中考数学二次函数动点问题-因动点产生的面积问题

因动点产生的面积问题

例1 2013年苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线2

12

y x bx c =

++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．

（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；

②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C 在y 轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA 与△COB 保持相似．点击按钮“C 、D 、E 三点共线”，此时△EHD ∽△COD ．拖动点P 从A 经过C 到达B ，数一数面积的正整数值共有11个．

请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C 在y 轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA 与△COB 保持相似．点击按钮“C 、D 、E 三点共线”，此时△EHD ∽△COD ．拖动点P 从A 经过C 到达B ，数一数面积的正整数值共有11个．

思路点拨

1．用c 表示b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB ＝2OC ． 2．当C 、D 、E 三点共线时，△EHA ∽△COB ，△EHD ∽△COD ．

3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在BC 上方或下方．

4．求得了S 的取值范围，然后罗列P 从A 经过C 运动到B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A 、C 、B 三个时刻的值．

满分解答

（1）b ＝1

2c +

，点B 的横坐标为－2c ． （2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1

(,(1)(2))2

x x x c ++．

过点E 作EH ⊥x 轴于H ．

由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．

所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --．当C 、D 、E 三点在同一直线上时，

EH CO DH DO =．所以1212

c c c --=

--．整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或1

2c =（舍去）． 所以抛物线的解析式为213

222

y x x =--．

（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ． 直线BC 的解析式为1

22

y x =-． 设213(,2)2

2P m m m -

-，那么1(,2)2F m m -，21

22

FP m m =-+． 所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221

()24(2)42

B C FP x x FP m m m -==-+=--+．因此当P 在BC 下方

时，△PBC 的最大值为4当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5．

综上所述，0＜S ＜5．

②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个．

考点伸展

点P 沿抛物线从A 经过C 到达B 的过程中，△PBC 的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．

当P 在BC 下方，S ＝4时，点P 在BC 的中点的正下方，F 是BC 的中点．

例 2 2012年菏泽市中考第21题

如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O 面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．

请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．

思路点拨

1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是

△A′B′O面积的3倍．

2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．

3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．

满分解答

（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．

因为抛物线与x轴交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，

代入B′(0, 2)，得a＝1．

所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2．

（2）S △A ′B ′O ＝1．

如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3．如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．

232'1111

(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113

(2)(2)22222

PDB

S DB PD x x x x x ?=?=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ?=+=-+四边形梯形．解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1． 所以点P 的坐标为(1，2)．

图2 图3 图4

（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．

考点伸展

第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．

'11

'222PB O P S B O x x x ?=?=?=． 2211

2(2)222

PBO

P S BO y x x x x ?=?=?-++=-++． 所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ??=+=-+四边形．

甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△

BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．

而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．

例 3 2012年河南省中考第23题

如图1，在平面直角坐标系中，直线1

12

y x =

+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．

（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．

①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P 在直线AB 下方的抛物线上运动，可以体验到，PD 随点P 运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C 是AB 的中点时，PD 达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．

思路点拨

1．第（1）题由于CP //y 轴，把∠ACP 转化为它的同位角．

2．第（2）题中，PD ＝PC sin ∠ACP ，第（1）题已经做好了铺垫． 3．△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．

4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．

满分解答

（1）设直线1

12

y x =

+与y 轴交于点E ，那么A (－2,0)，B (4,3)，E (0,1)．在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以5AE =25

sin AEO ∠=

． 因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此25

sin ACP ∠=

将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,

1643 3.a b a b --=??+-=?

解得12a =

，12

b =-． （2）由211(,3)22P m m m --，1

(,1)2

C m m +，

得221111

(1)(3)42222

PC m m m m m =+---=-++．

所以2225251595

sin (4)(1)2PD PC ACP PC m m m =∠=

=-++=--+

．所以PD 的最大值为95

． （3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52

m =； 当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329

m =

．

图2

考点伸展

第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．

而252511cos cos 4)(2)(4)25

DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=-++=-+-， BM ＝4－m ．

①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得5

2

m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶

9时，110(2)(4)(4)59

m m m -+-=-．解得32

9m =．

例 4 2011年南通市中考第28题

如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线

m

y

x

=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)

P p p-(p＞1)作x

轴的平行线分别交曲线

m

y

x

=(x＞0)和

m

y

x

=-(x＜0)于M、N两点．

（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．

思路点拨

1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．

2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．满分解答

（1）因为点B(2，1)在双曲线

m

y

x

=上，所以m＝2．设直线l的解析式为y kx b

=+，代入点A(1，0)

和点B(2，1)，得

0,

2 1.

k b

k b

+=

?

?

+=

?

解得

1,

1.

k

b

=

?

?

=-

?

所以直线l的解析式为1

y x

=-．

（2）由点(,1)

P p p-(p＞1)的坐标可知，点P在直线1

y x

=-上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．

由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形．由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形．所以△PMB ∽△PNA ．

图2 图3 图4

（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．

①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ????--=-- ? ?????．解得113x +=或113x -=

（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时113

p +=． ②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ????--=-- ? ?????．解得

15x +=

或15x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时15

p +=． 考点伸展

在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？

情形一，如图5，∠AMN ＝90°，此时点M 的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN ＝90°，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半．

不存在∠ANM ＝90°的情况．

图5 图6

例5 2010年广州市中考第25题

如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端

点B、C不重合），过点D作直线

1

2

y x b

=-+交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．

思路点拨

1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E 在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．

4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．

满分解答

(1)①如图2，当E在OA上时，由

1

2

y x b

=-+可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE

＝11

21

22

OE OC b b

?=??=．

②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入

1

2

y x b

=-+可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，

BD＝5－2b．把x＝3代入

1

2

y x b

=-+可知，点E的坐标为

3

(3,)

2

b-，AE＝

3

2

b-，BE＝

5

2

b

-．此时

S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD

＝

13151

33()()(52)1(22)

22222

b b b b

-?-----??-2

5

2

b b

=-+．

(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．

作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．

设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解

得

5

4

m=．所以重叠部分菱形DMEN的面积为

5

4

．

图2 图3 图4

考点伸展

把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形

的最小面积为1，如图6所示；最大面积为5

3

，如图7所示．

图5 图6 图7

例 6 2010年扬州市中考第28题

如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．

（1）求线段AD 的长；

（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，

①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）； ②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．

（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．

图1 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点E 在AB 上运动，从y 随x 变化的图象可以体验到，当F 在AC 上时，y 随x 的增大而增大；当F 在BC 上时，y 随x 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，y 的最大值对应抛物线的顶点．双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF 平分△ABC 的周长，拖动点E ，观察图象，可以体验到，“面积AEF ”的值可以等于3，也就是说，存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．双击按钮“第（2）题”可以切换。

思路点拨

1．第（1）题求得的AD 的长，就是第（2）题分类讨论x 的临界点． 2．第（2）题要按照点F 的位置分两种情况讨论．

3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．

满分解答

(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39

cos 355

AD AC A ==?=． (2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<

．在Rt △AEF 中，4

tan 3

EF AE A x ==．所以21223y AE EF x =?=．如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4EF BE B x ==-．所

以21315

288

y AE EF x x =?=-+

． ②当905x <<时，223y x =的最大值为54

25

；

当9

55

x <≤时，231588y x x =-

+23575)8232x =--+(的最大值为7532

． 因此，当5

2x =时，y 的最大值为7532

．

图2 图3 图4

(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142

sin (6)(6)2255

AEF S AE AF A x x x x ?=

??=-?=--．解方程2(6)35x x --=，得1

362

x = 因为1

362

x =+3≤x ≤5范围内（如图4）

，因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分． 考点伸展

如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．

先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1．

因此21133

sin (5)(1)(45)22510

BEF S BE BF B x x x x ?=??=-+?=---． 解方程2

3(45)310

x x ---=．整理，得2450x x -+=．此方程无实数根．

例7 2009年兰州市中考第29题

如图1，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；

（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．

（4）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“09兰州29”，拖动点Q在x轴上运动，可以体验到，点Q运动的起点为（1，0）；当P在AB上时，△OPQ的面积随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分；观察点P与OQ的垂直平分线的位置关系，可以体验到，有两个时刻，PO=PQ．双击按钮“PO＝PQ，P在AB上”和“PO＝PQ，P在CD上”，可以准确显示PO＝PQ．

思路点拨

1．过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备．

3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．

4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．

满分解答

（1）Q(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．

（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．

在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE ＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．

（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N．因为PM//BE，所以AP AM MP

AB AF BF

==，即

1068

t AM MP

==．因

此

34

,

55

AM t PM t

==．于是

34

10,

55

PN OM t ON PM t

==-==．

设△OPQ的面积为S(平方单位)，那么2

113347

(1)(10)5

2251010

S OQ PN t t t t

=??=+-=-++，定义域为0

≤t≤10．

因为抛物线开口向下，对称轴为直线

47

6

t=，所以当

47

6

t=时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为

(94

15

，

53

10

)．

（4）当

5

3

t=或

295

13

t=时,OP与PQ相等．

图3 图4

考点伸展

附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．

附加题也可以这样解：

①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列

方程组

5,

81,

m t

m t

=

?

?

=+

?

解得

5

3

t=．

②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝．根

据GP、OQ的长列方程组

537.5,

81,

m t

m t

=-

?

?

=+

?

解得

295

13

t=．

③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组

51010,

81,

m t

m t

-=-

?

?

=+

?

解得

5

3

t=，但

这时点P不在BC上．

图5 图6