数问题

【例1】某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).

【例2】将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.

【例3】向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是

( )

【例4】求下列函数的值域:

(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);(2)y=x4+1.

注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

三、函数的映射

1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

4．函数的概念．

新课教学

1、函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．

2、什么叫做映射？

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射、记作“f：A→B”

注意：

（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．

（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？

（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；

（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

四、函数的单调性

教学目的：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图象

理解和研究函数的性质；能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．

教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 一、引入课题

1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

○

1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○

2 能否看出函数的最大、最小值？ ○

3 函数图象是否具有某种对称性？ 二、新课教学

（一）函数单调性定义

1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义． 注意：

○

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○

2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：

○

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 提高作业：设f(x)是定义在R 上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，

○

1 求f(0)、f(1)的值； ○

2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集． 五、函数的奇偶性

教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）学会判断函数的奇偶性．

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．

一、新课教学

（一）函数的奇偶性定义

图象关于y 轴对称的函数即是偶函数，图象关于原点对称的函数即是奇函数．

y x 1 -1

1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1

1．偶函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 2．奇函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意：

○

1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． （二）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （三）典型例题

1．判断函数的奇偶性：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

3．函数的奇偶性与单调性的关系

例1．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数 规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致． 作业：判断下列函数的奇偶性：

○1 1

22)(2++=x x x x f ；○

2 x x x f 2)(3

-=；○3 a x f =)( （R x ∈） ○

4 ?

??+-=)1()1()(x x x x x f .0,

0<≥x x

思考：

已知)(x f 是定义在R 上的函数， 设2)()()(x f x f x g -+=

，2

)

()()(x f x f x h --=

○

1 试判断)()(x h x g 与的奇偶性； ○

2 试判断)()(),(x f x h x g 与的关系； ○

3 由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由． 六、函数的最值问题

教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．

教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 利用函数的单调性判断函数的最值问题 一、新课教学

（一）函数最大（小）值定义

1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值． 注意：

○

1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ；

○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；

（二）典型例题

求函数1

2

-=

x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 七、方程的根和函数的零点

一元二次方程及其相应的二次函数

①方程x 2-2x-3=0的解为 ,函数y=x 2

-2x-3的图象与x 轴有 个交点,坐标为 .

②方程x 2-2x+1=0的解为 ,函数y=x 2

-2x+1的图象与x 轴有 个交点,坐标为 .

根据以上观察结果,可以得到:

结论:一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x 轴交点的 .若一元二次方程无实数根,则相应的二次函数图象与x 轴无交点.

函数零点的概念：

对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． 函数零点的意义：

函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 函数零点的求法： 求函数)(x f y =的零点：

○

1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 二次函数的零点：

二次函数：)0(2

≠++=a c bx ax y ．

（1）△＞０，方程02

=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函

数有两个零点．

（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． 1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1）0532=++-x x ；（2）3)2(2-=-x x ；（3）442-=x x ；（4）532522+=+x x x ． 2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：

（1）53)(3

+--=x x x f ；（2）3)2ln(2)(--=x x x f ；（3）44)(1

-+=-x e x f x ；

（4） x x x x x f ++-+=)4)(3)(2(3)(

3． 当R a ∈时，函数)(x f 的零点是怎样分布的？ （1）研究c bx ax y ++=2，02=++c bx ax ，

（2）02>++c bx ax ，02<++c bx ax 的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达．

函数二分法及步骤：

对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数

)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫

做二分法．

给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： 1．确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； 2．求区间a (，)b 的中点1x ； 3．计算)(1x f ： 二分法的一般步骤：

○1 若)(1x f =0，则1

x 就是函数的零点； ○2 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ○3 若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1

x （此时零点),(10b x x ∈）； 4．判断是否达到精度ε；

即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4．

八、指数函数

1． 整数指数幂的运算性质；

n

n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)()(

2． 根式的概念；

如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； （一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念

一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *

．当n 是奇数时，正数

的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．

当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 结论：当n 是奇数时，a a n

n

=

当n 是偶数时，??

?<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义

规定：

)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m

)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质

（1）r a ·s

r r a a +=

),,0(Q s r a ∈>；

（2）rs

s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s

r

r

a a a

b =)(

),0,0(Q r b a ∈>>．

指数函数的一般形式 （一）指数函数的概念

一般地，函数)1a ,0a (a y x

≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

函数一般性质

图象特征

函数性质

1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<

向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数

函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +

函数图象都过定点（0，1） 1a 0=

自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数

减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 1a ,0x x >> 1a ,0x x <> 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 1a ,0x x <<

1a ,0x x ><

图象上升趋势是越来越陡

图象上升趋势是越来越缓

函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；

函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；

九、对数函数

（一）对数函数性质和运算

（1）对数的定义：b N N a a b

=?=log ；

（2）对数恒等式：b a N a

b a N

a ==log ,log ；

1．对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：

○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =N

M

a

log M a log －N a log ； ○3 n

a M log n =M a

log )(R n ∈． 2. 换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 3．对数函数一般变形 （1）b m

n

b a n a m log log =

；（2）a b b a log 1log =

． 思考题：

设正整数a 、b 、c （a ≤b ≤c ）和实数x 、y 、z 、ω满足：

ω30===z y x c b a ，

ω

1111=++z y x ， 求a 、b 、c 的值．

（二）对数函数的图象和性质

内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

（1）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；

（1） x y 2log = （2） x y 2

1log =

（3） x y 3log = （4） x y 3

1log =

图象特征

函数性质

1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<

函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）

图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R

函数图象都过定点（1，1） 11=α

自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数

减函数

第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10><

0log ,10<<

0log ,1<>x x a

作业练习：

（1）已知函数x

x

x x f -+-=

11log 1)(2

，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性 （2）求函数)54(log )(2

2.0++-=x x y x f 的单调区间

十、幂函数．

一般地，形如α

x y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．

（1）x y =； （2）2

1x y =；（3）2

x y =； （4）1

-=x y ；（5）3

x y =．

幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；

（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．