2020届云南省曲靖一中高考数学理科二模试题(含答案)

2020届云南省曲靖一中高考数学理科二模试题

一、选择题

1．已知集合A＝{x|y＝lg（2﹣x）}，集合B＝{x|≤2x≤4}，则A∩B＝（ ）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2}

2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．定义运算：，则函数f（x）＝1?2x的图象是（ ）

A．B．

C．D．

4．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A、B两点，其弦AB的中点坐标为（1，1），则直线的方程为（ ）

A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．﹣2x﹣y﹣1＝0 5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗＝10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？

（ ）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

6．若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的（ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（ ）

A．4B．5C．6D．7

8．已知x，y满足，则的取值范围为（ ）

A．[，4]B．（1，2]

C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）

9．已知点A（﹣3，0），B（0，3），若点P在曲线上运动，则△PAB面积的最小值为（ ）

A．6B．C．3D．

10．已知双曲线Γ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于A，B两点，延长BF交右支于C点，若

AF⊥FB，|CF|＝3|FB|，则双曲线Γ的离心率是（ ）

A．B．C．D．

11．已知的值域为[m，+∞），当正数a，b满足时，则7a+4b的最小值为（ ）

A．B．5C．D．9

12．已知函数（x∈R），若关于x的方程f（x）﹣m+1＝0恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）

A．B．C．D．

二、填空题（共4小题）

13．（x2+）5的展开式中x4的系数为

14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1．则的值为 ．

15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱ABC﹣A1B1C1外有一个外接球Q2．若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，则球Q2的表面积为 16．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2n﹣a n，则数列{a n}的通项公式a n＝ ．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，

每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17．已知函数．

（1）当x∈[0，π]时，求函数的值域；

（2）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求AB边上的

高h的最大值．

18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，CA＝CB＝，AC⊥BC．（1）证明：面PAB⊥面ABC；

（2）求二面角C﹣PA﹣B的余弦值．

19．2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A的研发费用x（百万元）和销量y（万盒）的统计数据如下：

研发费用x（百万元）2361013151821销量y（万盒）112 2.5 3.5 3.5 4.56（Ⅰ）求y与x的相关系数r（精确到0.01），并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：|r|≥0.75时，可用线性回归方程模型拟合）；

（Ⅱ）该药企准备生产药品A的三类不同的剂型A1，A2，A3，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格的概率分别为，

，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后A1，A2，A3三类剂型合格的种类数为X，求X的数学期望．

附：（1）相关系数

（2），，，．

20．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，

（Ⅰ）若，求a，b的值；

（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．

21．设函数f（x）＝（1+e﹣2）e x+kx﹣1，（其中x∈（0，+∞）），且函数f（x）在x＝2处的切线与直线（e2+2）x﹣y＝0平行．

（1）求k的值；

（2）若函数g（x）＝﹣xlnx，求证：f（x）＞g（x）恒成立．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ＝2sinθ．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）已知点M（1，3），直线l与圆C相交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中a＞0，b＞0）．

（1）求函数f（x）的最小值M．

（2）若2c＞M，求证：．

2020届云南省曲靖一中高考数学理科二模试题答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）

1．已知集合A＝{x|y＝lg（2﹣x）}，集合B＝{x|≤2x≤4}，则A∩B＝（ ）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2}

【分析】求出集合的等价条件，利用交集的定义进行求解即可．

解：∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，

∴A∩B＝{x|﹣2≤x＜2}，

故选：C．

2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【分析】化简复数，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．

解：复数＝＝（a+1）+（﹣a+1）i，

该复数是纯虚数，∴a+1＝0，解得a＝﹣1；

所以复数2a+2i＝﹣2+2i，

它在复平面内对应的点是（﹣2，2），

它在第二象限．

故选：B．

3．定义运算：，则函数f（x）＝1?2x的图象是（ ）

A．B．

C．D．

【分析】本题需要明了新定义运算a?b的意义，即取两数中的最小值运算．之后对函数f（x）＝1?2x就可以利用这种运算得到解析式再来求画图解．

解：由已知新运算a?b的意义就是取得a，b中的最小值，因此函数f（x）＝1?2x＝

，因此选项A中的图象符合要求．

故选：A．

4．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A、B两点，其弦AB的中点坐标为（1，1），则直线的方程为（ ）

A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．﹣2x﹣y﹣1＝0

【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得到，所以直线AB 的斜率为2，又过点（1，1），再利用点斜式即可得到直线AB的方程．

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2＝2，

又，两式相减得：，

∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），

∴，

∴直线AB的斜率为2，又∴过点（1，1），

∴直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，

故选：A．

5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗＝10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？

（ ）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

【分析】设羊、马、牛吃的青苗分别为a1，a2，a3，则{a n}是公比为2的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食．解：设羊、马、牛吃的青苗分别为a1，a2，a3，

则{a n}是公比为2的等比数列，

∴a1+a2+a3＝a1+2a1+4a1＝7a1＝50，

解得，

∴羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿升，升，升粮食．

故选：D．

6．若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的（ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．

解：由p是?q的充分不必要条件知“若p则?q”为真，“若?q则p”为假，

根据互为逆否命题的等价性知，“若q则?p”为真，“若?p则q”为假，

故选：B．

7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（ ）

A．4B．5C．6D．7

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．

解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

S i是否继续循环

循环前 1 1/

第一圈3 2 是

第二圈7 3 是

第三圈15 4 是

第四圈31 5 否

故最后当i＜5时退出，

故选：B．

8．已知x，y满足，则的取值范围为（ ）

A．[，4]B．（1，2]

C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）

【分析】设k＝，则k的几何意义为点（x，y）到点（2，3）的斜率，利用数形结合即可得到结论．

解：设k＝，则k的几何意义为点P（x，y）到点D（2，3）的斜率，

作出不等式组对应的平面区域如图：

由图可知当过点D的直线平行与OA时是个临界值，此时k＝K OA＝1不成立，需比1小；

当过点A时，k＝取正值中的最小值，?A（1，1），此时

k＝＝＝2；

故的取值范围为（﹣∞，1）∪[2，+∞）；

故选：D．

9．已知点A（﹣3，0），B（0，3），若点P在曲线上运动，则△PAB面积的最小值为（ ）

A．6B．C．3D．

【分析】曲线表示单位圆x2+y2＝1的下半部分，，直线AB的方程为x﹣y+3＝0，设出点P的坐标，求出点P到直线AB的最小距离，即可三角形PAB 面积的最小值．

解：依题意，，直线AB的方程为x﹣y+3＝0，

曲线表示单位圆x2+y2＝1的下半部分，

要使△PAB面积的最小，则需点P到直线AB的距离最小，不妨设P（cosθ，sinθ）（π≤θ≤2π），

∴点P到直线AB的距离为，

∵π≤θ≤2π，

∴，

∴，

∴．

故选：C．

10．已知双曲线Γ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于A，B两点，延长BF交右支于C点，若

AF⊥FB，|CF|＝3|FB|，则双曲线Γ的离心率是（ ）

A．B．C．D．

【分析】记双曲线的左、右焦点分别为F'、F，设双曲线的实半轴长为a，半焦距为c．连接AF'、BF'、CF'．由双曲线的对称性和定义，运用勾股定理，离心率公式可得所求．

解：记双曲线的左、右焦点分别为F'、F，设双曲线的实半轴长为a，半焦距为c．连接AF'、BF'、CF'．

∵AF⊥FB，结合双曲线的对称性可知四边形AFBF'是矩形，∴．设|FB|＝x，则|CF|＝3x，|BF'|＝2a+x，|CF'|＝2a+3x．

在Rt△CBF'中，|BF'|2+|BC|2＝|CF'|2，即（2a+x）2+16x2＝（2a+3x）2可得x＝a，从而|BF'|＝2a+x＝3a，|FB|＝a，在Rt△BFF'中，|BF'|2+|FB|2＝|FF'|2，即（3a）2+a2＝（2c）2，

∴10a2＝4c2，即有e＝＝．

故选：D．

11．已知的值域为[m，+∞），当正数a，b满足时，则7a+4b的最小值为（ ）

A．B．5C．D．9

【分析】利用的值域为[m，+∞），求出m，再变形，利用1的代换，即可求出7a+4b的最小值．

解：∵＝的值域为[m，+∞），

∴m＝4，

∴+＝4，

∴7a+4b＝[（6a+2b）+（a+2b）]（+）＝[5++]≥＝，

当且仅当＝时取等号，

∴7a+4b的最小值为．

故选：A．

12．已知函数（x∈R），若关于x的方程f（x）﹣m+1＝0恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）

A．B．C．D．

【分析】讨论x的范围，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．

解：当x≤0时，为减函数，f（x）min＝f（0）＝0；

当x＞0时，，，

则时，f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，即f（x）在上递增，在上递减，

．

其大致图象如图所示，

若关于x的方程f（x）﹣m+1＝0恰好有3个不相等的实数根，

则，即，

故选：A．

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）

13．（x2+）5的展开式中x4的系数为　40　

【分析】运用二项展开式的通项可得结果．

解：根据题意得，T r+1＝（x2）5﹣r（）r＝2r x10﹣3r

令10﹣3r＝4，得r＝2

∴（x2+）5的展开式中x4的系数为22＝40；

故答案为40．

14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1．则的值为　﹣3　．

【分析】根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入

AB＝2，AD＝1即可求出的值．

解：∵AB＝2，AD＝1，

∴

＝

＝

＝1﹣4

＝﹣3．

故答案为：﹣3．

15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱ABC﹣A1B1C1外有一个外接球Q2．若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，则球Q2的表面积为　29π　

【分析】三棱柱的内切圆的半径等于底面三角形的内切圆的半径，由题意求出三角形的内切圆的半径，可知三棱柱的高为内切圆的直径，求出三棱柱的高，然后将三棱柱放在长方体内，求出长方体的对角线，再根据长方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的表面积．

解：由题意知内切球的半径为R与底面三角形的内切圆的半径相等可得，而三角形ABC为直角三角形，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，所以AC＝5，

设三角形内切圆的半径为r，由面积相等可得：r（3+4+4）＝3?4，所以

r＝，

所以R＝＝1，由题意可知三棱柱的高h为2R＝2，

将该三棱柱放在长方体中，设三棱柱的外接球的半径为R'则（2R）2＝32+42+22＝29，所以外接球的表面积S＝4πR'2＝29π，

故答案为：29π．

16．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2n﹣a n，则数列{a n}的通项公式a n＝ ．

【分析】由题意可得a n+1﹣a n﹣1＝2 （n≥2），又a1＝1，数列{a n}的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n分奇数和偶数两种情况，分别求出a n，从而得到数列

{a n}的通项公式．

解：∵a n+1＝2n﹣a n，

∴a n+1+a n＝2n①，a n+a n﹣1＝2（n﹣1）（n≥2）②，

①﹣②得：a n+1﹣a n﹣1＝2 （n≥2），又∵a1＝1，

∴数列{a n}的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，

∴当n为奇数时，a n＝n，

当n为偶数时，则n﹣1为奇数，∴a n＝2（n﹣1）﹣a n﹣1＝2（n﹣1）﹣（n﹣1）

＝n﹣1，

∴数列{a n}的通项公式，

故答案为：．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17．已知函数．

（1）当x∈[0，π]时，求函数的值域；

（2）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求AB边上的高h的最大值．

【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．

（2）由题意利用余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式求得ab的最大值，可得AB边上的高h的最大值．

解：（1）∵函数f（x）

＝sin x+﹣＝sin x+﹣＝sin（x+），

当x∈[0，π]时，x+∈[，]，sin（x+）∈[﹣，1]．

（2）△ABC中，＝sin（C+），∴C＝．

由余弦定理可得c2＝3＝a2+b2﹣2ab?cos C＝a2+b2﹣ab≥ab，当且仅当a＝b时，取等号，即ab的最大值为3．

再根据S△ABC＝??h＝ab?sin，故当ab取得最大值3时，h取得最大值为．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，CA＝CB＝，AC⊥BC．（1）证明：面PAB⊥面ABC；

（2）求二面角C﹣PA﹣B的余弦值．

【分析】（1）由已知可得三角形ABC为直角三角形，取AB中点O，再由

PA＝PB＝PC，可得PO⊥底面ABC，从而得到面PAB⊥面ABC；

（2）在平面PAB内，过O作OE⊥PA，垂足为E，连接EC，由平面与平面垂直的性质证明OC⊥PA，进一步得到PA⊥EC，可得∠OEC为二面角C﹣PA﹣B的平面角，然

后求解三角形得答案．

【解答】（1）证明：由AC⊥BC，得△ABC是以AB为斜边的直角三角形，

取AB的中点O，则O为△ABC的外心，连接PO，

∵PA＝PB＝PC，可得△POA≌△POB≌△POC，

可得∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，则PO⊥AB，PO⊥OC，

又AB∩OC＝O，∴PO⊥底面ABC，

而PO?平面PAB，则面PAB⊥面ABC；

（2）解：在平面PAB内，过O作OE⊥PA，垂足为E，连接EC，

∵面PAB⊥面ABC，面PAB∩面ABC＝AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB，得

OC⊥PA，

∵OE∩OC＝O，∴PA⊥平面OEC，则PA⊥EC．

即∠OEC为二面角C﹣PA﹣B的平面角．

在Rt△ACB中，由CA＝CB＝，得OC＝1，

在Rt△POA中，由PA＝，OA＝1，PO＝，求得OE＝，

在等腰三角形PAC中，由PA＝PC＝，AC＝，求得EC＝．

由余弦定理可得：cos∠OEC＝＝．

∴二面角C﹣PA﹣B的余弦值为．

19．2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A的研发费用x（百万元）和销量y（万盒）的统计数据如下：

研发费用x（百万元）2361013151821销量y（万盒）112 2.5 3.5 3.5 4.56（Ⅰ）求y与x的相关系数r（精确到0.01），并判断y与x的关系是否可用线性回归

方程模型拟合？（规定：|r|≥0.75时，可用线性回归方程模型拟合）；

（Ⅱ）该药企准备生产药品A的三类不同的剂型A1，A2，A3，并对其进行两次检测，

当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型A1，A2，A3合

格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格的概率分别为，

，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后A1，A2，A3三类剂型合格的种类

数为X，求X的数学期望．

附：（1）相关系数

（2），，，．

【分析】（I）由题意分别求出＝11，＝3，由公式

＞0.75，从而y与x的关系可用线性回归模型拟合．

（II）求出药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率，推导出，由

此能求出X的数学期望．

解：（I）由题意可知＝（2+3+6+10+21+13+15+18）＝11，

＝（1+1+2+2.5+6+3.5+3.5+4.5）＝3，

由公式，

∵|r|≈0.98＞0.75，∴y与x的关系可用线性回归模型拟合．

（II）药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为：

，

，

，

由题意，，

∴．

20．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线

为l，M，N是l上的两个动点，

（Ⅰ）若，求a，b的值；

（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．

【分析】（Ⅰ）设，根据题意由得

，由，得，

，由此可以求出a，b的值．

（Ⅱ）|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2．当且仅当

或时，|MN|取最小值，由能够推导出与共线．

解：由a2﹣b2＝c2与，得a2＝2b2，，l的方程为

设

则

由得①

（Ⅰ）由，得②

③

由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a2＝4

故

（Ⅱ）证明：|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2

当且仅当或时，|MN|取最小值

此时，

故与共线．

21．设函数f（x）＝（1+e﹣2）e x+kx﹣1，（其中x∈（0，+∞）），且函数f（x）在x＝2处的切线与直线（e2+2）x﹣y＝0平行．

（1）求k的值；

（2）若函数g（x）＝﹣xlnx，求证：f（x）＞g（x）恒成立．

【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出切线方程；

（2）设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝（1+e﹣2）e x+x+xlnx﹣1，原问题转化为证明函数F（x）＞0恒成立，再根据导数和函数的最值的关系，即可证明．

解：（1）∵f（x）＝（1+e﹣2）e x+kx﹣1，x∈（0，+∞），

∴f′（x）＝（1+e﹣2）e x+k，x∈（0，+∞），

∵函数f（x）在x＝2处的切线与直线（e2+2）x﹣y＝0平行，

∴f′（2）＝e2+1+k＝e2+2，解得k＝1．

（2）由（1）得f（x）＝（1+e﹣2）e x+x﹣1，

设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝（1+e﹣2）e x+x+xlnx﹣1，原问题转化为证明函数F（x）＞0恒成立，

∴F′（x）＝（1+e﹣2）e x+lnx+2，x＞0，