高中数学必修5数列题目精选精编
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高中数学必修5数列题目精选精编
【典型例题】
（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质
例题1. 已知数列}{n a 满足1
111,3(2)n n n a a a n --==+≥.
（1）求32,a a ； （2）证明：
312
n
n a -=
.
解：（1）2
1231,314,3413a a a =∴=+==+= .
（2）证明：由已知1
13
--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1
2
1313
3
312
n
n n a ---+=++++=
， 所以证得
312
n
n a -=
.
例题2. 数列{}
n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥
（Ⅰ）求{
}
n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}
n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b
a b a b +++成等比数列，求n T .
解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，
又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a
是首项为1，公比为3的等比数列
∴1
3
n n a -=
（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，
由题意可得2
(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==
∵等差数列{}
n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =
∴2
(1)
3222
n n n T n n n
-=+
?=+
例题3. 已知数列{
}
n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2
12322...a a a +++
1
2
8n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}
n n b b -+1是等差数列.
⑴求数列{
}
n a 与{}n b 的通项公式；
⑵是否存在N k *
∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.
点拨：（1）21
12322 (2)
8n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}
1
2
n n a -前n 项和的形式，
可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.
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（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.
解：（1）已知212322a a a +++ (1)
2n n a -+8n =(n ∈*N ）①
2n ≥时，2
12322a a a +++ (2)
128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
①－②得，1
2
8n n a -=，求得42
n
n a -=，
在①中令1n =，可得得41
182a -==，
所以42
n
n a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n n b b +-=2)1(4?-+-n 26n =-，
121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-
(4)(2)(28)n =-+-++- 2714n n =-+(n ∈*N ）.
（2）k k b a -=2714k k -+-42k
-，
当4k ≥时，
2
77()()2
4
f k k =-
+
-
42
k
-单调递增，且(4)1f =，
所以4k ≥时，2
()714f k k k =-+-42
1k
-≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，
所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.
例题 4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n
解： 依题意得：
2b n+1 = a n+1 + a n+2 ①
a 2n+1 =
b n b n+1 ② ∵ a n 、b n 为正数， 由②得2
1211,+++++=
=n n n n n n b b a b b a ，
代入①并同除以1
+n b 得：
2
12+++
=
n n n b b b ，
∴
}
{n b 为等差数列
∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，
29,2212
2=
=b b b a 则 ，
∴
2
)
1(),1(2
2)22
9)(
1(22
+=
∴+=
--+=
n b n n b n n ，
∴当n ≥2时，
2)
1(1+=
=
-n n b b a n n n ，
又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2
)
1(+=
n n a n
2. 研究前n 项和的性质
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例题5.
已知
}{n a 的前n 项和为2n n S a b =?+，且13a =.
（1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式； （2）设
n n n
b a =
，求数列}{n b 的前n 项和n T .
解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ?=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =?=-1
112， 又31=a ，得3=a ，从而1
23-?=n n a .又123,3a a b b =+=∴=- .
（2）
1
32
n n n
n n b a -=
=
?，
2
1
123(1)
3
2
2
2
n n n T -=
+
+
++
231111231(2
322222n n n n n T --=
+++++ ） ，得2111111(1)232222n n n n T -=++++- ， 1
11(1)2412
[
](1)
13
2
3
2
2
12
n
n n
n
n n n T +?-=
-
=
-
-
-
.
例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为1
10的等比数列，数列{b }n 满足
121(lg lg lg )
k k b a a a k
=
+++ *
()N k ∈，
（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '
.
解：（1）由题意：410
n
n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1
-的等差数列，
∴
12(1)lg lg lg 32
k k k a a a k -+++=-
，∴
1(1)7[3]2
2
n n n n b n n
--=
-=
由10
0n n b b +≥??≤?，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为
6721
2S S ==.
（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，
∴当7n ≤时，2
12731132(
)2
44
n n n S b b b n n n
-+
'=+++==-
+
当7n >时，
12789n n S b b b b b b '=+++---- 2
7121
13
2()2144n S b b b n n =-+++=-+
∴22113(7)44
11321(7)44n n n n S n n n ?-+≤??'=?
?-+>??.
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例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若
12
log n n n
b a a =，12n n S b b b =+++ 求使
1
2
30n n S n ++?>成立的n 的最小值.
解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由
a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =1
2（舍）
∴a n =2·2（n －1）=2n
（2） ∵12log 2
n
n n n b a a n ==-?，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2，
若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.
例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*
1,1N n a ∈=. 函数
3()log f x x =.
（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足
1
(3)[()2]n n b n f a =
++，记数列{}n b 的前n 项和为T n
，试比较 52512312
n n T +-与
的大小.
解：（I ）11,,n n S a +- 成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，1 3.
n n
a a +∴
=
当n =1时，由①得112221S a a ∴==-， 又11,
a =221
3,3,
a a a ∴=∴
=
{}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，1
3.n n a -∴=
（II ）∵()x log x f 3=，1
33()log log 31n n n f a a n -∴===-，
1
11
1
1
(
)
(3)[()2]
(1)(3)
21
3n n b n f a n n n n =
=
=
-
++++++，
1111111111111()224354657213n T n n n n ∴=
-+-+-+-++-+-+++
11111()
22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-++
比较52512312n n T +-
与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 22
2(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-
∵*,N n ∈∴当*
19N n n ≤≤∈且时，5252(2)(3)312,;
12
312
n n n n T +++<<
-
即
当10n =时，
5252(2)(3)312,;
12
312
n n n n T +++==
-即
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当*
10N n n >∈且时，
5252(2)(3)312,12
312n n n n T +++>>
-
即.
3. 研究生成数列的性质
例题9. （I ） 已知数列{}n c ，其中n
n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；
（II ） 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.
解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有 （c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1），
将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2
n ＋1
+3
n ＋1
－p （2n ＋3n ）]2
=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]，
即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]
2
=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，
整理得61
（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，
解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n . 为证{c n }不是等比数列只需证2
2c ≠c 1·c 3.
事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋2
1b q 2＋2a 1b 1pq ，
c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）= 21a p 2＋2
1b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）. 由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，
因此≠2
2c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.
例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，
163,8
14342=
=
a a
求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn
解： 设数列{1k a }的公差为d ， 数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q
则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]q k －1
依题意得：???
?
??
???
=+==
+==+=163)2(81)(1)3(3
1143
3
11421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21 又n 2
个数都是正数，
∴a 11 = d = q = 21 ， ∴a kk = k
k
2
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n
n S 2
12
132
12213
2
?++?+?+= ，
1
4
3
2
2
12
132
122
12
1+?
++?
+?
+=n n S ，
两式相减得：n
n n S 2
2
1
21
-
-
=-
例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记
()
*
3
,.
f n n a n N
=∈ （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设
n
n n
n n b b b T a b +++==
21,2
，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；
（3）求使不等式1
2)11()11)(11(2
1
+≥+
+
+
n p a a a n
对一切*N n ∈均成立的最大
实数p .
解：（1）由题意得???=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得???-==12b a ，
)12(log )(3-=∴x x f *
)
12(l o g ,123
3N n n a n n ∈-==- （2）由（1）得n n n b 212-=， n
n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ①
1
1
3
2
2
122
322
522
32
12
1+--+
-+
-+
++
=
n n
n n n n n T ② ①－②得
)
2
12
12
12
1(
2
121n 22
22
222
2
22
1T 211
n 2
n 2
1
1
1
n n
1n 3
2
1
n --+-+
+
++
+=
--+
+
++
+= 1
n 1
n 1
n 2
1n 22
1232
1
n 2+-+--
-=--.
n
n
2
n n 2
3n 232
1n 22
13T +-
=--
-
=∴-，
设
*
,2
32)(N
n n n f n
∈+=
，则由
15
12132121)32(25223225
2)
()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n
n
得
*
,2
3
2)(N
n n n f n
∈+=
随n 的增大而减小
+∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m
（3）由题意得
*
2
1)11()11)(11(121N
n a a a n p n
∈++
+
+≤
对 恒成立
记
)
1
1()11)(11(1
21)(2
1
n a a a n n F +
++
+=
，则
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()()
11n 21n 2)
1n ()1n (4)1n (2)
3n 2)(1n 2(2n 2)a 11()a 11)(a 11(1
n 21)
a 11)(a 11()a 11)(a 11(3
n 21
)
n (F )1n (F 2
n
2
1
1n n
2
1
=++>
+-++=+++=
+
+++++++
+=
++
)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大
)(n F 的最小值为
3
3
2)1(=
F ，
3
3
2≤
∴p ，即
3
3
2max =
p .
（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.
例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*
N n ∈.
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；
⑶设n b =
1
(12)n n a -**
12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*
N n ∈，均有>n T 32m
成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2832d d =+?=-，82(1)102n a n n ∴=--=-. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时
2
1281029,
2
n n
a a a n n n +-=+++=
?=-
6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 76521
2
555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+
故
?????+--=40n 9n n n 9S 22
n 56n n ≤≥ （3）
11111()(12)
2(1)
21n n b n a n n n n =
=
=
--++ ，
∴n
T 1111111
111[(1)(
)(
)()(
)]2223
34
11
n n n n =-+-
+-++-+-
-+ .
2(1)n
n =
+
若
32n m
T >对任意*
N n ∈成立，即116n
m
n >+对任意*
N n ∈成立，
*
()
1
N n n n ∈+
的最小值是21
，1
,
16
2m
∴
<
m ∴的最大整数值是7.
即存在最大整数,7=m 使对任意*
N n ∈，均有
.32n m
T >
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例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n
a
n b n =∈N *.
（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若8131220,a a m b b b += 求.
解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n
a
n b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n
1-+=?=?-。
所以{}n a 是以3log q 为公差的等差数列.
（2）∵813,a a m +=所以由等差数列性质可得120813,a a a a m +=+=
123a a a +++…
12020()20
102
a a a m +?+=
=?
1220
()
1012203
3
a a a
m
b b b +++==
2. 由简单递推关系证明等差等比数列
例题14. 已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >
，n b =*n ∈N ），
且{}n b 是以q 为公比的等比数列.
（I ）证明：2
2n n a a q +=；
（II ）若2122n n n c a a -=+，证明：数列{}n c 是等比数列；
（III ）求和：1
2
3
4
21
21
11111n n a a a a a a -+
+
+
++
+
.
解法1：（I ）证：由1
n n
b q
b +=12
21
n n n n
n n a a a q
a a a ++++=
=，∴()*N n q a a 2
n 2n ∈=+.
（II ）证：∵2
2n n q a a -=，
222
21231n n n a a q a q ---∴=== ，2n 2222n 2n 2q a ...
q a a --===，
22
22
22
22
212121222(2)5n n n n n n n c a a a q
a q
a a q
q
-----∴=+=+=+=.
{}
n c ∴是首项为5，公比为2
q 的等比数列.
（III ）解：由（II ）得2221
1
1
1n
n q
a a --=，2222
1
1n
n
q
a
a
-=
，于是
12
21
32124
2111111111
(
)(
)
n n n a a a a a a a a a -+++
=+
++++
++
2
4
22
2
4
22
12
1111
1111(1)(1)n n a q q q
a q
q
q
--=+
+++
++
+++
2122
3111(1)
2
n q
q
q
-=
++++
.
当1q =时，2
4
221
221
113111
(1)2n n a a a q
q
q
-+
++=+
+
++
32
n
=.
当1q ≠时，2
4
22
1
2
21
113111
(1)
2n n
a a a q
q
q
-+++=+
+
++
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2231()21n
q q
---=-2222
31
[]2(1)n
n q q q --=-. 故21222223
121111[ 1.(1)n
n
n n q q a a a q q q -?=??+++=?3-?≠?2-? ， ，
]，
解法2：（I ）同解法1（I ）.
（II ）证： 22
2*
1
212221*********()
22N n n n n n
n n n
n n
c a a q a q a q n c a a a a +++---++=
=
=∈++，又11225c a a =+=，
{}
n c ∴是首项为5，公比为2
q 的等比数列.
（III ）由解法1中（II ）的类似方法得22
22
21212()3n n n n a a a a q
q
---+=+=，
34212121
2
212
34
212111n n n
n n
a a a a a a a a a a a a a a a --++++++
=
+
++
，
2222
21244
2123322
k k k k k k k
a a q q
a a q
--+---+==
，12k n = ，
，，. ∴()
2
n 22
n
22
1
q
...q
12
3a 1...a 1a 1
+--+++=
+
++
.
例题15. 设数列0,1,)1(,}{-≠-+=λλλ其中且项和为的前n n n n a S S n a （1）证明：数列}
{n a 是等比数列；
（2）设数列}
{n a 的公比()
q f λ=
，数列{}n b 满足1b =，b n =f （b n －1）（n ∈N *，n ≥2），
求数列
}
{n b 的通项公式；
（3）设1λ=，1(
1)n n n
C a b =-，求数列{}n C 的前n 项和Ｔn .
（1）证明：由11(1)(1)(2)n n n n S a S a n λλλλ--=+-?=+-≥ 相减得：11
,(2),1n n n n n a a a a n a λλλλ
--=-+∴=
≥+∴数列{}n a 是等比数列
（2）解：
1{
}n
b ∴是首项为
1
12b =，公差为1的等差数列，∴
12(1)1n
n n b =+-=+. 11
n b n ∴=
+.
（3）解：1λ=时11
111,(),(1)()22
n n n n n
n a C a n b --=∴=-=
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21
11112()3()()222
n n T n -∴=++++ ①
②
①－②得：
∴n n n 21n 2112T 21
???
??-??????????? ??-=
所以：114(1())2()22
n n
n T n =--.
例题16. O B C ?的各个顶点分别为(0,0),(1,0),(0,2)，设1P 为线段BC 的中点，2P 为线段OC 的中点，3P 为线段1O P 的中点. 对每一个正整数3,n n P +为线段1n n P P +的中点. 令n P 的坐标为(,)n n x y ，1212
n n n n a y y y ++=
++.
（1）求
3
21,,a a a 及,()N n a n *
∈；
（2）证明：41,()4
N n n y y n *
+=-
∈
（3）记444,()N n n n b y y n *
+=-∈，证明：}{n b 是等比数列.
（1）解：因为y 1=y 2=y 4=1， y 3=12
，y 5=
34
，所以 得a 1=a 2=a 3=2.
又由1
32
n n n y y y +++=，对任意的正整数n 有
a n +1=
12312
n n n y y y +++++=1
1212
2n n n n y y y y ++++++
=
1212
n n n y y y ++++=a n
恒成立，且a 1=2， 所以{a n }为常数数列， a n =2，（n 为正整数） （2）证明：根据12
42
n n n y y y ++++=
， 及121
2
n n n y y y ++++=a n =2， 易证得y n +4=1－
4
n y
（3）证明：因为b n +1=4n 48n 4y y ++-=（1－
444
n y +）－（1－
44
n y ）=1
4
n b -，
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又由b 1=48y y -=1－
44y -y 4=14-
，
所以{b n }是首项为14-，公比为1
4-
的等比数列.
【模拟试题】
一、填空题
1. 在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2，a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于= .
2. 已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = .
3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d 的取值范围是 .
4. 在等比数列}{n a 中，3a 和 5a 是二次方程 2
50x kx ++= 的两个根，则642a a a 的值为 .
5. 等差数列{a n }中，a 1=1，a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100，则n= .
6. 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为________
7. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453
n
n
A n
B n +=
+，77
b a =
，若n n
b a 为正整数，n 的取值个数为___________。 8. 已知数列{
}
n a 对于任意*
p q ∈N ，，有p q p q
a a a ++=，若
11
9a =
，则36a = .
9. 记数列}{n a 所有项的和为)
1(S ，第二项及以后各项的和为
)
2(S ，第三项及以后各项的
和为
,)3(S ，第n 项及以后各项的和为)(n S ，若2)1(=S ，1)2(=S ，
(3)1,2S =
，
()2
1,2
n n S -=
，则n a 等于 .
10. 等差数列}{n a 共有21n +项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项
为_____.
11. 等差数列}{n a 中，0≠n a ，若1>m 且012
1=+-+-m m m a a a ，2138m S -=，则m 的值为 .
12. 设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和. 已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 等于 .
13. 已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有(2)2(1)f x f x +=+
()f x -，且(1)2,(3)6f f ==，则(2005)f =__ __.
14. 三个数c b a ,,成等比数列，且(0)a b c m m ++=>，则b 的取值范围是 . 15. 等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，首项194,0a S ==. （1）若10n n a S +=-，求n （2） 设2
n
a n
b =，求使不等式122007n b b b +++> 的最小正整数n 的值.
点拨：在等差数列中d n S a n n ,,,知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首
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项1a 与公差d ，把n n S a ,分别用首项1a 与公差d ，表示即可. 对于求和公式1()
2
n n n a a S +=
，
1(1)2
n n n S na d -=+
采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更
简单一些. 例如：已知9109100,0,0,a a a a ><+>判断171820,,S S S 的正负. 问题2在思考时要注意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项. 16. 等差数列{n a }的前n 项和为n S
，11a =+
，39S =+
（I ）求数列{n a }的通项n a 与前n 项和为n S ； （II ）设
n
n S b n =
（*
N n ∈），求证：数列{n b }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
17. 在直角坐标平面上有一点列111222(,),(,),(,)n n n P x y P x y P x y ，对一切正整数n ，点n P 位于函数
1334
y x =+
的图象上，且n P 的横坐标构成以5
2-
为首项，1-为公差的等差数列{}n x .
⑴求点n P 的坐标；
⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的
顶点为n P ，且过点2
(0,1)n D n +，设与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：
12
23
1111n n k k k k
k k -+
++
.
⑶设{}{}|2,,1,|4,1N n n S x x x n n T y y y n ==∈≥==≥，等差数列{n a }的任一项
T S a n ?∈，其中1a 是S T ?中的最大数，10265125a -<<-，求{n a }的通项公式.
18. 已知数列{}n a 满足*
111,21()N n n a a a n +==+∈，
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 满足121
1
1
*
44
4
(1)()N n n b b
b b n a n ---=+∈ （n ∈N *），证明：{}n b 是等差
数列.
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【试题答案】
1. 42
2.
(51)
2
n n +-
3. 8(,3]3
4. ±
5. 10
6. 210
7.
8.5；5个
解法一：点拨 利用等差数列的求和公式
1()2
n n a a n
S +=
及等差数列的性质
“若2,,,N m p q m p q *
=+∈，则
2
q
p m a a a +=
”
解析：77
b a =
1131311313()
13
172()132
2
a a A
b b B +?==
+?
解法2： 点拨 利用“若{n a }为等差数列，那么bn an S n +=2
”这个结论，根据条件
找出n a 和n b 的通项.
解析：可设(745)n A kn n =+，(3)n B kn n =+，则1(1438)n n n a A A k n -=-=+，
(22)n b k n =+，则77
b a =(14738)
17(272)
2k k ?+=
?+
由上面的解法2可知n
n a b =(1438)
12
7(22)
1k n k n n +=+
++，显然只需使12
1n +为正整数即可，
故1,2,3,5,11n =，共5个.
点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用. 反思：解法2中，若是填空题，比例常数k 可以直接设为1. 8. 4 9. 解：
()(1)2
1
1
1112
2
2
n n n n n n a S S +---=-=
-
=
.
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10. 解：依题意，中间项为1+n a ，于是有11(1)319290n n n a na +++=??
=?解得129n a +=.
11. 解：由题设得m m m m a a a a 2112
=+=+-，而0m a ≠，2m a ∴=，又2138m S -= ，
121()(21)
2(21)
382(21)
2
2
m m a a m a m m -+--∴=
=
=-，10m =.
12. 解：661()6()36(324144)216n n n S S S a a -+-=+=+-=， 136n a a +=，
1()
324
2
n n n a a S +=
=. ∴18n =。
13. 解：由(2)()2(1)f x f x f x ++=+知函数*
()()N f x x ∈当x 从小到大依次取值时对应
的一系列函数值组成一个等差数列，(1),(3),,(2005)f f f 形成一个首项为2，公差为4的等差数列，(2005)2(10031)44010f =+-?=.
14. 解：设
,b a c bq
q =
=，则有1,0,1b
m b bq m b q q
q
b ++=≠∴++=
.
当0q >时，113
m
q b
q =
++≥，而0b >，
03m b ∴<≤
；
当0 m q b q = ++≤-，即1 m b ≤-，而0m >，0<∴b ，则0m b -≤<， 故 [,0)(0, ] 3m b m ∈-?. 15. 解：（1）由919360S a d =+=，得：1,5n d a n =-=-， 又由(1) 10,4(1)(1)4(1)102 n n n n a S n n -+=-+--++?-=-. 即27300n n --=，得到10n =. （2）由n n b -=52 若n ≤5，则12n b b b +++ ≤12531b b b +++= ，不合题意 故n >5，5 122(2 1) 31200721 n n b b b --++=+>- 即5 2 989n ->，所以n ≥15，使不等式成立的最小正整数n 的值为15 16. 解答：（I ）由已知得111339a a d ?=?? +=+? ?，2d ∴=， 故21(n n a n S n n =-+ =+ . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 n n S b n n = =+ 假设数列{}n b 中存在三项,,p q r b b b （p q r ,,互不相等）成等比数列，则2 q p r b b b =. 金太阳教育网 即2 ((q p r + =+ + . 2 ()(20q pr q p r ∴-+-- p q r * ∈N ，，， 2020q pr q p r ?-=∴?--=?， ， 22()()02p r pr p r p r +∴=-=∴=，，. 与p r ≠矛盾. 17. 解：（1） 53(1)(1)2 2n x n n =-+-?-=-- 1353533,(,3) 4 4 2 4n n n y x n P n n ∴=?+ =--∴-- -- （2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P . ∴设n c 的方程为： 2 23125(), 2 4 n n y a x ++=+ - 把)1,0(2 +n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：22 (23)1y x n x n =++++. 32|0' +===n y k x n ，111 1 1 1 ( )(21)(23) 221 23n n k k n n n n -∴= = - ++++ 12 23 1111 n n k k k k k k -∴ + ++ 1111111[( )( )()] 25 779 21 23 n n =-+-++- ++ =11111()25231046n n -=- ++. （3）{|(23),,1}N S x x n n n ==-+∈≥， {|(125),,1}N T y y n n n ==-+∈≥{|2(61)3,,1}N y y n n n ==-+-∈≥ ,S T T ∴= T 中最大数117a =-. 设}{n a 公差为d ，则10179(265,125)a d =-+∈--，由此得 * 24812,12() 9 N n d a T d m m -<<-∈∴=-∈ 又 * 24,724()N n d a n n ∴=-∴=-∈ 18. （1）解：* 121(),N n n a a n +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {} 1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列. 12.n n a ∴+= 即 21(*)N n n a n =-∈. （2）证：121 1 1 44 ...4 (1).n n k k k k n a ---=+ 12(...)4 2 .n n k k k n nk +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=③ 21(1)20.n n nb n b ++-++=④ 金太阳教育网 ③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+= * 211(),N n n n n b b b b n +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列. 高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{ }n b 的各项为正， 其前n 项和为n T ，且315T =，又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式， 可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. 高一数学月考试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知数列{a n }中，21=a ，*11()2 n n a a n N +=+∈，则101a 的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 211，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．12 3．在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 4．在⊿ABC 中，B C b c cos cos =，则此三角形为 （ ） A ． 直角三角形； B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5.已知{}n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 10+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．在各项均为正数的等比数列 {}n b 中，若783b b ?=， 则31 32log log b b ++……314log b +等于（ ） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7．已知b a ρρ,满足：a ρ=3，b ρ=2，b a ρρ+=4，则b a ρρ-=( ) A B C ．3 D 10 8.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 10．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径， 则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形） 注：在C ?AB 中，则有 （1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0） （2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边） （3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则 数学必修5试题 (满分：150分 时间：120分钟) 一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为 （ ） A ．12-=n a n B.)21()1(n a n n --= C ．)12()1(--=n a n n D.)12()1(+-=n a n n 2．已知{}n a 是等比数列，4 1 252==a a ，，则公比q =（ ） A ．2 1- B ．2- C ．2 D ．2 1 3．已知ABC ?中，?=∠==60,3,4BAC AC AB ，则=BC ( ) A. 13 B. 13 C.5 D.10 4．在△ABC 中，若 2sin b B a =，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 5. 在ABC ?中，若cos cos a B b A =，则ABC ?的形状一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 6．若?ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4，那么cos C =（ ） A. 14 - B. 14 C. 23 - D. 23 7．设数}{n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ） A ．1 B ．2 C ．2± D ．4 8．等差数列}{n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，且 1 32+= n n T S n n ， 则 5 5 b a =（ ） A 32 B 149 C 3120 D 9 7 9．已知{}n a 为公比q ＞1的等比数列，若20052006a a 和是方程24830x x -+=的两根， 《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+= （3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 数列 1. 等差数列 通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2 a b A += ，那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。 例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=，解得10,2a d ==，916a = 例2.{}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？ 解析：由311S S =得1213 d a =- ，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+，又10a >所以1013 a -< 故7n = 2. 等比数列 通项公式：11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项：2G ab = 前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=? 例.{}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________ 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 朝阳教育暑期辅导中心数学必修5测试题（B 卷） 考试时间：90分钟 满分：100分 出卷人：毛老师 考生姓名： 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．在等比数列{n a }中,已知11 = 9 a ,5=9a ，则3=a （ ） A 、1 B 、3 C 、±1 D 、±3 2．在△ABC 中，若=2sin b a B ，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 3.在△ABC 中，若SinA ：SinB ：SinC=5:7:8，则B 大小为（ ） A 、30° B 、60° C 、90° D 、120° 4．已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x -2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A. a <-7或 a >24 B. a =7 或 a =24 C. -7的解集是11 (,)23 -，则a b +的值是（ ）。 A. 10 B. 10- C. 14 D. 14- 8 1 1，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ． 12 9．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． 11a b < B ．11 a b > C ．2a b > D ．22a b > 10.已知{}n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 二、填空题（每小题4分，共20分） 11、在△ABC 中，=2,=a c B 150°，则b ＝ 12．等差数列{}n a 中, 259,33,a a ==则{}n a 的公差为______________。 13．等差数列{}n a 中, 26=5,=33,a a 则35a a +=_________。 [高中数学必修三知识点总结]高中数学必修5知识点总结 【--高中生入党申请书】 数学是高中生学习的最重要科目之一，数学的学习对于学生而言至关重要，数学成绩的好坏直接决定着你的总成绩的排名。下面就让给大家分享一些高中数学必修5知识点总结吧，希望能对你有帮助! 高中数学必修5知识点总结篇一 高中数学(文)包含5本必修、2本选修，(理)包含5本必修、3本选修，每学期学**两本书。 必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解) 必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程： 必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填 空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分 必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分 必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。 高中数学必修5知识点总结篇二 1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用 必修五阶段测试二(第二章 数列) 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2017·山西朔州期末)在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，且a 3a 7＝4a 4，则a 8等于( ) A ．16 B ．32 C ．－16 D ．－32 2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝????? 3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2·a 3等于( ) A ．8 B ．20 C ．28 D ．30 3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 3＝b 3，2b 3－b 2b 4＝0，则数列{a n }的前5项和S 5为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．40 4．(2017·山西忻州一中期末)在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．102 B.9658 C.9178 D ．108 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．等差数列{a n }中，a 10<0, a 11>0, 且a 11>|a 10|, S n 是前n 项的和，则( ) A ．S 1, S 2, S 3, …， S 10都小于零，S 11，S 12，S 13，…都大于零 B ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零 C ．S 1，S 2，…，S 5都大于零，S 6，S 7，…都小于零 D ．S 1，S 2，…，S 20都大于零，S 21，S 22，…都小于零 7．(2017·桐城八中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．不确定 8．(2017·莆田六中期末)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1 ; )1()()1(1 111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列 二、等差数列 知识要点 1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系 ∑==++++=n i i n n a a a a a S 1321 ?? ?≥-==-2 111n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式 ()1(),(),,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数 (),,n a kn b k b =+为常数?数列{}n a 成等差数列． 3．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2c a b += ；c b a ,,是等差数列?c a b +=2． 4．前n 项和公式：2)(1n a a S n n += ； 2 )1(1d n n na S n -+= 221(),()22 n n d d S n a n S f n An Bn =+-==+特征：即 2,(,)n S An Bn A B =+为常数?数列{}n a 成等差数列． 5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(* ∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2； ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：()()1n n a a d n N *+-=∈常数 ?{}n a 是等差数列 人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案 A. 99 D. 101 D. 3 10. —个等比数列｛a n ｝的前n 项和为48,前2n 项和为60，则前3n 项和为（） 、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20 分） ?选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1?由 a ! 1 , d 3确定的等差数列a n ，当a n 298时，序号n 等于（） 2. ABC 中, 若 a 1,c 2,B 60，贝U ABC 的面积为（ A. 3 B 4 C. 5 D.6 2 6.不等式ax bx c 0(a 0）的解集为R ，那么（） A. a 0, B. a 0, C. a 0, 0 D. a 0, 0 x y 1 7.设x, y 满足约束条件y x ,则z 3x y 的最大值为（） y 2 A . 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.在 ABC 中,a 80,b 100, A 45 ,则此三角形解的情况是（） A. 一解 B 两解 C.一解或两解 D.无解 9.在△ ABC 中，如果 sinA:sinB:sinC 2:3:4，那么 cosC 等于( ) C. 96 E. 100 3.已知x A . 5 0,函数y - x B . 4 x 的最小值是（ C . D . 6 4..在数列｛a .｝中，6=1， a n 1 a n 2 ，则a 51 的值为（ A . 99 5.在等比数列中, B . 49 1 2 a 1 D . 101 C. 102 丄，a n 丄，贝U 项数n 为（ 2 32 2 A.- 3 2 B.-- 3 C. -1 1 D.- 4 A 、63 B 108 C 、75 D 、83 金太阳教育网 高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312 n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312 n n n a ---+=++++= ， 所以证得 312 n n a -= . 例题2. 数列{} n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ } n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{} n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{} n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2 (1) 3222 n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{ } n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 1 2 8n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ } n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）21 12322 (2) 8n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{} 1 2 n n a -前n 项和的形式， 可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. 必修五阶段测试四(本册综合测试 ) 时间： 120 分钟满分： 150 分 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共60 分 ) 3x－1 ≥ 1 的解集是 () 1．不等式2－x 3 ≤ x≤23 ≤ x<2 C. x 3 D ．{ x|x<2} A. x 4 B. x 4x>2或 x≤4 2． (2017 存·瑞中学质检 )△ ABC 中， a＝ 1， B＝ 45°， S△ABC＝2，则△ ABC 外接圆的直径为 () A ．4 3 B ．5C． 5 2D． 6 2 3．若 a<0 ，则关于 x 的不等式 22 ) x － 4ax－5a>0 的解为 ( A ．x>5a 或 x<－ a B．x>－ a 或 x<5a C．－ a - 1 - 高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a sin sin = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫 这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… （3）数列的函数特征与图象表示： 4 5 6 7 8 9 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式 二、等差数列 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为 1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理: 人教版数学高中必修5数列习题及知识点 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2005，则序号n 等于()． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝()． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则()． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于()． A ．1 B ．43 C ．21 D ．8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为(). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是()． A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝()． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝()． A ．1 B ．－1C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是()． A ．21B ．－21C ．－21或2 1D ．41 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝()． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 二、填空题高中数学必修5 数列经典例题集锦
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S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5 D ．S 6和S 7均为S n 的最大值 9．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 5 B ．S 6＜S 5 C ．S 4＝S 5 D ．S 6＝S 5 10．(2017·西安庆安中学月考)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n (n ∈N *，n ≥2)，则a 6等于( )人教版高中数学必修5数列教案
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