最新复变函数习题答案第2章习题详解
第二章习题详解
1． 利用导数定义推出：
1) ()1-=n n nz z '（n 为正整数）
解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-??????++-++=-+=--→→ 2210
0121lim lim ' ()()11210121----→=??????++-+=
n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=??
? ??' 解： ()()2000111111z z z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-+=??? ??→→→?????????lim lim lim '
2． 下列函数何处可导？何处解析？
1) ()iy x z f -=2
解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -=
x x u 2=??，0=??y u ，0=??x
v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2
1-
=x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在直线21-=x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3332y i x z f +=
解：设()iv u z f +=，则32x u =，33y v =
26x x u =??，0=??y u ，0=??x
v ，29y y v =??都是连续函数。 只有2296y x =，即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。
()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。
3) ()y ix xy z f 22+=
解：设()iv u z f +=，则2xy u =，y x v 2=
2y x u =??，xy y u 2=??，xy x
v 2=??，2x y v =??都是连续函数。 只有2
2x y =且xy xy 22-=，即0==y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在点()00,处可导，在复平面内处处不解析。
4) ()xshy i xchy z f cos sin +=
解：设()iv u z f +=，则xchy u sin =，xshy v cos =
xchy x u cos =??，xshy y u sin =??，xshy x
v sin -=??，xchy y v cos =??都是连续函数。 完全满足柯西—黎曼方程。
()iy x z f -=∴2在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。
3． 指出下列函数()z f 的解析性区域，并求出其导数。
1) ()51-z
解：()()415-=z z f
'，()z f 在复平面内处处解析。 2) z i z 23+
解：()i z z f 232+='，()z f 在复平面内处处解析。
3) 1
12-z 解：()()2212--=z z
z f '，1±≠z ，()z f 在复平面内除点1±≠z 外处处解析。
4) d
cz b az ++（c ，d 中至少有一个不为0） 解：()()()
22d cz bc ad d cz b az c d cz a z f +-=++-+=' 当0≠c ，则当c d z -≠时，()()
2d cz bc ad z f +-='，()z f 在复平面内除点c d z -≠外处处解析。 当0=c 时，则0≠d ，()d
a z f
='，()z f 在复平面内处处解析。 4． 求下列函数的奇点：
1) ()
112++z z z 解：令()012=+z z ，解得0=z ，i z ±=。故()()1
12++=z z z z f 有0、i 、i -三个奇点。 2) ()()
11222++-z z z 解：令()()01122=++z z ，解得1-=z ，i z ±=。故()()()
11222++-=z z z z f 有1-、i 、i -三个奇点。 5． 复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有哪些方法？
解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区域内的整体性质。判断函数的解析性有两种法。一是用定义，利用函数的可导性判断解析性；二是用定理：函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在其定义域D 内解析?()y x u ,和()y x v ,在D 内点iy x z +=可微，并且满足柯西—黎曼方程。
6． 判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。
1) 如果()z f 在0z 连续，那末()0z f '存在；
解：假命题。例如，()yi x z f 2+=在复平面内任意一点0z 都连续，但不满足柯西—黎曼方程，故()z f '不存在。
2) 如果()z f '存在，那末()z f 在0z 解析；
解：假命题。例如，()y ix xy z f 22+=，()z f 在点00=z 可导，但()yi x z f 2+=在0z 点不解析。
3) 如果0z 是()z f 的奇点，那末()z f 在0z 不可导；
解：假命题。例如，()i y x z f 3
3+=在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但()z f 在0=±y x 上的点均可导。
4) 如果0z 是()z f 和()z g 的一个奇点，那末0z 也是()()z g z f +和()()z g z f 的奇点；
解：假命题。例如，()z z f =与()z z g -=在复平面内处处不解析，即复平面内任意一点0z 都是()z f 与()z g 的奇点。但()()()
0=-+=+z z z g z f 在复平面内处处解析，即()()z g z f +在复平面内没有奇点。
5) 如果()y x u ,和()y x v ,可导（指偏导数存在），那末()iv u z f +=亦可导；
解：假命题。例如，设()yi x z f 2+=，则()x y x u =,，()y z v 2=均可导，但不满足柯西—黎曼方程，因此()z f 不可导。
6) 设()iv u z f +=在区域D 内是解析的。如果u 是实常数，那末()z f 在整个D 内是常数；如果v 是实
常数，那末()z f 在D 内也是常数。
解：真命题。下面证明：
因为()iv u z f +=在区域D 内解析，即满足柯西—黎曼方程： y v x u ??=??，x
v y u ??-=?? 如果u 是实常数，则0=??=??y v x u ，0=??-=??x
v y u ，即v 为实常数，故()z f 在D 内为常数。 如果v 是实常数，则0=??=??y v x u ，0=??-=??x
v y u ，即u 为实常数，故()z f 在D 内为常数。 7． 如果()iv u z f +=是z 的解析函数，证明：()()()222z f z f y z f x '=???
? ????+??? ????。 证明：()iv u z f += ()22v u z f +=
∴ ()22222221222??? ????+??+=?????
???????+??+??=??? ????x v v x u u v u v u x v v x u u z f x ()22222221222???? ????+??+=?????
???????+??+??=???? ????y v v y u u v u v u y v v y u u z f y ()iv u z f += 在点z 处解析，y v x u ??=??∴，x v y u ??-=?? ()()2222222211???
? ????+??++??? ????+??+=???? ????+??? ????y v v y u u v u x v v x u u v u z f y z f x
??????????? ????+??-+??? ????+??+=???????????? ????+??+??? ????+??+=2222222
211x u v x v u x v v x u u v u y v v y u u x v v x u u v u ??????????? ????+??? ??????-??? ????+??? ????+??? ??????+??? ????+=222222222
2221x u v x v x u uv x v u x v v x v x u uv x u u v u 2222222222221??
? ????+??? ????=??????????? ????+??? ????+??? ????+??? ????+=x v x u x u v x v u x v v x u u v u ()x v i x u z f ??+??=' ()222??? ????+??? ????=∴x v x u z f ' ? ()()()22
2z f z f y z f x '=???? ????+??? ????
8． 设()2323lxy
x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值。 解：设()y nx my y x u 23+=,，()23lxy x y x v +=,，则
nxy x u 2=??，223nx my y u +=??，223ly x x
v +=??，lxy y v 2=?? y
v x u ??=?? lxy nxy 22=∴ ? l n = x v y u ??-=?? ()222233ly x nx my +-=+∴ ? ???-=-=l
m n 33 3-==∴l n ，1=m ，()2323lxy x i y nx my +++为解析函数
9． 证明柯西—黎曼方程的极坐标形式是：???=??v r r u 1，?
??=??v r r u 1 证明：直角坐标与极坐标的转换公式为???==?
?sin cos r y r x ，于是由复合函数求导得：
??sin cos y
u x u r y y u r x x u r u ??+??=????+????=?? ()()?θ???cos sin r y
u r x u y y u x x u u ??+-??=????+????=?? ??sin cos y
v x v r y y v r x x v r v ??+??=????+????=?? ()?????cos sin r y
v r x v y y v x x v v ??+-??=????+????=?? y v x u ??=?? ，x v y u ??-=?? ????sin cos sin cos x
u y u y v x v r v ??+??-=??+??=?? ()???
? ????+??=??+-??=???????cos sin cos sin x u y u r r y v r x v v ()()?????=-??+??=??-u r x
u r y u r v r sin cos r u x u y u v r ??=??+??=?????cos sin 1 即：???=??v r r u 1，?
??=??v r r u 1
10． 证明：如果函数()iv u z f +=在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那末()z f 是常数。
1) ()z f 恒取实值；
证明：()z f 恒取实值，即()0=y x v ,。
()iv u z f += 是解析函数，所以 0=??=??y v x u ，0=??-=??x
v y u 0=??=???y
u x u 即()y x u ,为常数，故()z f 是常数。 2) ()z f 在D 内解析；
证明：因为()iv u z f +=在区域D 内解析，所以y v x u ??=??，x
v y u ??-=?? 又为()iv u z f -=在区域D 内解析，所以
()y v x u ?-?=??，()x v y u ?-?-=?? 0=??=??=??=??∴y
v x v y u x u ，故()z f 是常数。 3) ()z f 在D 内是一个常数；
证明：设c v u =+22 ? ???
????=??+??=??+??022022y v v y u u x v v x u u ? ???????=??+??=??+??00y v v y u u x v v x u u 0=????????∴y v y
u
x v x u
同时 y v x u ??=??，x v y u ??-=?? 成立。所以022=??? ????+??? ????x v x u 0=??=??∴x
v x u ? 0=??=??=??=??y v x v y u x u 即u ，v 均为常数，故()z f 是常数。 4) ()z f arg 在D 内是一个常数；
证明：设()z f arg =?，则π?π≤≤-。
○1如果2π
?±=，则0=u ，从而0=??=??y u x u ，又()z f 在D 内解析，0=??=??=??=??y
v x v y u x u ， 所以v 为常数，故()z f 是常数。
○2如果22π?π≤<-，则u v arctg =?，于是有???
????=??+??-=??+??-00y v u y u v x v u x u v 0=????????∴y v y
u
x v x u
同时 y v x u ??=??，x v y u ??-=?? 成立。所以022=??? ????+??? ????x v x u 0=??=??∴x
v x u ? 0=??=??=??=??y v x v y u x u 即u ，v 均为常数，故()z f 是常数。 ○3如果π?π
≤<2，则u
v arctg +=π?； 如果2
π?π-≤≤-，则u v arctg
+-=π?，与○2的讨论一样，可得到()z f 是常数。 5) c bv au =+，其中a ，b 与c 为不全为零的实常数。 证明：因为c bv au =+，且b a ,与c 为不全为零，所以a 和b 不能同时为零。
假设0≠a ，则有()bv c a u -=1，于是x v a b x u ??-=??，y v a b y
u ??-=?? ()iv u z f +=在区域D 内解析，
y v x u ??=??，x v y u ??-=??，0=??=??=??=???y v x v y u x u ， 所以v 为常数，故()z f 是常数。
11． 下列关系是否正确？
1) z z e e =
解：设iy x z +=，则z iy x iy x iy x iy x z e e e e e e e
e =====--+ 2) z z cos cos = 解：()()
()z e e e e e e z iz iz iz iz iz iz cos cos =+=+=+=---212121 3) z z sin sin = 解：()()
()z e e i e e i e e i z iz iz iz iz iz iz sin sin =--=--=-=---212121 12． 找出下列方程的全部解：
1) 0=z sin
解：0=z sin ，0=-∴-iz iz e e ? 12=iz e ，即πn z =() 3210±±±=,,,n
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数经典例题
第一章例题 例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].；平面上的何种曲线? (1) 以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； (2) 倾角 二的直线； (3) 双曲线''■='。 解 设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos
0 特别，取 - ，则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此， f ② 在匚邻域 内就恒不为0。 例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一 在原点无极限，从而在原点不连续。
证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则 而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时，其极限为一1。故匚处处不可微。 证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。故 但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而 （沿正实轴。一 H ） 当I: 「时，极限不存在。因 二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于 例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay
复变函数经典习题及答案
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x
【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：
最新复变函数第二章答案
第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零
复变函数课后习题答案全
习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=
（2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =
第一章复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部．
【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.
复变函数练习题及答案
复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。
复变函数习题集(1-4)
第一章 复数与复变函数 一、选择题： 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 32 1+ - （D ）i 2 12 3+ - 3．复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为（ ） A ．44-3(cos isin )5 5 ππ＋ B ． 443(cos isin )55ππ－ C ． 443(cos isin )5 5 ππ＋ D ．44-3(cos isin )5 5 ππ－ 4．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1．设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5．=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题：
复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)
《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数.
复变函数经典例题
第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？ （1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； （2）倾角的直线； （3）双曲线。 解设，则 因此 （1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。 （3）因，故，在平面上对应的图形为：直线 。 例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有 特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。
证令变点，则 从而（沿正实轴） 而沿第一象限的平分角线，时，。 故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。 证因。故 但
在时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性，并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求 之值。 解设，则
由代入得 解得：，从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）
（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）
第1章复变函数习题-答案~习题详解
第一章习题详解 1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231 + 解： ()()()13 2349232323231231i i i i i i -=+-=-+-=+ 实部：13 3 231= ??? ??+i Re 虚部：132231-=?? ? ??+i Im 共轭复数：1323231i i += ?? ? ??+ 模：131 1323231 2 22=+= +i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3132 2231231+? ?? ??-=+-=+??? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解： ()()()2 532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=-- 实部：2 3131=??? ??--i i i Re 虚部：25131-=?? ? ??--i i i Im 共轭复数：253131 i i i i +=?? ? ??-- 模：2 34 4342531312 22= =+= --i i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+??? ??-=+???? ? ??-=+??? ??--=??? ??--arg
3) ()()i i i 25243-+ 解： ()()()2 26722672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部：()()2725243-=?? ? ??-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模： ()() 292522627252432 2 =?? ? ??-+??? ??-=-+i i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+??? ??=+????? ? ?--=??? ??-+ 4) i i i +-21 8 4 解：i i i i i i 3141421 8-=+-=+- 实部：( )1421 8=+-i i i Re 虚部：( )3421 8-=+-i i i Im 共轭复数：() i i i i 314218+=+- 模：103142221 8 =+=+-i i i 辐角：( )()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2321324421821 8 +-=+?? ? ??-=++-=+-arg 2． 当x 、y 等于什么实数时，等式 ()i i y i x +=+-++13531成立？ 解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ?? ?=-=+8321y x ? ??==?111 y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。
复变函数积分(练习题)
基本要求 1． 正确理解复变函数积分的概念；01()lim ()n k k C k f z dz f z λζ→==?∑? 2． 掌握复变函数积分的一般计算法；()()()(())()C C f z dz u iv dx idy f z t z t dt βα '=++=??? 3． 掌握并能运用柯西—古萨基本定理和牛顿—莱布尼茨公式来计算积分； ()0C f z d z =? ，10 10()()()z z f z dz G z G z =-? 4． 掌握闭路变形定理、复合闭路定理，并能运用其计算积分； 1()()C C f z dz f z dz =?? ，1()()k n C C k f z dz f z dz ==∑?? 5． 掌握并能熟练运用柯西积分公式；00 ()2()C f z dz if z z z π=-? 6． 掌握解析函数的高阶导数公式，理解解析函数的导数仍是解析函数，会用高阶导数公式计算积分。 0102()()()! n C if z f z dz z z n π+=-? 一、填空题 1．2||122z dz z z ==++? （ ） ； 2．22|1|111z z dz z -=+=-? （ ） ； 3．2||1cos ()z z dz z π==-? （ ） ； 4．设()f z 在单连通域D 内解析且不为零，C 为D 内任一条简单闭曲线，则()2()1() C f z f z dz f z '''++=? （ ）； 5．解析函数()f z 的导函数仍为（ ），且()()n f z =（ ）。 二、计算下列各题 1．计算积分2(2)C iz dz +?，C 是由(1,0)A 到(0,1)B 的直线段； 111.33 i -+ 2．计算积分22z C e dz z z +? ，:||2C z =； 22(1).i e π--
复变函数D卷答案
湖南科技学院二○○ 年 学期期末考试 专业 年级 试题 考试类型：闭卷 试卷类型：D 卷 考试时量： 120 分钟 一（共7分，每小题1分) 1．nLnz Lnz n =（n 为正整数） （ ） 2．),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x u 是),(y x v 的共轭调 函数。 （ ） 3．函数在可去奇点处的留数为0。 （ ） 4．0是2sin )(z z z f = 的一阶极点。 ( ) 5．复数0的辐角主值为0。 （ ） 6．在复变函数中，0cos ,0sin ,1|cos |,1|sin |2 2 ≥≥≤≤z z z z 同样成立。 （ ） 7．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是其解析区域内的调 和函数。 （ ） 二 、填空题（共28分，每小题4分) 1． i i -1=_________. 2．? =-2 |1|2 z z dz = 。 3． dz z c ?=__________。 （其中c 是从1到的直线段） 4．幂级数n n n z n ∑ +∞ =1 的收敛半径R =
5．0为 )1()(2-=z e z z f 的 阶零点。 6．2 ||2(1)(3)z dz z z =--?=____________ 7． )1(Re z z s z +∞== 。 8.1z =+arg z =_______________。 三 、计算题（共39分) 1. 已知),(),()(y x iv y x u z f +=在z 平面上是解析函数，且2 33),(xy x y x u -=，求解)(z f ， 使得i f 2)0(=。（12分） 2. 求 ) 1(1 -z z 在10<
复变函数论第三版课后习题答案
第一章习题解答 （一） 1 ．设z ，求z 及Arcz 。 解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3 是内 接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z
《复变函数与积分变换》习题册
第一章 复数与复变函数 本章知识点和基本要求 掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念； 熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。 一、填空题 1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______. 2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y = 3、若1231i z i i +=--，则z = 4、若(3)(25) 2i i z i +-= ，则Re z = 5、若4 21i z i i +=- +，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z = 7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。 8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为 _________________. 9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____. 10、设4 i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________. 12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程
为 。 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1 2 +-= z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的部。 16 二、判断题（正确打√，错误打?） 1、复数7613i i +>+. ( ) 2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( ) 3、若 a 为实常数，则a a = （ ） 4、复数0的辐角为0. 5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在 00(,)x y 点连续。 （ ） 6、设21,z z 为复数，则2121z z z z ?=。 （ ） 7、1212z z z z +=+ （ ） 8、参数方程2 z t ti =+ （t 为实参数）所表示的曲线是抛物线2y x =. ( ) 三、单项选择题 1、下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是 （ ） A.z·z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg (z·z ) D. z·z =|z| 2、方程3z =8 的复根的个数为 （ ） A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当11i z i +=-时，1007550z z z ++的值等于 （ ） A i B i - C 1 D 1- 4、方程23z i +-= （ ） A 中心为23i -的圆周