《条件概率的计算公式》教学

《条件概率的计算公式》教学设计

一、导入新知

由之前所学的例子可知,一般情况下,P(B)≠P(B|A),即事件A,B中某个事件发生对另一个事件发生的概率是有影响的.但在许多实际问题中,常会遇到两个事件中任何一个事件发生都不会对另一个事件发生的概率产生影响。此时,P(B)=P(B|A)，故乘法公式可写成P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)。由此引出了事件间的相互独立问题。

二、探究新知

（一）两个事件的独立性

1、定义1 ：设A,B是两个事件，如果满足等式，则称事件A,B相互独立，简称A,B独立.

需要注意的是事件A与事件B相互独立，是指事件A发生的概率与事件B发生的概率互不影响；反之，若事件A发生的概率与事件B发生的概率互不影响，则事件A与事件B相互独立.

2、事件独立性的性质

性质 1. 设A,B 是两事件，且P(A)>0 , A,B相互独立，则

.

性质 2 . 若事件A与事件B相互独立，则

也相互独立.

注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定

义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一

般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行

计算。

（二）有限个事件的独立性

1、定义2 设A1,A2,A3三个事件，如果满足等式

．

则称事件A1,A2,A3相互独立．

独立性的定义可推广到n个事件上去，特别地, 当事件A1,A2,...A n,,相互独立时, 有

P(A1A2...A n)=P(A1)P(A2)...P(A n)

P(A1A2...A n)=P(A1)P(A2)...P(A n)

2、定义3：设A1,A2,?A n是个事件，如果其中任意两个事件均相互独立，则称事件A1,A2,?A n两两独立．

3、多个相互独立事件的性质

性质１若事件A1,A2,?A n?相互独立，则其中任意m(1

性质 2 若事件A1,A2,?A n?相互独立，则将A1,A2,?A n?中任意m(1

相互独立．

（三）伯努利概型

在概率论中，如果随机试验只有两种可能的结果：事件A发

生或事件A不发生，则称这样的试验为伯努利试验。为方便起见，记

将伯努利试验在相同条件下独立地重复进行n次，称这一串

重复的独立试验为n重伯努利试验，或简称为伯努利概型。n重

伯努利试验是一种很重要的数学模型，在实际问题中应用广泛，

特点是事件A在每次试验中发生的概率均为P，且不受其他各次

试验中A是否发生的影响．对于伯努利概型，主要研究n次试

验中事件A发生k(0≤k≤n) 次的概率。

定理（伯努利定理）设在一次试验中，事件 A 发生的概率为则在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为

推论: 设在一次试验中，事件发生的概率为，则在伯努利试验序列中，事件在第k 次试验中才首次发生的概率为

三、巩固新知

例1: 抛掷两枚均匀硬币2次, A={第一枚出现正面},B={第二枚出现正面}

证明: 事件A与B是独立的.

证明不难计算P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(B|A)=1/2,P(AB)=1/4

可见P(B)=P(B|A),P(AB)=P(A)P(B)

即事件A与B是独立的．

例 2 一个人看管三台机床，设各台机床在任一时刻正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.85 ，求在任一时刻，

（ 1 ）三台机床都正常工作的概率；

（ 2 ）三台机床中至少有一台正常工作的概率．

解: 三台机床工作正常与否是相互独立的，

记A_i“第i台机床正常工作”（i=1,2,3），则

（ 1 ）所求概率为

（ 2 ）所求概率为

例3设在独立重复试验中每次事件Ａ发生的概率为0.5 ，问最少需要进行多少次试验，才能使事件Ａ至少

发生一次的概率不小于0.9 ？

解：设最少需要进行次独立重复试验，则在次试验中事件至少发生一次的概率为

解得所以.

四、课堂小结

这节课我们学习了两个事件的独立性、有限个事件的独立性和伯努利概型。