有理数的巧算(三)
第十一讲 有理数的巧算
【典型例题】
例1.计算:89999989999899989989++++
例2.计算:8
5
314526612833531218++++++.
例3.计算:2014321++++
例4.计算: 445211789555789445555211?+?+?+?
例5.计算: 100
991
99981321211?+
?++?+?
例6 计算:
111
111111111111111234
1999234199823419992341998????????+++++++++-+++++++++ ??? ???
????????
有理数的巧算练习
1.a 为有理数,则
2000
11
+a 的值不能是( ).
A 、1
B 、-1
C 、0
D 、-2000 2.()()()()()11111-÷-?---+-的结果是( ).
A 、-1
B 、1
C 、0
D 、2
3.计算:()3
2
2212-+??
? ??-÷-的结果是( ).
A 、2
B 、1
C 、-1
D 、0
4.若m 为整数,那么()[]
()1114
12---m m
的值是( ).
A 、一定是零
B 、一定是偶数
C 、是整数但不一定是偶数
D 、不能确定 5.从12
1
10181614121+++++中删去两个加数后使余下的四个加数之和恰等于1,那么删去的
两个加数是( ).
A 、6141和
B 、12141和
C 、10161和
D 、10181和 6. ()[]{}19991998199919981999----
7. ()31
8
8313.10775.0875.3?÷-?-
8.计算:()()[]
2
2223
434435.01441094112140---?÷-÷??? ??+?-
9.计算:()()()()[]
??
? ??-÷-÷-+--?-2
4
343
1622825.0
10.计算:200220017654321-+-+-+-+-
11.计算:n
n n n
n n 93186293142842421??++??+????++??+?? .
12.下图是王敏从家A 处到科技馆B 处的路线图,每段路上的数字是王敏走这段路所需的分钟数,则王敏从家出发走到科技馆参观,最快需要多少分钟?
有理数的巧算作业
1. 145522735214974-++-- 2. ()()2001
2222133213423-?????????---??? ??-÷??? ??-???? ??-
A
(家)
B (科技)馆)
1
4
1
5 7
9
11
5
10 12 17 6
13
· ·
3.计算:??? ??+++++??? ??+++??? ??++989798
3981656361434121 4.计算:
9
.03.02.01.010
987654321++++-+-+-+-+- 的值等于( ).
A 、91
B 、91
1 C 、91- D 、911-
5.有1998个互不相等的有理数,每1997个的和都是“分母为3998的既约真分数”,则这1998个有理数的和是( ).
A 、1997999
B 、1997997
C 、1988988
D 、1998999
6.若n 是大于1的整数,则()()2
1112n
n n p ---+=的值是( ).
A 、一定是偶数
B 、一定是奇数
C 、是偶数但不是2
D 、可以是偶数或奇数
7.一列数200143217,,7,7,7,7 ,其中末位数是3的有 个.
8.2001减去它的21
,再减去剩余数的31,再减去剩余数的4
1,…,依次类推,一直到减去剩余数的
2001
1
,那么最后剩余数是 .
思考题:在+1□2□3□4□5□6□7□8□9□10□11□12□13□14的□中任意填入“+”和“-”号,则运算的结果可能得到的最小非负值是 .
有理数巧算
有理数运算中的几个技巧 有理数的运算是初中数学中的基础运算,熟练地掌握有关的运算技巧,巧妙地运用有关数学方法,是提高运算速度和准确性的必要保证.下面介绍一些运算技巧. 一、 归类运算 进行有理数的加减运算时,运用交换律、结合律归类加减,常常可以使运算简捷.如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等. 例1 计算:-(0.5)-(-341) + 2.75-(721). 解法一:-(0.5)-(-341) + 2.75-(721) = (-0.5 + 2.75) + (341-721) = 2.25-44 1=-2 . 解法二:-(0.5)-(-3 41) + 2.75-(721) =-0.5 + 341+ 2.75-721= (3 + 2-7 ) + (-0.5 + 41+ 0.75 -21=-2. 评析:解法一是小数与小数相结合,解法二整数与整数结合,这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题.同学们遇到类似问题时,应学会灵活选择解题方法. 二、 凑整求和 将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加),可以降低解题难度,提高解题效率. 例2 计算:36.54228263.46+-+。 解:原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。 在有理数的运算中,为了计算的方便,常把非整数凑成整数,一般凑成整一、整十、整百、整千等数,这样便于迅速得到答案. 三、 裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算,可以用这种方法 例: 解:应用关系式 来进行“拆项”。 原式
四、 逆用运算律 在处理有理数的数字运算中,若能根据题目所显示的结构、关系特征,对此加以灵活变形,便可巧妙地逆用分配律,使解题简洁明快. 例4 计算:17.48×37+174.8×1.9+8.74×88. 解:17.48×37+174.8×1.9+8.74×88 =17.48×37+(17.48×10)×1.9+17.48×44 =17.48×37+17.48×19+17.48×44 = 17.48×(37+19+44) = 1748. 评析:很明显,灵活变形,逆用分配律,减少了运算量,提高了解题效率. 五、 巧拆项 将一个数分解成两个或几个数之和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 例5 计算:111125434236 -+-+。 解:原式()111125434236??=-+-++-+-+ ?? ? 3642212121212??=+- +-+ ??? 11221212 =+=。 例6 计算:20082009200920092009200820082008?-?。 解:原式2008200910001000120092008100010001=??-?? 0=。 评析:对于这些题目结构复杂,长度较大的数,用常规的方法不易解决.解这类问题要根据题目的结构特点,找出拆项规律,灵活巧妙地把问题解决. 六、 分组搭配 观察所求算式特征,巧妙运用分组搭配处理,可以简化运算. 例7 计算:2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69. 解:2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69 = (2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69) = 0+0+0+…+0 = 0. 评析:这种分组运算的过程,实质上是巧妙地添括号或去括号问题. 七、 倒序相加 在处理多项式的加减乘除运算时,常根据所求式结构,采用倒序相加减的方法把问题简化.
有理数的简便计算练习题
小专题一) 有理数的混合运算 1.计算: (1)(-8)-(+3)+(-6)-(-17); 解:原式=-8-3-6+17 =0. (2)-1.3+4.5-5.7+3.5; 解:原式=(-1.3-5.7)+(4.5+3.5) =1. (3)-9+6-(+11)-(-15); 解:原式=-9+6-11+15 =(-9-11)+(6+15) =-20+21 =1. (4)34-72+(-16)-(-23 )-1; 解:原式=34-72-16+23 -1 =-134 . (5)113+(-25)+415+(-43)+(-15 ). 解:原式=[113+(-43)]+[(-25)+(-15)]+415 =0+(-35)+415 =-13 . 2.计算:
(1)23÷12×4; 解:原式=23×2×4 =184. (2)(-12)3×82; 解:原式=-18×64 =-8. (3)(-3)×(-56)÷(-114); 解:原式=-3×56÷54 =-3×56×45 =-2. (4)18-6÷(-2)×(-13); 解:原式=18-6×(-12)×??? ?-13 =18-1 =17. (5)2-(-4)+8÷(-2)+(-3). 解:原式=2+4-4-3 =-1. 3.计算: (1)-14-2×(-3)2÷(-16); 解:原式=-1+2×9×6 =-1+108
=107. (2)(-2)2×7-(-3)×6-|-5|; 解:原式=4×7+18-5 =28+18-5 =41. (3)8-23÷(-4)×(-7+5); 解:原式=8-8÷4×2 =8-4 =4. (4)-32+5×(-85 )-(-4)2÷(-8); 解:原式=-9-8+2 =-17+2 =-15. (5)(-43)÷29 -16÷[(-2)3+4]; 解:原式=-43×92 -16÷(-4) =-6+4 =-2. (6)(-1)3×(-12)÷[(-4)2+2×(-5)]. 解:原式=12÷(16-10) =12÷6 =2. 4.计算: (1)(-4)2×(-2)÷[(-2)3-(-4)];
七年级数学上册有理数的巧算专项训练
七年级数学上册有理数的巧算专项训练 1.括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单. 例1计算下式的值:211×555+445×789+555×789+211×445. 例2在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少? 2.用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:
这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________,于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________这个公式叫――平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算. 例3 计算3001×2999的值. 练习1 计算103×97×10009的值. 练习2 计算: 练习3 计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).
练习4 计算: . 3.观察算式找规律 例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分. 87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.
例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值.例6计算1+5+52+53+…+599+5100的值.例7 计算: 练习一:
1.计算下列各式的值: (1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011; (2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100; (3)1991×1999-1990×2000; (4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636;
浙教版初一奥赛培训第01讲 有理数的巧算
第一讲有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性. 1.括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单. 例1计算: 分析中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化.
注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算. 例2计算下式的值: 211×555+445×789+555×789+211×445. 分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算. 解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000. 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧. 例3计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n. 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项,第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法. 解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n. 下面需对n的奇偶性进行讨论: 当n为偶数时,上式是n/2个(-1)的和,所以有 当n为奇数时,上式是(n-1)/2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1·n=n,所以有 例4在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少? 分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符号“+”或“-”,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1. 现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然
培优第二讲--有理数的运算与巧算含答案
第二讲 有理数的巧算技巧与巧算答案 基础夯实: 一、填空题 1、计算1+(-2)+3+(-4)+ … +99+(-100)=___-50_______ 2、计算1-3+5-7+9-11+…+97-99=_____-50_____ 3、若m <0,n >0,且| m |>| n |,则m +n ___<_____ 0.(填>、<号) 4、如果|a |=3,|b |=2,若ab <0,那么a -b =_____5_____ 5、25.2-减去85-与8 3 -的差,所得的结果 =______-2____ 2 1 2-、+3、-1.2的和比它们绝对值的和小=_____7.4_____ 6、若实数a 、b 满足0a b a b +=,则ab ab =_____-1______. 7、如图,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为 1 2 的长方形,接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形,再把面积为1 4的正方形 等分成两个面积为1 8 的长方形,如此进行下去,试利用图形揭示的规律计算 11111111 248163264128256 +++++++ =____256255 ______. 8、已知数轴上有A 、B 两点,A 、B 之间的距离为2,点A 与原点O 的距离为6,则所有满足条件的点B 与 原点O 的距离的和为___0______; 9、计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=???归纳各计算结果中的个位数字规律,猜测1-22018的个位数字是______3____. 10..、.3...05..万是精确到.....__..百______......位的近似数....... 11、地球到太阳的距离大约是150000000千米,用科学记数法表示为__11 101.5?_______ 米. 12..、测得某同学的身高约是...........1...66..米,那么意味着他的身高的精确值...............h .的取值范围是在....... 1.665h 1.655<≤ .. 二、选择题 1、在1,-1,-2这三个数中,任意两数之和的最大值是( B ) A . 1 B .0 C .-1 D .-3 2、若a <0,则|a -(-a )|等于( D ) A .-a B .0 C .2a D .-2a 3、两个有理数的和是正数,下面说法中正确的是( D ) A .两数一定都是正数 B .两数都不为0
初一奥数数学竞赛第一讲_有理数的巧算
初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算 1.括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单. 例1计算: 分析中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化. 注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算. 例2计算下式的值: 211×555+445×789+555×789+211×445. 分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算. 解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000. 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧. 例3计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n. 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项,第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法. 解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n. 下面需对n的奇偶性进行讨论: 当n为偶数时,上式是n/2个(-1)的和,所以有 当n为奇数时,上式是(n-1)/2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1·n=n,所以有 例4在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少? 分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符号“+”或“-”,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1. 现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0. 这启发我们将1,2,3,…,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即
七年级上册奥数提高班讲义 有理数的巧算
第一讲有理数的巧算 【学习导航】 有理数的运算是中学数学中一切运算的基础。它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算。不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性。 1.括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单. 例1计算下式的值: 211×555+445×789+555×789+211×445. 试一试 (1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011;(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100; 例2在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少? 2.用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值: 这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫――___________公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算. 例3计算3001×2999的值.
试一试 (1)103×97×10009 (2) (3)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) (4) 3.观察算式找规律 例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分.87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88. 例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值. 例6计算 1+5+52+53+…+599+5100的值. 例7 计算:
第一节巧算有理数(含解答)-
实数 在初中阶段,我们从有理数开始逐步对实数有了认识,知识有理数和无理数统称实数,并掌握了有关有理数、无理数的运算.我们关于数学问题的讨论范围,也慢慢地从有理数到了实数.关于实数其数系如下表所示: 实数??? ? ??? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ??? ? ??? ? ?? ? ??? ??? ??? ? 正整数 整数0 负整数 有理数有限小数或无限循环数 正分数 分数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 在本章中,我们主要讨论有理数的重要概念(相反数和绝对值)的应用,以及有理数运算中的一些技巧,并对有理数中的整数,从知识拓展的角度,研究整数的性质,如整除性、质数与合数、完全平方数等.然后对实数的另一部分无理数的一些运算,进行适当强化,应对升入高一级学校继续学习的需求. 第一节巧算有理数 内容讲解 当负数引进后,数的范围扩大到有理数,我们学习了有理数及其运算.在实际进行有理数运算时,常常根据算式的特点,分析参加运算的各数的特征和排序规律.试一试用运算律,或者改变一下排序,以及采取有条件地先算一部分,后再算另一部分等不同方法.巧妙地简化运算过程,机智地获得解答,达到提高观察和分析能力的目的.例题剖析 例1 计算135295 37373737 ++++.
分析:容易看出,分母相同,分子是1,3,5,…,295都是奇数.而1+295?恰好是37的8倍.如果把这个式子“倒过来写”,两式处于相同位置的项相加其和均为8.?注意到这样的和有74个,问题容易得解. 解:原式= 13529537373737++++ =(12953737+)+(32933737+)+…(1471493737 +) =74×29637 =592. 评注:本例求和可用公式S=1()2 n n a a +.其中a 1表示首项,a n 表示末项,n 表示项数.上式中的两项和(12953737+),…,(1471493737+),共有74个,即项数的一半2n . 例2 计算(12+13+…+12006)(1+12+…+12005)-(1+12+…+12006)(12+13 +…+12005). 分析:观察上式括号内的各项,把两式各加上1就与另外两式相同.根据这一特点,可用字母代换而化简. 解:设x=1+12+…+12005,y=1+12+…+12006,则y-x=12006 . 原式=(y-1)x-y (x-1) =xy-x-xy+y=y-x . ∴原式=12006 . 评注:观察问题中各算式的特点,巧妙地用字母进行代换,使问题大大简化,变得易解. 例3 计算1200500001个×2006999个9-12006999个9. 分析:我们采取“同形缩数”的办法,先解决计算101×99-199的问题,容易得知,这个问题可仿照(100+1)×99-199=9900+99-199=9900-100=9800来做,然后类比,原式易解.
6、有理数巧算
老师 姓名 学生姓名教材版本________版 学科 名称 年级七上课时间月日 _ : -- _ : 课题 名称 第六讲有理数巧算 教学 目标 及重 难点 巧算练习 教学过程复习检查 知识梳理 裂项法 零点分段法 1.零点分段法的一般步骤:①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号.绝对值的几何意义的拓展 1.a的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离. 2.a b 的几何意义:在数轴上,表示数a、b对应数轴上两点间的距离. 典型例题 1.利用裂项技巧计算()×33时,最恰当的方案可以是()
A.(100﹣)×33 B.(﹣100﹣)×33 C.﹣(99+)×33 D.﹣(100﹣)×33 2.在计算=﹣×(﹣24)….①=12+6+4=22中①运用了() A.加法结合律B.加法交换律C.乘法分配律D.加法分配律 3.阅读下面计算+++…+的过程,然后填空. 解:∵=(﹣),=(﹣),…,=(﹣), ∴+++…+ =(﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣) =(﹣+﹣+﹣+…+﹣) =(﹣) =. 以上方法为裂项求和法,请参考以上做法完成: (1)+=; (2)当+++…+x=时,最后一项x=. 4.计算:++…+(提示:裂项法) 5.阅读下面文字: 对于(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3) 可以如下计算: 原式=[(﹣5)+(﹣)]+[(﹣9)+(﹣)]+(17+)+[(﹣3)+(﹣)]
=[(一5)+(﹣9)+17+(一3)]+[(﹣)+(﹣)++(﹣)]=0+(﹣1)=﹣1 上面这种方法叫拆项法,你看懂了吗? 仿照上面的方法,请你计算:(﹣1)+(﹣2000)+4000+(﹣1999) 6.请你观察: =﹣,=﹣;=﹣;… +=﹣+﹣=1﹣=; ++=﹣+﹣+﹣=1﹣=;… 以上方法称为“裂项相消求和法” 请类比完成: (1)+++=; (2)++++…+=. (3)计算:++++的值. 7.阅读下列计算方法,再用这种方法计算下面一题. 计算:(﹣9)+17+(﹣3). 解:原式=[(﹣9)+(﹣)]+(17+)+[(﹣3)+(﹣)]=[(﹣9)+17+(﹣3)]+[(﹣)++(﹣)]=5+0=5. 上面这种解题方法叫做拆项法,根据拆项法计算:(﹣1999)+4000+(﹣1)