郑君里信号与系统习题答案

第三章 傅里叶变换

一.周期信号的傅里叶级数

二.傅里叶变换

例题

?例题1：傅里叶级数——频谱图 ?例题2：傅里叶变换的性质 ?例题3：傅里叶变换的定义 ?例题4：傅里叶变换的性质 ?例题5：傅里叶变换的性质 ?例题6：傅里叶变换的性质

?例题7：傅里叶变换的性质、频响特性 ?例题8：傅里叶变换的性质 ?例题9：抽样定理

–例题10：周期信号的傅里叶变换

例3-1 周期信号 1. 画出单边幅度谱和相位谱；

()?

?

? ??

--??? ??++=328cos 265sin cos 3ππt t t t f 形式

频谱：离散性、谐波性、收敛性 周期矩形脉冲信号的频谱特点

定义及傅里叶变换存在的条件 典型非周期信号的频谱

冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换 性质→应用：调制和解调→频分复用 周期信号的傅里叶变换：由一些冲激函数组成 抽样信号的傅里叶变换→抽样定理→应用：时分复用

2. 画出双边幅度谱和相位谱。

单边幅度谱和相位谱

双边幅度谱和相位谱

例3-2 分析：f (t )不满足绝对可积条件，故无法用定义求 其傅里叶变换，只能利用已知典型信号的傅里叶 变换和性质求解。下面用三种方法求解此题。 方法一：利用傅里叶变换的微分性质 方法二：利用傅里叶变换的积分性质 方法三：线性性质

方法一：利用傅里叶变换的微分性质

要注意直流，设f A(t )为交流分量，f D(t )为直流分量，则 其中

()?

??

??+-+??? ??-++=ππππ328cos 2265cos cos 3t t t t f ?

?? ??

++??? ??-+=38cos 2315cos cos 3ππt t t

()。的傅里叶变换求信号 )(ωF t f ()()()t f t f t f D A +=()()()

ωωωD A F F F +=()()()[]2321=∞+∞-=f f t f D ()()ωπδω3=D F ()()t f t f A

'='()??? ??-='

211t G t f A ()ω

ωωωj A

e F j -??

? ??=∴2Sa

方法二：利用傅里叶变换的积分性质

方法三：利用线性性质进行分解

此信号也可以利用线性性质进行分解，例如

例3-3

已知信号f (t )波形如下，其频谱密度为F (j ω)，不必求出F (j ω)的表达式，试计算下列值：

()ωωωω

j e F j A -??

?

??=∴2

Sa ()()()()ωπδωωωωωω32Sa +??? ??=+=∴-j e F F F j D

A ())(11t f t f +=的积分

为)()(21t f t f ()ω

ωωj e F -??? ??=2Sa 2()()()ωωωπωωωπωω

ωj e e j F j j --??? ??+=??? ????????+=∴2

Sa 2Sa 11 ()[]()()ωωωπδωωω

j e F F F j -??? ??+=+=∴2Sa 311()[]

)

1(2)1()()1()(-+--++-=t u t u t u t t u t f ()ωωπδj 1-()2121ωωωω

ωj e e j j j j ---+

-()ωωωπδj e j -+22()()()ωπδωωω

312+-=∴-j e F j ()()

01=ωωF ()()?

∞∞-ωωd 2F -t t

j d ω(()?

∞

-====∴5.1d 00t t f F F ωω

令t =0，则 则

例3-4

按反褶－尺度－时移次序求解

已知

方法二：

按反褶－时移－尺度次序求解

已知

方法三

利用傅里叶变换的性质

其它方法自己练习。

例3-5

解：

()()()?∞∞-=ω

ωπωd 212e

t

j F t f ()()?

∞

∞-=ωωπ

d 210F f ()()ππωω202d ==?

∞

∞

-f F ()()[]()()[]。利用傅里叶变换的性质已知t f F t f F F 26,,111-==ωω()[]

()

ω-=-11F t f F ()[]??? ??-=-221211

ωF t f F ()[]ωω31122126j e F t f F -??? ??-=-反褶对t 倍

压缩对2t 得时移对,26t ()()[]t f F F 11=ω()[]()ω-=-11F t f F ()[]()ωω6116j e F t f F --=-()[]ω

ω31122126j e

F t f F -??? ??-=-()()[]t f F F 11=ω得时移对,6t 反褶对t 倍压缩对2t (

)[]

a t j e

a F a t at f F 0

10ωω-??? ??=-代入上式，得这里6-2,a 0-==t (

)[]

ωω31122126j e

F t f F -??? ??-=-()()

的频谱比较。

冲信号密度函数，并与矩形脉利用频移性质求其频谱已知升余弦信号????????? ??

--??? ?

?+=≤≤????????? ??+=22)(,0 cos 121ττττπt u t u E t f t t E t f

()()()[]τττπτπ--+??????++=-t u t u e E e E E t f t t j j 442()

ωττSa E ???

?????? ?

?-ττπ

ωτSa 2E ???

?????? ?

?+ττπωτSa 2E

升余弦脉冲的频谱

τE τ2E τ2E

比较

1F

例3-6 已知双Sa 信号

()()()[]{}τωωπω2--=t Sa t Sa t f c c c ()

t Sa c c

ωπω=

已知

由时移特性得到

从中可以得到幅度谱为

双Sa 信号的波形和频谱如图（d ） （e ）所示。

()()()()

()()

所示。

的波形如图和为矩形。波形，其频谱为因b t f

t f F t f ,a Sa 000ω(a)

(b)()所示。的波形如图(c)20

τ-t f ()[]???<<= )( 0)( 10c c t f F ωωωω(c)

()[]

????

?<<=-- )( 0)( 220c c j e

t f F ωωωωτωτ()的频谱等于因此t f ()()[]()[]?????<<-=--=-

)( 0)( 12200c c j e t f F t f F F ωωωωτωωτ()()???<<= )( 0)

( sin 2c c F ωωωωωτω此时上式变成

在实际中往往取,c ωπ

τ=()?????<

?

??=

)( 0)( sin 2c c c F ωωωωωπωω(d )

(e)

例3-7-8

由对称关系求

又因为

频谱图 由对称关系求

幅频、相频特性

幅频、相频特性分别如图（c)(d)所示。

(c) (d) 幅度频谱无变化，只影响相位频谱

例3-8

已知信号 求该信号的傅里叶变换。 ()).( , 1b t f 如图引入辅助信号()ω1F )

()( 21ωωπG F =)1()(1-=t f t f ω

πωωωωj j e G e F F --?=?=)()()(21()

ω1F |)(|ωF ω

)(ωφ??

?-00

0t t t ωωω左

右相移?????>≤+=π

πt t t t f 0cos 1)(

分析：该信号是一个截断函数，我们既可以把该信号看成是周期信号 经过门函数 的截取，也可以看成是 被信号 调制所得的信号.

有以下三种解法: 方法一：利用频移性质 方法二：利用频域卷积定理

方法三：利用傅里叶变换的时域微积分特性 方法一：利用频移性质

利用频移性质：由于 利用欧拉公式，将 化为虚指数信号， 就可以看成是门函数 被虚指数信号调制的结果。在频域上，就相当于对 的频谱进行平移。

又因

所以根据频移性质，可得

方法二：用频域卷积定理 将 看成是信号 经过窗函数 的截取，即时域中两信号相乘

根据频域卷积定理有

方法三：利用傅里叶变换的时域微积分特性 信号f (t )是余弦函数的截断函数，而余弦函数的

二次导数又是余弦函数。利用傅里叶变换的时

()t cos 1+()t G π2()t G π2()t cos 1+())(cos 1)(2t G t t f π+=()t cos 1+)(t f ()t G π2()t G π2())(21211)(cos 1)(22t G e e t G t t f jt jt ππ??? ??++=+=-()ωπωπωππsin 2Sa 2)(2=

?t G ()[]()()()

1sin 211sin 221

11sin 221sin 2)(2--

=++?+--?+==ωω

πωωωπωωπωπωωt f F F )(t f ()t cos 1+()t G π2())

(cos 1)(2t G t t f π+=()[]()[]t G F t F

F ππω2cos 121

*+=()()()[]11221

++-+=

ωπδωπδωπδπωπωsin 2*()

1sin 22

--=ωωπω

域微积分特性可以列方程求解。

由图可知

对上式两端取傅里叶变换，可得

即

例3-9

(1)要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里叶变换F (ω) 已知

即

利用傅里叶变换的对称性

f (t )的波形和频谱图如下

所以信号的频带宽度为

()()()的波形为：

t f t f t f ''',,()()[])()(cos 22t G t f t tG t f ππ--=-=''

()()()??????--=ωπωωωωsin 22

F F j ()

()ωπω

ωωsin 212=

-F ()()）项移到方程右边，即项，因此可将（

中不可能含有根据时域积分特性，处都等于叶变换在均为能量信号，其傅里和由于21,00)()(ωωδωω-='''F t f t f ()()

1sin 22--

=ωωπω

ωF 。

和奈奎斯特奈奎斯特频率进行均匀冲激抽样，求分），若对的频宽（只计正频率部求信号N f t f t t f )()100(Sa )(=()??

?

???2Sa ωτττt G ωωτ1002=令200,＝则τ()()ω100Sa 200200?∴t G (

)()ω100Sa 2001200?t G ()(

)()ωπωπ20020010020012100Sa G G t =??Hz 502π

πω==∴m m f s

rad/100=m

ω

（2）最高抽样频率（奈奎斯特频率）为

奈奎斯特间隔（即最大允许抽样间隔）为

例3-10

已知周期信号f (t )的波形如下图所示，求f (t )的傅里叶变换F (ω)。

分析：求信号的傅里叶变换一般有两种解法。

方法一：将信号转化为单周期信号与单位冲激串 的卷积，用时域卷积定理来求解；

方法二：利用周期信号的傅里叶级数求解。 方法一

将信号转化为单周期信号与单位冲激串的卷积。

截取f (t )在 的信号构成单周期信号 f 1(t )，即有

则

易知f (t )的周期为2，则有

()

∑∞

-∞

=-=n n πωδπ

由时域卷积定理可得

Hz

100

2π==m N f f s 1001π==N N f T 23

21≤≤-t ???

?

?

≤≤-=为其它值t t t f t f

02321)()(1[])1()()()(211--*=t t t G t f δδ()

ω

ωj e --??? ???14Sa 212)()()(1=*=T t t f t f T δ()π

π

ωωδωδω==?T

t T 2)(111

()

[]()[]

t F t f F F T δω?=)(1(

)

()∑∞

-∞

=--?-???

??=

n j n e πωπδωω14Sa 21()

()

∑

∞

-∞=---=

n jn n e n n πωδπ

π

π

π14

4sin

2[]

()∑∞-∞

=---=n n n n n πωδπ)1(14sin

2

方法二：利用周期信号的傅里叶级数求解

f (t )的傅里叶级数为

所以

?

-?=T

t

j n t e t f T F d )(11ωt

e t G t G t jn d )1()(2123

21212

1π--?

??????

--=[]

n

n n )1(14sin --=π

π

()()[]

t f F F =ω()

∑

∞-∞=-=n n n F πωδπ2[](

)

∑

∞-∞

=---=n n n n

n πωδπ

)1(14sin 2