八年级第五章相交线与平行线单元测试卷易错题(Word版 含答案)
八年级第五章相交线与平行线单元测试卷易错题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．在同一坐标平面内，图象不可能．．．
由函数2
21y x =+的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（ ） A ．22(1)1y x =+-
B ．223y x =+
C ．221y x =--
D ．2
112
y x =
- 2．如图，AB ∥EF ，设∠C ＝90°，那么x 、y 和z 的关系是（ ）
A ．y ＝x+z
B ．x+y ﹣z ＝90°
C ．x+y+z ＝180°
D ．y+z ﹣x ＝90°
3．如图，直线a ∥b ，把三角板的直角顶点放在直线b 上，若∠1＝60°，则∠2的度数为
（ ）
A ．45°
B ．35°
C ．30°
D ．25°
4．如图，OC 是∠AOB 的平分线，直线l ∥OB ．若∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．65°
D ．80°
5．已知AB CD ∥，点E F ，分别在直线AB CD ，上，点P 在AB CD ，之间且在EF 的左侧．若将射线EA 沿EP 折叠，射线FC 沿FP 折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则
EPF ∠的度数为（ ）
A ．120?
B ．135?
C ．45?或135?
D ．60?或120?
6．如图a 是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）
A．102°B．108°C．124°D．128°
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；
④AC=3BF，其中正确的结论共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8．如图，在△ABC中，AB=AC，CD∥AB，点E在BC的延长线上.若∠A=30°，则∠DCE的大小为（）
A．30° B．52.5° C．75° D．85°
9．下列语句是命题的是 ( )
（1）两点之间，线段最短；（2）如果两个角的和是180度，那么这两个角互补；（3）请画出两条互相平行的直线；（4）一个锐角与一个钝角互补吗?
A．（1）（2）B．（3）（4）C．（2）（3）D．（1）（4）10．如图，将ABC沿BC的方向平移1cm得到DEF，若ABC的周长为6cm，则四边形ABFD的周长为（）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
11．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（）
A．垂直B．两条直线互相平行
C．同一条直线D．两条直线垂直于同一条直线
12．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，
若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．25°
D ．30°
二、填空题
13．如图,AB ∥CD,BF 平分∠ABE,DF 平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED 的度数为_______.
14．如图，直线MN∥PQ，点A 在直线MN 与PQ 之间，点B 在直线MN 上，连结AB ．∠ABM 的平分线BC 交PQ 于点C ，连结AC ，过点A 作AD⊥PQ 交PQ 于点D ，作AF⊥AB 交PQ 于点F ，AE 平分∠DAF 交PQ 于点E ，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，则∠ACD 的度数是_____．
15．如图，A 、B 、C 表示三位同学所站位置，C 同学在A 同学的北偏东50方向，在B 同学的北偏西60方向，那么C 同学看A 、B 两位同学的视角ACB ∠=______．
16．设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，
（1）若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________； （2）若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________； （3）若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．
17．100条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）_______对，邻补角________对.
18．如图，点О为直线AB 上一点，,,135OC OD OE AB ⊥⊥∠=?．
（1）EOD ∠= °，2∠= °；
（2）1∠的余角是_ ，EOD ∠的补角是__ ．
19．如图，//AB CD ，GF 与AB 相交于点H ，与CD 于F ，FE 平分HFD ∠，若
50EHF ∠=?，则HFE ∠的度数为______．
20．如图，直线////a b c ，直角三角板的直角顶点落在直线b 上，若135∠=?，则2∠等于_______．
三、解答题
21．已知AB ∥CD
(1)如图1，求证：∠ABE ＋∠DCE －∠BEC ＝180°
(2)如图2，∠DCE 的平分线CG 的反向延长线交∠ABE 的平分线BF 于F
①若BF ∥CE ，∠BEC ＝26°，求∠BFC
②若∠BFC －∠BEC ＝74°，则∠BEC ＝________°
22．(1)如图1，已知任意ABC ?，过点C 作//DE AB ，求证：
180A B ACB ∠+∠+∠=?；
(2)如图2，求证：∠AGF=∠AEF+∠F ；
(3)如图3，//,119,AB CD CDE GF ∠=?交DEB ∠的角平分线EF 于点
,150F AGF ∠=?，求F ∠的度数．
23．已知E 、D 分别在AOB ∠的边OA 、OB 上，C 为平面内一点，DE 、DF 分别是
CDO ∠、CDB ∠的平分线．
（1）如图1，若点C 在OA 上，且//FD AO ，求证：DE AO ⊥；
（2）如图2，若点C 在AOB ∠的内部，且DEO DEC ∠=∠，请猜想DCE ∠、AEC ∠、
CDB ∠之间的数量关系，并证明；
（3）若点C 在AOB ∠的外部，且DEO DEC ∠=∠，请根据图3、图4直接写出结果出DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系．
24．如图，已知C 为两条相互平行的直线AB ，ED 之间一点，ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，180FDC ABC ∠+∠=?．
（1）求证：//AD BC ；
（2）连结CF ，当//CF AB ，且3
2
CFB DCF ∠=
∠时，求BCD ∠的度数；
（3）若DCF CFB ∠=∠时，将线段BC 沿直线AB 方向平移，记平移后的线段为PQ （B ，C 分别对应P ，Q ，当20PQD QDC ∠-∠=?时，请直接写出DQP ∠的度数______．
25．如图1，//PQ MN ，点A ，B 分别在MN ，QP 上，2BAM BAN ∠=∠射线AM 绕
A 点顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转，射线BP 绕
B 点顺时针旋转至BQ 便立即逆时
针回转．射线AM 转动的速度是每秒2度，射线BQ 转动的速度是每秒1度．
（1）直接写出QBA ∠的大小为_______；
（2）射线AM 、BP 转动后对应的射线分别为AE 、BF ，射线BF 交直线MN 于点F ，若射线BP 比射线AM 先转动30秒，设射线AM 转动的时间为t ()0180t <<秒，求t 为多少时，直线//BF 直线AE ？
（3）如图2，若射线BP 、AM 同时转动m ()090m <<秒，转动的两条射线交于点C ，作120ACD ∠=?，点D 在BP 上，请探究BAC ∠与BCD ∠的数量关系． 26．已知，点、、A B C 不在同一条直线上，//AD BE
（1）如图①，当,58118A B ??∠=∠=时，求C ∠的度数；
（2）如图②，,AQ BQ 分别为,DAC EBC ∠∠的平分线所在直线，试探究C ∠与AQB ∠的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下且//AC QB ，QP PB ⊥，直接写11,,DAC ACB CBE ∠∠∠的值
27．如图，已知AB ∥CD ，∠A=40°，点P 是射线B 上一动点（与点A 不重合），CM ，CN 分别平分∠ACP 和∠PCD ，分别交射线AB 于点M,N ． （1）求∠MCN 的度数．
（2）当点P 运动到某处时，∠AMC=∠ACN ，求此时∠ACM 的度数．
（3）在点P 运动的过程中，∠APC 与∠ANC 的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．
28．如图1，已知a ∥b ，点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AD ⊥BC 于E ．
（1）求证：∠ABC+∠ADC=90°；
（2）如图2，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，DG 平分∠ADC 交BC 于点G ，求∠AFB+∠CGD 的度数；
（3）如图3，P 为线段AB 上一点，I 为线段BC 上一点，连接PI ，N 为∠IPB 的角平分线上一点，且∠NCD=
1
2
∠BCN ，则∠CIP 、∠IPN 、∠CNP 之间的数量关系是______．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
分析：根据图形平移的性质可得，平移后的图形与原图形大小、形状、开口相同，再根据抛物线的形状由二次项的系数a 决定的进行分析即可．
解：由于抛物线的形状由二次项的系数a决定，所以两个函数表达式中的a要相同或互为相反数才可以通过平移变换、轴对称变换得到，A、B选项的二次项系数为2；C选项的二
次项系数为－2；D选项的二次项系数为1
2
，故D不能由原函数平移而得到．
故选D．
2．B
解析：B
【分析】
过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．
【详解】
解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，
则∠CDE＝∠E+∠CNE，
即∠CNE＝y﹣z
∵CM∥AB，AB∥EF，
∴CM∥AB∥EF，
∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴x+y﹣z＝90°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
3．C
解析：C
【分析】
由a与b平行，利用两直线平行同位角相等求出∠3的度数，再利用平角定义及∠4为直角，即可确定出所求角的度数．
【详解】
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°，
∵∠4＝90°，∠3+∠4+∠2＝180°，
∴∠2＝30°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根据平行线的性质求角的度数，利用直角转化角是一种比较常见的方法，在一条直线上，3个角共顶点，且有一个角为直角，则另两个角的和为90°．
4．C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质可求∠AOB，再根据角平分线的定义求得∠BOC，再根据平行线的性质可求∠2．
【详解】
∵l∥OB，
∴∠AOB+∠1=180°
∴∠AOB＝180°﹣∠1＝130°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠BOC＝65°，
∴∠2＝∠BOC＝65°．
故选：C．
【点睛】
考查了角平分线，平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补的知识点．
5．C
解析：C
【分析】
根据题意画出示意图，延长FP交AB于点Q，根据折叠的性质和四边形的内角和进行分析解答．
【详解】
解：根据题意，延长FP交AB于点Q，可画图如下：
∵AB CD ∥ ∴CFQ PQE ∠=∠
∵将射线EA 沿EP 折叠，射线FC 沿FP 折叠， ∴,CFP PFM MEP PEQ ∠=∠∠=∠， ∵,FPE PQE PEQ EM FM ∠=∠+∠⊥，
如第一个图所示，在四边形FPEM 中，36090PFM MEP FPE ∠+∠+∠=?-?， 得：2270FPE ∠=?， ∴135FPE ∠=?．
如第二个图所示，在四边形FPEM 中，
360(36090)90PFM MEP FPE ∠+∠+∠=?-?-?=?，
得：290FPE ∠=?， ∴45FPE ∠=?． 故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识点是平行线的性质、折叠的性质、三角形的外角、四边形的内角和等知识．关键是利用平行线的性质以及四边形内角和进行解答．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE ，∠CFE=∠CFG-∠EFG 即可． 【详解】
∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
7．A
解析：A
【详解】
∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
C CBF
CD BD
EDC BDF
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正
确；
∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．全等三角形的判定与性质．8．C
解析：C
【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质：等边对等角，可得∠B=∠ACB，然后根据三角形的内角和可求得∠B=75°，然后根据平行线的性质可得∠B=∠DCE=75°.
故选：C.
点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得两底角的值，然后根据平行线的性质可求解问题.
9．A
解析：A
【分析】
根据命题的定义对四句话进行判断．
【详解】
解：（1）两点之间，线段最短，它是命题；
（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，它是命题；
（3）请画出两条互相平行的直线，它不是命题；
（4）一个锐角与一个钝角互补吗？，它不是命题．
所以，是命题的为（1）（2），
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成如果…那么…形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10．B
解析：B
【分析】
先根据平移的性质得出AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，再根据四边形ABFD的周长
=AD+AB+BF+DF即可得出结论．
【详解】
∵将周长为6的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，
又∵AB+BC+AC=6，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=8．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．
【详解】
“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．
故选：D．
【点睛】
本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断．12．C
解析：C
【解析】
分析：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．
∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．
∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．
故选C．
二、填空题
13．70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性
质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥A
解析：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
14．27°．
【解析】
【分析】
延长FA与直线MN交于点K，通过角度的不断转换解得∠BCA=45°.
【详解】
解：延长FA与直线MN交于点K，
由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°
解析：27°．
【分析】
延长FA与直线MN交于点K，通过角度的不断转换解得∠BCA=45°.
【详解】
解：延长FA与直线MN交于点K，
由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD，因为MN∥PQ，所以∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，
所以∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°，即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，
所以∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°.
故∠ACD的度数是：27°.
【点睛】
本题利用平行线、垂直、角平分线综合考查了角度的求解.
15．【解析】
【分析】
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得答案．
【详解】
如图
，
作，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了方向角，利用平行线的性质两直线平行内错角相等是解题
解析：110
【解析】
【分析】
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得答案．
如图
，
作CF //AD //BE ，
FCA DAC 50∠∠∴==，
BCF CBE 60∠∠==，
ACB ACF FCB 5060110∠∠∠∴=+=+=，
故答案为：110． 【点睛】
本题考查了方向角，利用平行线的性质两直线平行内错角相等是解题关键．
16．平行 平行 垂直 【解析】
根据平行公理的推论，可由，得出a∥c；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由，得到a∥c；根据，，得到a⊥c. 故答案为平行，平行，垂直. 点睛：由平
解析：平行 平行 垂直 【解析】
根据平行公理的推论，可由//,//a b b c ，得出a ∥c ；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由,a b b c ⊥⊥，得到a∥c；根据//a b ，b c ⊥，得到a⊥c. 故答案为平行，平行，垂直.
点睛：由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（1）,因为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（2），再根据平行线的性质可求解（3）．
17．19800 【解析】
100条直线两两相交，最多有个交点，每个交点处有两组对顶角，4对邻补角，故100条直线两两相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角， 有4950×4＝19800
解析：19800 【解析】
100条直线两两相交，最多有
100(1001)
49502
-=个交点，每个交点处有两组对顶角，4
对邻补角，故100条直线两两相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角， 有4950×4＝19800（对）邻补角， 故答案为：9900，19800.
18．（1）35，55；（2）与， 【分析】
（1）由，可得，，所以，，，所以，已知的度数，即可得出与的度数； （2）由（1）可得的余角是与，要求的补角，即要求的补角，的补角是． 【详解】 （1），， ，
解析：（1）35，55；（2）COE ∠与2∠，COB ∠ 【分析】
（1）由OC OD ⊥，OE AB ⊥可得=90COD ∠?，=90AOE ∠?，所以1290∠+∠=?，
190COE ∠+∠=?，90EOD COE ∠+∠=?，所以1=EOD ∠∠，已知1∠的度数，即可得出2∠与EOD ∠的度数；
（2）由（1）可得1∠的余角是COE ∠与2∠，要求EOD ∠的补角，即要求1∠的补角，1∠的补角是COB ∠． 【详解】
（1）OC OD ⊥，OE AB ⊥， ∴=90COD ∠?，=90AOE ∠?，
∴1290∠+∠=?，190COE ∠+∠=?，90EOD COE ∠+∠=?， ∴1=EOD ∠∠， 135∠=?，
∴255∠=?，35=EOD ∠?；
（2）由（1）可得1∠的余角是COE ∠与2∠， 1180COB =∠∠+?，
∴1∠的补角是COB ∠， ∴EOD ∠的补角是COB ∠．
故答案为：（1）35，55；（2）COE ∠与2∠，COB ∠． 【点睛】
本题主要考查余角、补角以及垂直的定义，熟记补角、余角以及垂直的定义是解题关键． 19．65° 【分析】
由AB//CD 可得∠HFD=130?，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE． 【详解】 ∵
∴∠EHF+∠HFD=180°
∵
∴∠HFD=130° ∵平分， ∴∠HFE=∠HFD=
解析：65° 【分析】
由AB//CD 可得∠HFD=130?，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE ． 【详解】 ∵//AB CD ∴∠EHF+∠HFD=180° ∵50EHF ∠=? ∴∠HFD=130° ∵FE 平分HFD ∠， ∴∠HFE=
1
2∠HFD=1130652
??=? 故答案为：65°． 【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．
20．【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可. 【详解】 如图所示， ∵，， ∴，
∴∠4=90°?∠3=55°， ∵， ∴∠2 解析：55?
【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可. 【详解】 如图所示，
∵//a b ，135∠=?， ∴335∠=?， ∴∠4=90°?∠3=55°， ∵////a b c ， ∴∠2=∠4=55°. 故答案为：55°. 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）①103°；②32° 【分析】
（1）过E 作EF ∥AB ，根据平行线的性质可求∠B=∠BEF ，∠C+∠CEF=180°，进而可证明结论；
（2）①易求∠ABE=52°，根据（1）的结论可求解∠DCE=154°，根据角平分线的定义可得∠DCG=77°，过点F 作FN ∥AB ，结合平行线的性质利用∠BFC=∠BFN+∠NFC 可求解； ②根据平行线的性质即角平分线的定义可求解∠BFC=∠FCE=180°-∠ECG=180°-
（90°12
-
∠BEC ）=90°+1
2∠BEC ，结合已知条件∠BFC-∠BEC=74°可求解∠BEC 的度数．
【详解】
（1）证明：如图1，过E 作EF ∥AB ， ∵AB ∥CD ， ∴DC ∥EF ，
∴∠B=∠BEF ，∠C+∠CEF=180°， ∴∠C+∠B-∠BEC=180°， 即：∠ABE+∠DCE-∠BEC=180°；
（2）解：①∵FB ∥CE ， ∴∠FBE=∠BEC=26°，
∵BF 平分∠ABE ， ∴∠ABE=2∠FBE=52°，
由（1）得：∠DCE=180°-∠ABE+∠BEC=180°-52°+26°=154°， ∵CG 平分∠ECD ， ∴∠DCG=77°，
过点F 作FN ∥AB ，如图2， ∵AB ∥CD ， ∴FN ∥CD ，
∴∠BFN=∠ABF=26°，∠NFC=∠DCG=77°， ∴∠BFC=∠BFN+∠NFC=103°； ②∵BF ∥CE ，
∴∠BFC=∠ECF ，∠FBE=∠BEC ， ∵BF 平分∠ABE ， ∴∠ABE=2∠FBE=2∠BEC ，
由（1）知：∠ABE+∠DCE-∠BEC=180°， ∴2∠BEC+∠DCE-∠BEC=180°， ∴∠DCE=180°-∠BEC ， ∵CG 平分∠DCE ， ∴∠ECG=
12∠DCE=12（180°-∠BEC ）=90°-1
2
∠BEC ， ∴∠BFC=∠FCE=180°-∠ECG=180°-（90°-12∠BEC ）=90°+1
2
∠BEC ， ∵∠BFC-∠BEC=74°， ∴∠BFC=74°+∠BEC ， 即74°+∠BEC=90°+1
2
∠BEC ， 解得∠BEC=32°． 故答案为：32°． 【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 22．（1）见详解；（2）见详解；（3）29.5°． 【分析】
（1）根据平行线的性即可A ACD ∠=∠，B BCE ∠=∠，再根据平角的定义进行等量代换即可证明；
（2）因为根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到119DEB ∠=?，61AED ∠=?，由角平分线的性质得到59.5DEF ∠=?，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
（1）如图1所示，在ABC ?中，//DE AB ，
A ACD ∴∠=∠，
B BCE ∠=∠．
180ACD BCA BCE ∠+∠+∠=?，
180A B ACB ∴∠+∠+∠=?． 即三角形的内角和为180?； （2）180AGF FGE ∠+∠=?，
由（1）知，180GEF F FGE ∠+∠+∠=?， AGF AEF F ∴∠=∠+∠；
（3）//AB CD ，119CDE ∠=?，
119DEB CDE ∴∠=∠=?，18061AED CDE ∠=?-∠=?，
∵EF 平分DEB ∠， 59.5DEF ∴∠=?，
120.5AEF AED FED ∴∠=∠+∠=?， 150AGF ∠=?，AGF AEF F ∠=∠+∠，
150120.529.5F ∴∠=?-?=?．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的证明与应用，三角形外角定理证明与应用，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键，此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．
23．（1）证明见解析；（2）∠CDB +∠AEC ＝2∠DCE ；（3）图3中∠CDB ＝∠AEC +2∠DCE ，图4中∠AEC ＝∠CDB +2∠DCE ． 【分析】
（1）依据DE 、DF 分别是∠CDO 、∠CDB 的平分线，可得∠CDF ＝
1
2
∠CDB ，∠CDE ＝12∠CDO ，进而得出∠EDF ＝1
2
（∠CDB +∠CDO ）＝90°，再根据平行线的性质，即可得到∠AED ＝90°，即DE ⊥AO ；
（2）连接OC ，依据∠DEO ＝∠DEC ，∠EDO ＝∠EDC ，可得∠DOE ＝∠DCE ，再根据三角形外角性质，即可得到∠CDB +∠AEC ＝∠COD +∠OCD +∠EOC +∠ECO ＝2∠DCE ；
（3）如图3中，依据∠CDB 是△ODG 的外角，可得∠CDB ＝∠DOG +∠DGO ，依据∠DGO 是△CEG 的外角，可得∠DGO ＝∠AEC +∠C ，进而得到∠CDB ＝∠DOG +∠AEC +∠C ＝∠AEC +2∠DCE ；如图4中，同理可得∠AEC ＝∠DOE +∠CDB +∠C ＝∠CDB +2∠DCE ． 【详解】
解：（1）如图1，∵DE 、DF 分别是∠CDO 、∠CDB 的平分线， ∴∠CDF ＝12∠CDB ，∠CDE ＝1
2∠CDO ， ∴∠EDF ＝
1
2
（∠CDB +∠CDO ）＝90°， 又∵DF ∥AO ， ∴∠AED ＝90°， ∴DE ⊥AO ；