(完整版)概率论与数理统计课程第一章练习题及解答

概率论与数理统计课程第一章练习题及解答

一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）

1、若1()P A =，则A 与任一事件B 一定独立。（√）

2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。（√）

3、样本空间是随机现象的数学模型。（√）

4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。（×）

5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。（×）

6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。（√）

7、若S 为试验E 的样本空间，12,,,n B B B L 为E 的一组两两互不相容的事件，则称12,,,n B B B L 为样本空间S 的一个划分。（×）

8、若事件A 的发生对事件B 的发生的概率没有影响，即()()P B A P B =，称事件

A 、

B 独立。

（√） 9、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则其中任意(2)k k n ≤≤个事件也是相互独立的。（√）

10、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则将12,,,n B B B L 中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。（√）

二、单选题

1．设事件A 和B 相互独立，则()P A B =U （ C ）

A 、()()P A P

B + B 、()()P A P B +

C 、1()()P A P B -

D 、1()()P A P B -

2、设事件A 与B 相互独立，且0()1,0()1P A P B <<<<，则正确的是（ A ）

A 、A 与A

B +一定不独立 B 、A 与A B -一定不独立

C 、A 与B A -一定独立

D 、A 与AB 一定独立

3、设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ）

A 、1()()()P C P A P

B ≤+- B 、1()()()P

C P A P B ≥+-

C 、()()P C P AB =

D 、()()P C P A B =U

4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（ ）

A 、(1)0{}T t ≥

B 、(2)0{}T t ≥

C 、(3)0{}T t ≥

D 、(4)0{}T t ≥

分析 事件(4)0{}T t ≥表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度0t ；事件(3)0{}T t ≥表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，即(3)0{}E T t =≥，选C 。

5、对于任意二事件A 和B ，与A B B =U 不等价的是（ ）

A 、A

B ? B 、B A ?

C 、AB φ=

D 、AB φ=

分析 A B B A B B A AB φ=?????=U ，而AB B A =-，因,

A B AB φ?=不一定成立，选D 。

6、对于任意二事件A 和B ，

A 、若A

B φ≠，则A ，B 一定独立 B 、若AB φ≠，则A ，B 有可能独立

C 、若AB φ=，则A ，B 一定独立

D 、若AB φ=，则A ，B 一定不独立

分析 若(),()P A P B 中至少有一个等于0时，则A 不成立；若(),()P A P B 均大于0时，则C 不成立；若AB φ≠，但()0P A >，且()()P B A P B =时，则A 与B 独立，D 不成立，因此应选B 。即当AB φ≠时，如果()()()P AB P A P B =，则A 与B 独立，否则A 与B 不独立。

7、对于事件A 和B ，满足1P B A =（）的充分条件是（ ）

A 、A 是必然事件

B 、0P B A =（）

C 、A B ?

D 、A B ?

分析 1P B A =（）的充分条件是1P

AB P A =（）（），即()()P AB P A =，显然在四个选项中，当A B ?时，AB A =，可得()()P AB P A =，因此A B ?是1P B A =（）的充分条件。选D

8、已知0()1P B <<且1212[()]()()P A A B P A B P A B +=+，则下列选项成立的是

A 、1212[()]()()P A A

B P A B P A B +=+ B 、1212()()()P A B A B P A B P A B +=+

C 、1212()()()P A A P A B P A B +=+

D 、1122()()()()()P B P A P B A P A P B A =+ 分析 依题意 1212[()]()()()()()P A A B P A B P A B P B P B P B +=+，1212()()()()()P A B A B P A B P A B P B P B ++= 因为0()1P B <<，故有1212()()()P A B A B P A B P A B +=+。选B

9、设A 、B 为任意两个事件，且,()0A B P B ?>，则下列选项必然成立的是

A 、()P A P A

B （）< B 、()P A P A B ≤（）

C 、()P A P A B （）>

D 、()P A P A B ≥（） 分析 因为A B ?，故AB A =，又()1P B ≤，于是有

()()()()()P A P AB P B P A B P A B ==≤，选B

10、设A 、B 是两个随机事件，且0()1,()0,()()P A P B P B A P B A <<>=，则必有（ ）

A 、()()P A

B P A B = B 、()()P A B P A B ≠

C 、()()()P AB P A P B =

D 、()()()P AB P A P B ≠

分析 应用条件概率定义从()()P B A P B A =可得

()()()()P AB P AB P A P A =， 即[1()]()()[()()]()()()

P A P AB P A P B P AB P AB P A P B -=-?=，选C

三、填空题

1、随机试验记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），样本空

间S 为（ 0,1,2,,100i S i n n ??==????

L ） 2、生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数，样本空间S 为（ {}10,11,12,S =L ）

3、对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2 个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果，样本空间S 为

（{}00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111S =）

4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，样本空间S 为（ 取一直角坐标系，则样本空间为 {}

22(,)1S x y x y =+<；若取极坐标系，则样本空间为 {}πθρθρ20,1),(<≤<=S 。 ）

5、设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1）A 发生，B 与C 不发生，（ABC 或者A B C -- ）

（2）A 与B 都发生，而C 不发生，（ABC 或者AB C -）

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生，（ A B C ??）

（4）A ，B ，C 都发生，（ABC ）

（5）A ，B ，C 都不发生，（ABC ）

（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，（AB BC CA ??或者AB BC CA ??或者ABC ABC ABC ABC ???）

（7）A ，B ，C 中不多于两个发生， （BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A D ??????=7或者ABC C B A D =??=7

）

（8）A ，B ，C 中至少有两个发生，（CA BC AB D ??=8

或者C AB C B A BC A ABC D ???=8）

。 6、设A ，B 是任意两个随机事件，则{()()()()}P A B A B A B A B ++++=（0） 分析 ()()A B A B AA AB AB BB B ++=+++= ()()A B A B AA AB AB BB B ++=+++=

{()()()()}()()0P A B A B A B A B P BB P φ++++===

7、一批产品共有10个正品2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为（ ）

分析 此为一全概率问题，设事件 {}1

2i B i i ==第次抽出次品，，， 由题有 112121012P B P B ==（），（），2121111211P B B P B B ==（），（），

于是 2121121211021121112116

P B P B P B B P B P B B =?+?=（）=（）（）+（）（）

8、设A ，B 两个事件满足()()P AB P AB =，且()P A p =，则()P B =（ ） 分析 ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+U U

因为()()P AB P AB =，故有()()1P A P B +=，()1()1P B P A p =-=-

9、设两两相互独立的三事件A ，B 和C ，满足条件：,()()()ABC P A P B P C φ===，且已知)916PA B C =U U ，则()P A =（ ）

分析 由于A 、B 、C 两两相互独立，且()()()P A P B P C ==，

所以 ，2()()()[()]P AC P A P C P A ==，

2()()()[()]P BC P B P C P A ==，

2)()()()()()()()3()3[()]PA B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P A P A =++---+=-U U 依题意，有 23()3[()]916P A P A -=， 解方程，得()14P A =。 （()34P A =不合题意舍去）

10、设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1，A 发生B 不发生的概率与B 发生 A 不发生的概率相等，则()P A =（ ）

分析 依题意，()()P AB P AB =，故 ()()()()P AB P AB P AB P AB +=+，

即()()P A P B =，又因A 与B 相互独立，故A 与B 亦相互独立，

2()()()[()]19()13,()2P AB P A P B P A P A P A ===?==。

四、计算题

1、（1）设A ，B ，C 是三个事件，且(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/8，求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。

(2)已知P(A)=1/2，P(B)=1/3，P(C)=1/5，P(AB)=1/10，P(AC)=1/15，P(BC)=1/20，P(ABC)=1/30,求B A ?，B A ，C ?B ?A ，C B A ，C B A ，C Y B A 的概率。

（3）已知P(A)=1/2，(i)若A ，B 互不相容，求)(B A P ，（ii ）若P(AB)=1/8，求)(B A P 。

解：（1）

5()()()()()()()()()8

0000

58

P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC P ABC ABC AB P AB P ABC P AB P ABC P A B C ??=++---+=+?=≤≤==??由，且已知（），得（）（），于是（）因此（）= （2）11111231015

P A B P A P B P AB ?=+-+-=（）（）（）（）=； 415

P AB P A B P A B =??（）（）=1-（）=；

1111111512351020153060

P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ??=+-++---+=（）（）（）+（）（）-（）-（）+（）=960

P ABC P A B C P A B C =????（）（）=1-（）= 491156012

P AB P ABS P AB C C P ABC P ABC P ABC P AB P ABC =?+=--=因为（）（）=（（）=（）（）

于是（）（）（）= 411231551260

P

AB C P AB P C P ABC ?=（）（）+（）-（）=+-=。 （3）（i ） 0,)12AB P AB P A P AS P A B B P AB P AB P AB P A P AB φ===?-因为，（）（）（）=（(）=（）+（）

所以（）=（）（）=

（ii ）

1,)8113288

P AB P A P AS P A B B P AB P AB P AB P A P AB ==?--=因为（）（）（）=（(）=（）+（）所以（）=（）（）= 2、在房间里有10 个人，分别佩戴从1 号到10 号的纪念章，任选3 人记录其纪念章的号码。求

（1）最小号码为5 的概率；

（2）最大号码为5 的概率。

解：古典概型

（1）设A=“最小号码为5” ，则 253101()12

C P A C ==；

（2）设B=“最大号码为5” ，则243101()20

C P B C ==。 3、在1 500 个产品中有400 个次品，1 100 个正品。从中任取200 个。求

（1）恰有90 个次品的概率；

（2）至少有2 个次品的概率。

解：古典概型

设A=“恰有90个次品”；B i =“恰有i 个次品”，i=0,1，C=“至少有2个次品”。

（1）设A=“恰有90个次品” ， 则2001500

110110090400)(C C C A P =； （2）设C=“至少有2个次品”，求P C （）

又设B i =“恰有i 个次品”，i=0,1，则10B B S C ?-=，

于是)()(1)()(1010B P B P B B S P C P --=?-=， 这里200150020011000)(C C B P =，2001500

199110014001)(C C C B P =， 因此2001500

1991100140020011001)(C C C C C P +-=。

4、从5 双不同的鞋子中任取4 只，问这4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？

解：古典概型

设A=“所取4只鞋子至少有2只配成一双”，

则 21

13789104681011)(1)(=??????-=-=-=S A

N N A P A P 。 另解：古典概型

设A=“所取4只鞋子至少有2只配成一双”，A i =“所取4只鞋子恰

能配成i 双”，i=1,2，则

211321010120)()()()(410

254101428152121=+=+-=+=+=C C C C C C N N N N A P A P A P S A S A 5、张卡片上分别写上Probability 这11 个字母，从中任意连抽7 张，求其排列结果为ability 的概率。

解：古典概型，设A=“排列结果为ability ”，则6711

104.24)(-?===P N N A P S A 。 6、（1）已知0.3P A P B P AB =（），（）=0.4，（）=0.5。求条件概率P B A B U （）

。

(2)已知141213P

A P A

B P B A =（），（）=，（）=，求()P A B ? 解：（1）

(())()()()()()()

()1()0.7,()1()0.6,

()(()()()0.2,0.2()0.250.70.60.5

P B A B P AB P B A B P A B P A P B P AB P A P A P B P B P AB P A S B P A P AB P B A B ??==?+-=-==-==-=-=?==+-由题知,故

； （2）

()()()()

()1()11()()()()2()34

111()()()6123P A B P A P B P AB P AB P AB P A B P B A P A P B P A P B P AB P A B ?=+-=

======?=因为又，，所以，， 7、 （1）.设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？

（2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

解：（1）设A=“从甲袋取得红球”，B=“从乙袋取得白球”，则

()()()()()()()()

1()11()(1)P B P SB P AB P AB P A P B A P A P B A m N n N n N n m n m N M n m N M n m N M ==+=++++=+=+++++++++

（2）设A i =“从第一盒取得的球中有i 只红球”，i=0,1,2，

B=“从第二盒取得一白球”，则

012001122()()()()()()()()()()()

P B P SB P A B P A B P A B P A P B A P A P B A P A P B A ==++=++ 因为61)(29240==C C A P ，18

5)(29252==C C A P ，1810)()(1)(201=--=A P A P A P ， 所以99

53115185116181011761)(=?+?+?=B P 。

8、 将两编码为A 和B 传送出去，接收站收到时，A 被误作为B 的概率是0.02，而B 被误作为A 的概率是0.01 。信息A 与信息B 被传出的频繁程度为2:1.若接收的信息是A ，问原发信息的是A 的概率是多少?

解：设D=“将信息A 传出去”，R=“接收到信息A ”，题目要求)(R D P ，由题知02.0)(=D R P ，01.0)(=D R P ，12)()(=D P D P ， 因为1)()(=+D P D P ，所以32)(=D P ，3

1)(=D P ，因此， 1971963

101.032)02.01(32)02.01()()()()()()()()()(=?+?-?-=+==D R P D P D R P D P D R P D P R P DR P R D P

9、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4 。问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

解：设A i =“第i 人能译出密码”，i=1,2,3，B=“译出密码”， 由题知51)(1=A P ，31)(2=A P ，4

1)(3=A P ，则 5

3413151413141513151413151)()()()()()()()()(321323121321321=??+?-?-?-++=+---++=??=A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P B P

10、将A ，B ，C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串AAAA ，BBBB ，CCCC 之一输入信道，输入AAAA ，BBBB ，CCCC 的概率分别为p 1, p 2, p 3 (p 1 +p 2+p 3=1)，已知输出为ABCA ，

问输入的是AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）

解：设A 1=“输入AAAA ”， B 1=“输入BBBB ”， C 1=“输入CCCC ”，D=“输入ABCA ”，

因为 1)()()()(321111111=++=++=??p p p C P B P A P C B A P ，因此 )

()()()()()()()()()()(3322111111A D P A P A D P A P A D P A P A D P A P D P D A P D A P ++==， 由于221)21()(αα-=A D P ，311)2

1()()(αα-==C D P B D P ， 所以α

αα-+-=

1)13(2)(111p p D A P 。 五、证明题

1、设A ，B 是两个事件。

（i ）已知B A =B A ，证明A=B ；

(ii)证明事件A 与事件B 恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB)。 证明：（1）因为AB A B S A B A -=-=)(，AB B B A S B A -=-=)(，

所以有AB B AB A -=-，B A =；

（2） 显然，)()()()()(AB B P AB A P B A P B A P B A B A P -+-=+=+

)(2)()()()()()(AB P B P A P AB P B P AB P A P -+=-+-=

2、设A ，B 是任意两事件，其中A 的概率不等于0和1，证明()()P B A P B A =是事件A 与B 独立的充分必要条件。

证明1：由于事件A 的概率不等于0和1，题中两个条件概率都存在。 必要性、由事件A 与B 独立，知事件A 与B 也独立，

因此 ()(),()()P B A P B P B A P B ==，从而()()P B A P B A =。

充分性、由()()P B A P B A =，可见()()()()()()1()

P AB P AB P B P AB P A P A P A -==- ()[1()]()()()()P AB P A P A P B P A P AB -=-，()()()P AB P A P B =，

因此A 与B 独立。

证明2：由于事件A 的概率不等于0和1，题中两个条件概率都存在。

()()()()()()()()()()1()

P AB P AB P AB P B P AB P B A P B A P A P A P A P A -=?=?=- ()[1()]()()()()()()()

P AB P A P A P B P A P AB P AB P A P B ?-=-?= 因此A 与B 独立。

3、设A 、B 、C 三个事件两两独立，证明A 、B 、C 相互独立的充分必要条件是A 与BC 独立。

证明：A 、B 、C 相互独立的充分必要条件是A 、B 、C 两两独立且()()()()P ABC P A P B P C =

必要性、由A 与BC 独立，因为A 、B 、C 两两独立，有B 与C 独立，故()()()()()()P ABC P A P BC P A P B P C ==，因此A 、B 、C 相互独立。

充分性、由A 、B 、C 相互独立，有()()()P BC P B P C =和()()()()P ABC P A P B P C =，从而有()()()()()()P ABC P A P B P C P A P BC ==，即A 与BC 独立。