(完整)高中数学必修5数列习题及答案

第二章 数列

一、选择题

1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若

63S S ＝1

3

，则126S S ＝( )．

A ．310

B ．13

C ．18

D ．1

9

2．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9＜b 4＋b 10

B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10

C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10

D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定

3．在等差数列{a n }中，若a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，则该数列的前2 008项的和为( )．

A ．18 072

B ．3 012

C ．9 036

D ．12 048

4．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列， ∠B ＝30°，△ABC 的面积为

2

3

，那么b ＝( )． A ．

2

3

1+ B ．1＋3

C ．

2

3

2+ D ．2＋3

5．过圆x 2＋y 2＝10x 内一点(5，3)有k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列

的首项a 1，最大弦长为数列的末项a k ，若公差d ∈??

?

???2131 ，，则k 的取值不可能是( )． A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

6．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )． A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

7．在等差数列{a n }中，3(a 2＋a 6)＋2(a 5＋a 10＋a 15)＝24，则此数列前13项之和为( )．

A ．26

B ．13

C ．52

D ．156

8．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )．

A ．160

B ．180

C ．200

D ．220

9．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )．

A ．2n ＋

1－2

B ．3n

C ．2n

D ．3n －1

10．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝4

1

，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )． A ．16(1－4－

n ) B ．16(1－2－

n ) C ．

332(1－4－

n )

D ．

3

32(1－2－

n ) 二、填空题

11．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，则q 的值为 .

12．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝_____.

13．已知数列{a n }中，a n ＝ 1221－n n 则a 9＝ (用数字作答)，

设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝ (用数字作答).

14．已知等比数列{a n }的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 ． 15．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则a 13＋a 14＋a 15＝ ，该数列的前15项的和S 15＝ .

16．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4

＝ ．

三、解答题

17．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且21S ＝9S 2，S 4

＝4S 2，求数列{a n }的通项公式．

(n 为正奇数) (n 为正偶数)

18．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110且a 1，a 2，a 4

成等比数列．

(1)证明a 1＝d ；

(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式.

19．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列．已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，

n a k ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项k n ．

20．在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1． (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝

n n

a 2

，求证数列{c n }是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式.

参考答案

一、选择题 1．A

解析：由等差数列的求和公式可得

63S S ＝d

a d

a 1563311＋＋＝31，可得a 1＝2d 且d ≠0

所以

126S S ＝d a d

a 661215611＋＋＝d d 9027＝10

3． 2．B

解析：解法1：

设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d ，由a 6＝b 7，即a 1q 5＝b 7． ∵ b 4＋b 10＝2b 7，

∴ (a 3＋a 9)－(b 4＋b 10)＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2b 7 ＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2a 1q 5 ＝a 1q 2(q 6－2q 3＋1) ＝a 1q 2(q 3－1)2≥0． ∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 解法2：

∵ a 3·a 9＝a 2

6，b 4＋b 10＝2b 7，

∴ a 3＋a 9－(b 4＋b 10)＝a 3＋a 9－2b 7．又a 3＋a 9－293a a ?＝(3a －9a )2≥0， ∴ a 3＋a 9≥293 a a ·．

∵ a 3＋a 9－2b 7≥293a a ?－2b 7＝2a 6－2a 6＝0， ∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 3．C

解析：∵ a 1＋a 2 008＝a 1 003＋a 1 006＝a 1 004＋a 1 005， 而a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，a 1＋a 2 008＝9， ∴ S 2 008＝2

1

(a 1＋a 2 008)×2 008＝9 036，故选C ． 4．B

解析：∵ a ，b ，c 成等差数列，∴ 2b ＝a ＋c ， 又S △ABC ＝

21ac sin 30°＝2

3，∴ ac ＝6， ∴ 4b 2＝a 2＋c 2＋12，a 2＋c 2＝4b 2－12， 又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4b 2－12－63， ∴ 3b 2＝12＋63，b 2＝4＋23＝(1＋3)2． ∴ b ＝3＋1．

5．A

解析：题中所给圆是以(5，0)为圆心，5为半径的圆，则可求过(5，3)的最小弦长为8，最大弦长为10，

∴ a k －a 1＝2，即(k －1)d ＝2，k ＝d

2

＋1∈[5，7]， ∴ k ≠4． 6．A

解析：∵ a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16，a 4＝1，∴ a 12＝15． 7．A

解析：∵ a 2＋a 6＝2a 4，a 5＋a 10＋a 15＝3a 10， ∴ 6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4， ∴ S 13＝2＋13131)(a a ＝2

＋13104)

(a a ＝26． 8．B

解析：∵ ???78＝＋＋24

＝－＋＋209

118321a a a a a a

∴ (a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54， 即3(a 1＋a 20)＝54， ∴ a 1＋a 20＝18， ∴ S 20＝2

＋20201)

(a a ＝180． 9．C

解析： 因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －

1．因数列{a n ＋1}也是等比数列， 则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)?2

1＋n a ＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2

?a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1?a n (1＋q 2－2q )＝0?(q －1)2＝0?q ＝1．

由a 1＝2得a n ＝2，所以S n ＝2n ． 10．C

解析：依题意a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝

41，两式相除可求得q ＝2

1

，a 1＝4，又因为数列{a n }是等比数列，所以{a n ·a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列，根据等比数列前

n 项和公式可得222111q

q a a n

－)－(＝332(1－4－

n )．

二、填空题 11．－2．

解析：当q ＝1时，S n +1＋S n +2＝(2n ＋3)a 1≠2na 1＝2S n ，∴ q ≠1． 由题意2S n ＝S n +1＋S n +2?S n +2－S n ＝S n －S n +1， 即－a n +1＝a n +2＋a n +1，a n +2＝－2a n +1，故q ＝－2． 12．1．

解析：方法一 ∵ S n －S n －1＝a n ，又S n 为等差数列，∴ a n 为定值． ∴ {a n }为常数列，q ＝1

-n n a a ＝1．

方法二：a n 为等比数列，设a n ＝a 1q n －

1，且S n 为等差数列，

∴ 2S 2＝S 1＋S 3，2a 1q ＋2a 1＝2a 1＋a 1＋a 1q ＋a 1q 2，q 2－q ＝0，q ＝0(舍)q ＝1. 所以答案为1． 13．256，377． 解析：a 9＝28＝256，

S 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8) ＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15) ＝341＋36 ＝377． 14．74．

解析：由{a n }是等比数列，S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 20－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 20＝q 10S 10，S 30－S 20＝a 21＋a 22＋…＋a 30＝q 20S 10，即S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等比数列，得(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，得(56－32)2＝32(S 30－56)，

∴ S 30＝32

32－562

)(＋56＝74．

15．21，2

11．

解析：将a 1＋a 2＋a 3＝8， ① a 4＋a 5＋a 6＝－4．

②

两式相除得q 3＝－

2

1

，

∴ a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3) q 12＝8·4

21－?

?? ??＝21，S 15＝2

1＋

121－－185??????????? ??＝211． 16．

152．

解析：由a n +2＋a n +1＝6a n 得q n +1＋q n ＝6q n －

1，即q 2＋q －6＝0，q ＞0，解得q ＝2，

又a 2＝1，所以a 1＝21，S 4＝2

121214－)－(＝152．

三、解答题

17．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由前n 项和的概念及已知条件得

a 2

1＝9(2a 1＋d )，

① 4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d )．

②

由②得d ＝2a 1，代入①有21a ＝36a 1，解得a 1＝0或a 1＝36． 将a 1＝0舍去． 因此a 1＝36，d ＝72，

故数列{a n }的通项公式a n ＝36＋(n －1)·72＝72n －36＝36(2n －1)．

18．解析：(1)证明：因a 1，a 2，a 4成等比数列，故22a ＝a 1a 4，

而{a n }是等差数列，有a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即21a ＋2a 1d ＋d 2＝21a ＋3a 1d ． d ≠0，化简得a 1＝d ．

(2)由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋

d 2

9

10?，得到10a 1＋45d ＝110， 由(1)，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ． 因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＝1，2，3，…)．

19．解析；由题意得2

2a ＝a 1a 4，

即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d (d －a 1)＝0， 又d ≠0，∴ a 1＝d ．

又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n a k ，…，成等比数列， ∴ 该数列的公比为q ＝

13a a ＝d

d

3＝3， ∴ n a k ＝a 1·3n +1．

又n a k ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1， ∴ k n ＝3n +1为数列{k n }的通项公式． 20．解析：(1)由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，

有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴ b 1＝a 2－2a 1＝3． 由S n ＋1＝4a n ＋2 ①，则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2． ② ②－①得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴ a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．

又∵ b n ＝a n ＋1－2a n ，∴ b n ＝2b n －1．∴ {b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． ∴ b n ＝3×2 n －

1．

(2)∵ c n ＝n n a 2，∴ c n ＋1－c n ＝112

++n n a －n n a 2＝1122++-n n n a a ＝12+n n

b ＝11223+-?n n ＝43，

c 1＝

2

1a ＝21，∴ {c n }是以21为首项，43

为公差的等差数列．

(3)由(2)可知数列?

?????n n a 2是首项为21，公差为43的等差数列． ∴

n

n a 2＝21＋(n －1)43＝43n －4

1，a n ＝(3n －1)·2n －2

是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－

1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －

2． S n ＝2S n －S n

＝－(3－1)·2－

1－3(20＋21＋…＋2n －

2)＋(3n －1)·2n

－1

＝－1－3×1

2121－－－n ＋(3n －1)·2n －

1

＝－1＋3＋(3n －4)·2n －

1 ＝2＋(3n －4)·2n －

1．

∴ 数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －

1．