直线与方程经典题型总结(超值)
直线与方程
知识要点：
2、 直线的斜率公式： 在坐标平面上，
已知两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2） ， 由于两点可以确定一条直线，直线 P1P2就是
确定的．当 x1≠x2 时，直线的倾角不等于 90°时，这条直线的斜 率也是确定的．怎样用 P2和 P1 的坐标来表示这条直线的斜率？
P2 分别向 x 轴作垂线 P1M1、P2M2，再作 P1Q ⊥ P2M ，垂足分别是 M1、M2、Q ．那么：
α=∠QP1P2图
（ 甲） 或α=π- ∠
P2P1Q （图乙）
在图甲中： tan
直线的斜率常用 k 表示，即 k tan
QP 2 y 2 y 1
P 1Q x 2 x 1
在图乙中：
如果 P 1P 2 向下时，用前面的结论课得： tan 1 2 2 1 x 1 x 2 x 2 x
综上所述，我们得到经过点 P1（x1，y1） 、P2（x2，y2） 两点的直线 的斜率公式：
3、直线的点斜式方程：
y y 0 k （x x 0 ） ???? ①
其中（ x 0, y 0 ）为直线上一点坐标， k 为直线的斜
率
方程①是由直线上一定点及其斜率确
定， 式方程，简称 点斜式 。
4、直线斜截式方程：
y kx b ???
我们把直线 l 与 y 轴交点（ 0， b ）的纵坐标 b 叫做直线 l 在y 轴上 的截距（即纵截距） 。方程②是由直线 l 的斜率 k 和它tan tan P 2P 1Q QP 2 y 2 y 1
QP 1 x 2
x
在y轴上的截距b确定的，所以叫做直线斜截式方程，简称为斜截式。
5、直线方程的两点式：y y2y y11 x x2x x11 (x1 x2,y1 y2)
其中x1 , y1 , x2 , y 2是直线两点(x1,y1),(x2, y2 )的坐标.
x y 1,其中a,b 分别为直线在x 轴和y 轴
ab
上截距.
设两直线的方程是
l 1： A 1x+B1y+C1=0，l 2 ：
（2）当A1B2-A2B1=0 时：方程无解，即两直线平行.
9、两点间的距离公
式：
思考题1、如图（1），求
两点
A（—2，0），B（3，0）间的距
离。
即：
AB
1
A?
-2? -1 o
3 ( 2) 5
6、直线方程的截距式：
7、直线方程的一般形式：A x+By+C=0 （A、B 不全为0）
8、两条直线的交点坐标：
A 2x+B2y+C2=0．
-1
2）
思考题2、将图（1）中
的
求A'、B 间的距离？
思考题3、将图（2）中
的y
求A',B'间的3距离?
A'
何B 点移到第三象限B' 3, 2 处。怎
样
图3)
在图( 4)中构造出一个直角△ P1QP2
10、点到直线的距离：
例题：过点P0(x0,y0)作直线l 的垂线，垂足为Q。求P0到直线l 的距
若直线l ∥ x 轴，即：A=0，直线l 的方程Ax By C 0 为：C
y C B( ∵B≠ 0).
2)
点P0到直线l 的距离d x 0
∵ P1Q ∴ P1P2 M
1
M
2
P2Q
x2 x1 ，P2Q N1N2
(x2 x1)2 (y2 y1)2
y2 y1
1)
点P0到直线l 的距离d C
y0 B
因此，点 P 0（ x 0 , y 0 ）到直线 l ： Ax By C 0的距离为：
1点 A （a,2 ）到直线 l ：3x-4y+3=0 的距离为 1，求 a 的值 2 已知平行线 2x 3y 3 0 与 2x-3y-9=0 ，求与它们等距离的平行线的 方程
3已知 A （1，2），B （3，4），直线 l 1：x=0，l 2：y=0 和 l 3：x+3y ﹣1=0、 设 P i 是 l （i i=1 ，2，3）上与 A 、B 两点距离平方和最小的点， 则△ P 1P 2P 3 的面积是 ．
4 已知直线 （a 2）y （3a 1）x 1. 求证：无论 a 为何值时直线总经过第一 象限.
5若直线 l ：y ＝kx 3与直线 2x ＋3y －6＝0 的交点位于第一象限， P 0Q
Ax By C 0
Bx Ay Bx 0 Ay 0
Ax 0 By 0 C
Ax 0 By 0 C
求
直线 l 的倾斜角的取值围
6 若直线 2t 3 x 2y t 0 不经过第二象限，求 t 的围
0）到直线 l :x y 3 0的距离为 1，则 a =（ B ．－ 2 C ． 2 1 D ． 2 1
8 求过直线 l 1:y 13x 130和l 2:3x y 0的交点并且与原点相距为 1 的直 线 l 的方程.
9 直线 l 过点 P （1，2），且 M （2 ， 3） ， N （4 ，－ 5）到l 的距离相等，则
直线 l 的方程是
c 2 的值. a 12与直线 l:5x 12y 6 0平行且与 l 的距离 2的直线方程是 13 已知点 P 到两个定点 M （－1，0）、N （1，0）距离的比为 2 ，点 N 到直线 PM 的距离为 1．求直线 PN 的方程．
7 已知点 (a,2) (a
A ． 2 10 若两平行直线 3x 2y 1
0和 6x ay c 0之间的距离为 2 11 * 13 ，求 13
14 △ABC中，A（3,3）, B（2, 2）, C（ 7,1）. 求∠ A的平分线AD所在直线的方程.
15与直线2x 3y 6 0关于点（1，-1 ）对称的直线方程是
求点A（2，2）关于直线2x 4y 9 0 的对称点坐标
16 在函数y 4x2的图象上求一点P，使P到直线y 4x 5的距离最短，并求这个最短的距离.
17在直线l:3x y 1 0上求一点P，使得：
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。
18已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ 的中
点为M(x0，y0)，且y0>x0+2，则的取值围是
19 试求直线l1: x y 2 0关于直线l2 : 3x y 3 0对称的直线l 的方程.
20在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=，4 点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P 出发，经BC，CA反射后又回到点P(如
图)，若光线QR经过△ ABC的重心，则AP 等于( )
21已知直线l 过点M(2,1), 且分别与x轴、y 轴的正半轴交于A、
B 两点, O为原点.
(1) 当△ABO面积最小时, 求直线l 的方程;
(2) 当| MA| ·| MB| 取得最小值时,求直线l 的方程.
若直线l ⊥ x 轴，即：B=0，直线l 的方程Ax By C 0 为：C
y C A( ∵A≠ 0).
11 两平行直线5x 12y 3 0与10x 24y 5 0 间的距离是( )
A. 2
B. 1
C. 1
D. 5
13 13 26 26