解析几何常用公式定理

解析几何常用公式（景斌汇编）

（内部资料仅限东方之子学校学生使用）

1.倾斜角（0180θ?≤

2.斜率（刻画直线对于x 轴的倾斜程度） （1）tan (90)k θθ=≠(2)()12

1212

y y k x x x x -=

≠- 【tan θ在(0,)2π、(,)2

π

π上单调递增】

3.直线的方程：

（1）斜截式：y kx b =+（不能表示斜率不存在的直线 x x =） （2）点斜式：00()()y y k x x -=-（不能表示斜率不存在的直线 x x =） （3）两点式：1

21

121x x x x y y y y --=--（不能表示0,x x y y ==两种直线）

（4）截距式：

1=+b

y

a x （不能表示y=kx ，0,x x y y ==三种直线） （5）一般式：0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为零） 4.两直线位置关系的判定与性质定理列表如下：

1111:0l A x B y C ++= 2222:0l A x B y C ++=

平 行

12k k =且12b b ≠

1122A B A B =1

2

C C ≠ 重 合 12k k =且12b b =

1122A B A B =1

2C C = 垂 直

121k k =-

12120A A B B +=

5. 到角和夹角：

设1122:,:l y k x b l y k x b =+=+，

（1） 到角(0,)π：1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角

当k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1时，1l 到2l 的角为θ，则21

12

tan 1k k k k θ-=

+；

（2）夹角(0,]2

π

：1l 和2l 相交构成的四个角中不大于直角的角叫这两条直线所成的角，简称夹角

当k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1时，1l 与2l 的夹角为θ，则21

12

tan 1k k k k θ-=

+

6.点到直线的距离公式

点P ()00,x y 到:0l Ax By C ++=

的距离d =.

7.平行线间距离公式

两平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=

之间的距离为d =

.

8.若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，

定比1122x x y y AP x x y y PB λ--===

--，则???

????λ+λ+=λ

+λ+=1121

21y y y x x x 9.两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 则=AB 12x x - y //AB 轴， 则=AB 12y y - 10.直线系方程

（1）平行直线系0=++C By Ax 与10Ax By C ++= （2）垂直直线系0=++C By Ax 与10Bx Ay C -+=

（3）过已知点的直线系111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（不包括2220A x B y C ++=） 11.线性规划

（1） 二元一次不等式表示平面区域

如果000Ax By C ++>（A>0）则点00(,)x y 在直线右侧；如果000Ax By C ++<（A>0）则点00(,)x y 在直线左侧；如果000Ax By C ++=（A>0）则点00(,)x y 在直线上

（2）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，统称为线性规划；满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域 12.圆

（一）圆方程常见形式：

（1）标准式：(x-a)2+(y-b)2=r 2（R>0），其中（a ，

b ）为圆心，r 为半径；

（2）一般式：x 2

+y 2

+Dx+Ey+F=0,配方得： 22()()22

4

D E x y +++=

（3）参数式：(x-a)2+(y-b)2=R 2（R>0）的参数式为：cos sin x r a

y r b θθ=+??=+?，θ为参数[0,2)θπ∈

圆与二元二次方程一一对应，这些二元二次方程方程特征为： （1）二次项中无xy 交叉项； （2）x 2，y 2项前面系数相等；

（3）x ，y 的一次项系数D ，E 及常数项F 满足D 2+E 2-4F>0

（二）直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若2

2

B

A C Bb Aa d +++=

，d r >

?相离，d

r =?相切，d

r

相交

（三）圆与圆的位置关系

圆C 1：212121)()(r b y a x =-+- 圆C 2：222222)()(r b y a x =-+- （1）2121r r C C +>相离 （2）2121r r C C +=外切

（3）212121r r C C r r +<<- 相交 （4）2121r r C C -=内切 （5）2121r r C C -< 内含

外离 外切

相交 内切 内含

13圆锥曲线

（一）椭圆与双曲线 1.第一定义

椭圆：若F 1 F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹

是椭圆（当12122PF PF a F F +==时，则P 点的轨迹是线段）

双曲线：若F 1 F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为常数），则动点P 的轨迹是双曲线

（当12122PF PF a F F -==时，则P 点的轨迹是射线）

2.第二定义

椭圆：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0

则P 点的轨迹是椭圆

双曲线：若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线 3.标准方程

22

221(0,0)x y a b a b

+=>>中心在原点，焦点在x 轴上

22

221x y b a

+=(0,0)a b >>中心在原点，焦点在y 轴上

范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤ a y a -≤≤，b x b -≤≤

对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称（原点为中心）

顶点 四个顶点A 1、A 2、 B 1、B 2

焦点 F 1(-c,0),F 2(c,0)

F 1(0,-c),F 2(0,c)

轴 长轴|A 1A 2|=2a,短轴|B 1B 2|=2b

离心率

()01c

e e a

=

<<离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆（反记法） 准线

x =2

a c

±

2

a y c

=±

通径

通径长2

2b a

焦准距2

b c

4.

标准方程

22

22

1(0,0)x y a b a b -=>>中心在原点，焦点在x 轴上

22

22

1y x a b -=(0,0)a b >>中心在原点，焦点在y 轴上

范围 x a ≤-或x a ≥

y a ≤-或y a ≥ 对称性

关于x 轴、y 轴、原点对称（原点为中心）

5.(1) 椭圆：10PF a ex =+或10PF a ey =+（负半轴）20PF a ex =-或20PF a ey =-（正半轴）

焦半径范围a c PF a c -≤≤+

（2） 双曲线：0PF e x a =+（长）0PF e x

a =-（短）焦半径范围PF c a ≥- 6.焦半径之积

(1)椭圆： 2

2

22120

2||||1cos b PF PF a e x θ

=-=+

（2）双曲线：2

222

120

2||||1cos b PF PF e x a θ

=-=-

7.焦点三角形面积

S 12F PF =21201211||||||||sin tan 222F F y PF PF b θ

θ==（椭圆）

S 12F PF =21201211||||||||sin cot 222F F y PF PF b θ

θ==（双曲线）

8.弦长公式：12]AB x =12]y =

9.补充知识：

1具有共同渐近线的双曲线系

若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：?=-02222b y a x x a b

y ±=

若渐近线方程为x a

b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x

若双曲线与122

22=-b

y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x

（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）

2等轴双曲线：当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等

轴双曲线，可设为λ=-22y x

3.优美椭圆和优美双曲线

（1）我们把离心率等于黄金比51-的椭圆称为优美椭圆，设()22

2210x y a b a b

+=>>为优美椭圆，

F 、A 分别为它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则有：()()2190;2ABF b ac ∠=?=

（251

+的双曲线称为优美双曲线，设()222210x y a b a b

-=>>为

优美双曲线，F 、A 分别为它的左焦点和右顶点，B 是它的虚轴的一个端点，则有：

()()2190;2ABF b ac ∠=?=

3. 共轭双曲线：我们把“以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线”定义为原双曲线的

共轭双曲线

22221x y a b -=与22

221y x b a

-= 特征1：具有共同渐近线 特征2：焦距相等 特征3：

2212

11

1e e +=

（二）抛物线

（一）定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线

即到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）

（二）图形：

（三）基本性质：方程：

22,(0),y px p p =>为焦准距；

焦点： )0,2

(p

，通径p AB 2=；

准线： 2

p

x -=；

焦半径：0,2

p

CF x =+过焦点的弦长12CD x x p =++通径最短

注意：抛物线px y 22

=上的动点可设为P ),2(2

y p

y

或P px y y x 2),(2=其中

（四）抛物线的重要性质：

已知AB 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A ),(11y x B ),(22y x

（1）4

,2

212

21p x x p y y =?-=?

（2）|AB|=θθ

(sin 22

21p

p x x =

++为直线AB 与x 轴的夹角) （3）S △AOB=θ

sin 22

p

（4）

11AF BF +为定值2P

（5）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 （6）90ADB ∠=(直径所对的圆周角是直角) （7）''90A FB ∠=

（8）连接焦点和准线上任意一点的线段被y 轴平分（三角形中位线）