全等三角形教案

课题：12．1全等三角形

【教学目标】

知识与技能目标:

掌握怎样的两个图形是全等形，了解全等形，了解全等三角形的的概念及表示方法。。掌握全等三角形的性质。体会图形的变换思想，逐步培养动态研究几何意识。初步会用全等三角形的性质进行一些简单的计算。

过程与方法目标：

围绕全等三角形的对应元素这一中心，。设计一系列问题，给出三组组合图形，让学生找出它的对应顶点、对应边、对应角，进面引入本节问题的主题，强化了本课的中心问题-----全等三角形的性质，经历理解性质的过程。，体会图形的变换思想，逐步培养学生动态研究几何图形的意识。

情感与态度目标:

学生在富有趣味的活动中进行全等三角形的学习，提供学生发现规律的空间，激发学生学习兴趣。

教学重点：全等三角形的性质

教学难点：寻找全等三角形中的对应元素

教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。

学情分析：这节课是学了三角形的基本知识后的一节课、只要实际操作不出错、学生一定能学好。

课前准备：全等三角形纸片

【教学教程】

一、创设情境，引入新课

1、问题：各组图形的形状与大小有什么特点？

一般学生都能发现这两个图形是完全重合的。

归纳：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2.学生动手操作

⑴在纸板上任意画一个三角形ABC，并剪下，然后说出三角形的三个角、三条边和每个角的对边、每个边的对角。

⑵问题：如何在另一张纸板再剪一个三角形DEF，使它与△ABC全等？

3.板书课题：全等三角形

- 1 -

- 2 -

定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 “全等”用“≌”表示，读着“全等于” 如图中的两个三角形全等，记作：△ABC ≌△DEF 二、 探究

全等三角形中的对应元素

1. 问题：你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？该怎样做它们才能重合呢？

2．学生讨论、交流、归纳得出：

⑴.两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全重合，只有当把相同的角重合到一起（或相同的边重合到一起）时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。

⑵.表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形的对应关系。

全等三角形的性质 1.观察与思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边 有什么关系？对应角呢？ 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等．

全等三角形的对应角相等． 2.用几何语言表示全等三角形的性质 如图：∵?ABC ≌ ?DEF

∴AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF （全等三角形对应边相等） ∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F （全等三角形对应角相等） 探求全等三角形对应元素的找法 1.动画（几何画板）演示

(1)图中的各对三角形是全等三角形，怎样改变其中一个三角形的位置，使它能与另一个三角形完全重合?

归纳：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻折、旋转的方法．

- 3 -

A

B

C

D

E F

A B

C D

E

O

A

B

C

D E

O

(2)说出每个图中各对全等三角形的对应边、对应角

归纳：从运动角度可以很轻松解决找对应元素的问题．可见图形转换的奇妙．

2. 动画（几何画板）演示

图中的两个三角形通过怎样的变换才能重合？用式子表示全等关系.并说出其中的对应关系.

3. 归纳：找对应元素的常用方法有两种： （1）从运动角度看

a ．翻折法：一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合，从而发现对应元素．

b ．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．

c ．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．

（2）根据位置元素来推理 a.有公共边的，公共边是对应边；

b.有公共角的，公共角是对应角；

c.有对顶角的，对顶角是对应角；

d.两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；

e.两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角； 三、课堂练习

练习1.△ABD ≌△ACE ，若∠B ＝25°, BD ＝6㎝，AD ＝4㎝， 你能得出△ACE 中哪些角的大小，哪些边的长度吗？为什么 ？ 练习2.△ABC ≌△FED

⑴写出图中相等的线段，相等的角；

⑵图中线段除相等外，还有什么关系吗？请与同伴交 流并写出来

.

⑴

⑶

⑵

四、课堂小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，探索了找两个全等三角形对应元素的方法，并且利用性质解决简单的问题。

找对应元素的常用方法有三种：

（一）从运动角度看

1．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．

2．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

3．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．

（二）根据位置元素来推理

1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．（三）根据经验来判断

1. 大边对应大边，大角对应大角

2. 公共边是对应边，公共角是对应角

五、课堂作业

必做题：课本第38页1、2、选做题：第3题

六、板书设计 12．1 全等三角形

一、概念二、全等三角形的性质三、性质应用例题

四、小结：找对应元素的方法

运动法：翻折、旋转、平移．

位置法：对应角→对应边，对应边→对应角．

经验：大边→大边，大角→大角．公共边是对应边，公共角是对应角。

【教学反思】

- 4 -

课题：12.2.1 三角形全等的判定《1》【教学目标】：

知识与技能：掌握三角形全等的“边边边”的条件；

过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．情感态度与价值观：让学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、?交流等环节，从而获得正确的学习方法和享受良好的情感体验．让学生体验数学来源于生活，又服务于生活的辩证思想．教学重点:三角形全等的条件．

教学难点：寻求三角形全等的条件．

教学方法:采用启发诱导，实例探究，

讲练结合，小组合作等方法。

学情分析：这节课是学了全等三角形的

基本知识后的一节课、只要实际操作不出

错、学生一定能学好，根据之前的学情、学

好这一节课有把握。

课前准备全等三角形纸片、三角板、

【教学过程】：

一、创设情境，引入新课

[师]，回忆前面研究过的全等三角形．已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．

[生]图中相等的边是：AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．

相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．

[师]很好，老师这里有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？

[生]能，先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等．

[师]这位同学利用了全等三角形的定义来作图．请问，是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．C'

B'A'

C

B

A

- 5 -

- 6 -

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），?画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做． ①三角形一内角为30°，一条边为3cm ． ②三角形两内角分别为30°和50°． ③三角形两条边分别为4cm 、6cm ．

学生活动：分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．

结果展示：

1．只给定一条边时：

只给定一个角时：

2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．

可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．

[师]那么，给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？ [生]四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边． [师]在大家刚才的探索中，我们已经发现三内

角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况． 二 、探究：做一做：

已知一个三角形的三条边长分别为6cm 、8cm 、10cm ．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

①

3cm

3cm

3cm

30?

30?

30?②

50?

50?

30?

30?③

6cm

4cm

4cm

6cm

学生活动：

1．讨论作法．

2．比较、验证结果．

3．探究、发现、总结规律．

教师活动：

教师可参与到学生的制作与讨论中，及时发现问题，因势利导．

活动结果展示：

1．作图方法：

先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，?两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．

2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．?这说明这些三角形都是全等的．

3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A/B/C/，使AB=A/B/、AC=A/C/、BC=B/C/．将△A/B/C/剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．

[师]用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．

三、例题

[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：△ABD≌△ACD．

角形的三条边是否对应相等．

证明：因为D是BC的中点

所以BD=DC

在△ABD和△ACD中

- 7 -

- 8 -

(AB AC BD CD AD AD =??

=??=?公共边)

所以△ABD ≌△ACD （SSS ）．

生活实践介绍：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，?而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．?例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等． 四、课时小结

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，?发现了证明三角形全等的一个规律SSS ．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

五、布置作业

必做题：课本P43页习题12.2中的第1，选做题：第2题 六、板书设计

【教学反思】

课题： 12.2.2 三角形全等的条件《2》【教学目标】：

知识与技能：理解三角形全等的“边角边”的条件．掌握三角形全等的“SAS”条件，了解三角形的稳定性．能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题．

过程与方法：经历探究全等三角形条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学规律的过程．掌握三角形全等的“边角边”条件．在探索全等三角形条件及其运用过程中，培养有条理分析、推理，?并进行简单的证明．情感态度与价值观：通过画图、思考、探究来激发学生学习的积极性和主动性，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力与创新精神．

教学重点:三角形全等的条件．

教学难点：寻求三角形全等的条件．

教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。

学情分析：这节课是学了全等三角形的边边边后的一节课、將中间的边变为角探讨、学生一定能理解，根据之前的学情、学好这一节课有把握。

课前准备全等三角形纸片、三角板、

【教学过程】：

一、创设情境，导入新课

[师]在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．给出三个条件时，有四种可能，能说出是哪四种吗？

[生]三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．

[师]很好，这四种情况中我们已经研究了两种，三内角对应相等不能保证两三角形一定全等；三条边对应相等的两三角形全等．今天我们接着研究第三种情况：“两边一内角”．

（一）问题：如果已知一个三角形的两边及一内角，那么它有几种可能情况？

[生]两种．

1．两边及其夹角．

- 9 -

- 10 -

2．两边及一边的对角．

[师]按照上节方法，我们有两个问题需要探究．

（二）探究1：先画一个任意△ABC ，再画出一个△A /B /C /，使AB= A /B /、?AC=A /C /、∠A=∠A /（即保证两边和它们的夹角对应相等）．把画好的三角形A /B /C /剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？

探究2：先画一个任意△ABC ，再画出△A /B /C /，使AB= A /B /、AC= A /C /、∠B=∠B /（即保证两边和其中一边的对角对应相等）．把画好的△A /B /C /剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？ 学生活动：

1．学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出△ABC 与△A /B /C /，将△A /B /C /剪下，与△ABC 重叠，比较结果．

2．作好图后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律． 教师活动：

教师可学生作完图后，由一个学生口述作图方法，教师进行多媒体播放画图过程，再次体会探究全等三角形条件的过程． 二 、探究 操作结果展示： 对于探究1：

画一个△A /B /C /，使A /B /=AB ，A /C /=AC ，∠A /=∠A ． 1．画∠DA /E=∠A ；

2．在射线A /D 上截取A /B /=AB ．在射线A /E 上截取A /C /=AC ；

3．连结B /C /．

将△A /

B /

C /

剪下，发现△ABC 与△A /B /C /

全等．这就是说：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS ”）．

小结 ： 两边和它们的夹角对应角相等的两个三角形全等．简称“边角边”和“SAS ”． 如图，在△ABC 和△DEF 中，

C '

B '

A '

D

C

B

E

A

F

D

C

B

E

A

- 11 -

AB DE B E ABC DEF BC EF =??

∠=∠→?????=?

对于探究2：

学生画出的图形各式各样，有的说全等，有的说不全等．教师在此可引导学生总结画图方法： 1．画∠DB /E=∠B ；

2．在射线B /D 上截取B /A /=BA ；

3．以A /为圆心，以AC 长为半径画弧，此时只要∠C ≠90°，?弧线一定和射线B /E 交于两点C /、F ，也就是说可以得到两个三角形满足条件，而两个三角形是不可能同时和△ABC 全等的．

也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．所以它不能作为判定两三角形全等的条件． 归纳总结：

“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等．即： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（简记为“边角边”或“SAS ”） 三、应用举例

[例]如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连结AC 并延长到D ，使CD=CA ．连结BC 并延长到E ，使CE=CB ．?连结DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离．为什么？

[师生共析]如果能证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB=DE ．

在△ABC 和△DEC 中，AC=DC 、BC=EC ．要是再有∠1=∠2，那么△ABC 与△DEC?就全等了．而∠1和∠2是对顶角，所以它们相等． 证明：在△ABC 和△DEC 中

12AC DC BC EC =??

∠=∠??=?

C '

B '

A '

F D

E

2

1D

C

B

E

A

- 12 -

A

B

C

D

E

所以△ABC ≌△DEC （SAS ） 所以AB=DE ．

1．填空：

(1)如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，要用边角边公理证明△ABC ≌△CDA ，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD ＝CB(已知)，二是___________；还需要

一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

(2)如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD ≌ACE ，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)． 四、练习

1. 已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(图3)． 求证：△ADC ≌△CBA ．

2.已知：AB ＝AC 、AD ＝AE 、∠1＝∠2(图4)． 求证：△ABD ≌△ACE ．

五、课堂小结

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．

六、布置作业

必做题：课本P43——44页习题12.2中的第3，选做题：第4题题 七、板书设计

【教学反思】

课题：12.2.3三角形全等的判定《3》

【教学目标】：

知识与技能：理解三角形全等的条件：角边角、角角边．三角形全等条件小结．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

过程与方法：经历探究全等三角形条件的过程，进一步体会操作、?归纳获得数学规律的过程．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

情感态度与价值观：通过画图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神

教学重点:已知两角一边的三角形全等探究．

教学难点：灵活运用三角形全等条件证明．

教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。

学情分析：这节课是学了全等三角形的边边边、边角边后的一节课、有全面的学习经验、探讨出角边角（ASA）角角边（AAS）学生一定能理解。

课前准备全等三角形纸片、三角板、

【教学过程】：

一、创设情境，导入新课

1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

三种：①定义；②SSS；③SAS．

2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

二、探究

[师]三角形中已知两角一边有几种可能？

[生]1．两角和它们的夹边．

- 13 -

- 14 -

2．两角和其中一角的对边． 做一做：

三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm ，?你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．

教师活动：检查指导，帮助有困难的同学． 活动结果展示：

以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等． 规律：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）．

[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC ，?能不能作一个△A /B /C /，使∠A=∠A /、∠B=∠B /、AB= A /B /呢？ [生]能．

学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA ”的理解． [生]①先用量角器量出∠A 与∠B 的度数，再用直尺量出AB 的边长． ②画线段A /B /，使A /B /=AB ．

③分别以A /、B /为顶点，A /B /为一边作∠D A /B /、∠EB /A ，使∠D /AB=∠CAB ，∠EB /A /=∠CBA ．

④射线A /D 与B /E 交于一点，记为C / 即可得到△A /B /C ′．

将△A /B /C ′与△ABC 重叠，发现两三角形全等．

[师]于是我们发现规律：

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）． 这又是一个判定三角形全等的条件． [生]在一个三角形中两角确定，第三

个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA ”推出“两角和其中一角的

C '

A '

B '

D

C

A

B

E

- 15 -

对边对应相等的两三角形全等”呢？

[师]你提出的问题很好．温故而知新嘛，请同学们来验证这种想法． 三、练习

如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ 证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180° ∠A=∠D ，∠B=∠E ∴∠A+∠B=∠D+∠E ∴∠C=∠F

在△ABC 和△DEF 中

B E B

C EF C F ∠=∠??

=??∠=∠?

∴△ABC ≌△DEF （ASA ）． 于是得规律：

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）． 四、例题

[例]如下图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ． 求证：AD=AE ．

[师生共析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD=AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可． 学生写出证明过程． 证明：在△ADC 和△AEB 中

A A

AC AB C B ∠=∠??

=??∠=∠?

所以△ADC ≌△AEB （ASA ） 所以AD=AE ．

[师]请同学们把三角形全等的判定方法做一个小结． 学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充．

D C

A

B

E D

C

A

B

F

E

- 16 -

有五种判定三角形全等的条件． 1．全等三角形的定义 2．边边边（SSS ） 3．边角边（SAS ） 4．角边角（ASA ） 5．角角边（AAS ）

推证两三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．

练习：图中的两个三角形全等吗？请说明理由．

五、课堂小结 我们有五种判定三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义

2．判定定理：边边边（SSS ） 边角边（SAS ） 角边角（ASA ） 角角边（AAS ）

六、布置作业

必做题：课本P44页习题12.2中的第6，选做题：第11题 七、板书设计

【教学反思】

29?

29?

D

C A

B

(2)

E

50?50?

45?

45?D C

A

B (1)

课题：12.2.4三角形全等的判定《4》【教学目标】：

知识与技能：直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．

过程与方法：经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辩证关系．掌握直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

情感态度与价值观：通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法．发展实践能力和创新精神

教学重点:运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。

学情分析：这节课是学了全等三角形的边边边．边角边．角边角边后的一节课、根据直角三角形的特点、探讨出“HL”．学生一定能理解。

课前准备全等三角形纸片、三角板、

【教学过程】：

一、提出问题，复习旧知

1、判定两个三角形全等的方法：、、、

2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是

3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，

（1）若∠A=∠D，AB=DE，

则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）

（2）若∠A=∠D，BC=EF，

则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）

（3）若AB=DE，BC=EF，

则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）

- 17 -

根据（用简写法）

（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF

则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

二、创设情境，导入新课

如图，舞台背景的形状是两个Array直角三角形，工作人员想知道这两

个直角三角形是否全等，但两个三

角形都有一条直角边被花盆遮住无

法测量．（播放课件）

（1）你能帮他想个办法吗？

（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

（1）[生]能有两种方法．

第一种方法：用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的

大小，若它们对应相等，根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的．

第二种方法：用直尺量出不被遮住的直角边长度，再用量角器量出其中

一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“ASA”或“AAS”，可以证明这两个

直角三角形全等．

可是，没有量角器，只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的

直角边边长，可是它们又不是“两边夹一角的关系”，所以我没法判定它们全

等．

[师]这位师傅量了斜边长和没遮住的直角边边长，发现它们对应相等，

于是他判断这两个三角形全等．你相信吗？

三、探究

做一做：

已知线段AB=5cm，BC=4cm和一个直角，利用尺规做一个直角三角形，使

∠C=?90°，AB作为斜边．做好后，将△ABC剪下与同伴比较，看能发现什么

规律？

（学生自主完成后，与同伴交流作图心得，

然后由一名同学口述作图方法．老师做多媒体课

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件演示，激发学习兴趣）． 作法：

第一步：作∠MCN=90°．

第二步：在射线CM 上截取CB=4cm ．

第三步：以B 为圆心，5cm 为半径画弧交射线CN 于点A ． 第四步：连结AB ．

就可以得到所想要的Rt △ABC ．（如下图所示）

将Rt △ABC 剪下，同一组的同学做的三角形叠在一起，发现这些三角形全等．

可以验证，对一般的直角三角形也有这样的规律． 探究结果总结：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”和“HL ”）．

[师]你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢？

[生]直角三角形也是三角形，一般来说，可以用“定义、SSS 、SAS 、?ASA?、?AAS ”这五种方法，但它又具有特殊性，还可以用“HL ”的方法判定． [师]很好，两直角三角形中由于有直角相等的条件，所以判定两直角三角形全等只须找两个条件，但这两个条件中至少要有一个条件是一对对应边才行．

四、例题：

[例1]如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD ． 求证：BC=AD ．

分析：BC 和AD 分别在△ABC 和△ABD 中，所以只须证明△ABC ≌△BAD ，?就可以证明BC=AD 了． 证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ∴∠D=∠C=90°

在Rt △ABC 和Rt △BAD 中

AB AB AC BD =??=?

∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ） ∴BC=AD ．

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[例2]有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高AC?与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两滑梯倾斜角∠ABC 和∠DFE 有什么关系？

[师生共析]∠ABC 和∠DFE 分别在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，?已知条件中这两个三角形又有一些对应的等量关系，所以可以证明这两个三角形全等得到对应角相等，显然，可以看出这两个角不相等，它们又是直角三角形中的锐角，是不是互余呢？我们试试看．

证明：在Rt △ABC 和Rt △DEF 中 又∵∠DEF+∠DFE=90°

BC EF AC DF =??=? ∴∠ABC+∠DFE=90°

所以Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ） ∴∠ABC=∠DEF

即两滑梯的倾斜角∠ABC 与∠DFE 互余． 五、课时小结

至此，我们有六种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义 2．边边边（SSS ） 3．边角边（SAS ） 4．角边角（ASA ） 5.角角边（A A S ） 6.HL （仅用在直角三角形中）

六、布置作业

必做题： 课本P44页习题12.2中的第7，8，选做题：12，13题 七、板书设计

【教学反思】