2018--2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)

2019年上海市普通高等学校春季招生考试

数 学 试 卷

一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分

1．函数2log (2)y x =+的定义域是 2．方程28x

=的解是 3．抛物线28y x =的准线方程是 4．函数2sin y x =的最小正周期是

5．已知向量(1 )a k =

，，(9 6)b k =- ，。若//a b ，则实数 k =

6．函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 7．复数23i +（i 是虚数单位）的模是

8．在ABC ?中，角 A B C 、

、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===

，，，则b= 9．在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为

10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）。 11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 。 12．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2

2

36=23?，所以36的所有正约数之和为2

2

2

2

2

2

2

2

(133)(22323)(22323)(122)133)91++++?+?++?+?=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为

二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分

13．展开式为ad-bc 的行列式是（ ）

D 1 C 1

B 1

A 1

D C A

B

（A ）

a b d c (B)

a c

b d (C)

a d

b

c (D)

b a

d c

14．设-1()f x

为函数()f x =

）

(A) 1(2)2f -= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f -= (D) 1(4)4f -= 15．直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）

(A) (2 3)-，

(B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16．函数1

2

()f x x -=的大致图像是（ ）

17．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） (A)

11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b

-<- 18．若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称

(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19． 10

(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）

（A ）45x （B ）2

90x （C ） 3

120x （D ）4

252x

20．既是偶函数又在区间(0 )π，

上单调递减的函数是（ ） （A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ）

（A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22．设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ） （A ）u Z N e （B ）u N N e （C ）()u u ?痧 （D ）{0}u e

23．已知 a b c R ∈、、，“2

40b ac -<”是“函数2

()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”

的（ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件

24．已知 A B 、

为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=?

，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）

（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤 25．（本题满分7分）

如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，16AA =，异面直线1BC 与1

AA 所成角的大小为6

π

，求该三棱柱的体积。

26．（本题满分7分）

如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B ∠为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。

27．（本题满分8分）

已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-+，数列{}n b 满足2

n

a n

b =，求

12lim n n b b b →∞

+++ （）。

28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分

已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，，短轴的两个端点分别为12 B B 、 （1）若112F B B ?为等边三角形，求椭圆C 的方程;

（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点，且11F P FQ ⊥

，

求直线l 的方程。

A

B

C B 1

A 1

C 1

A

C

B

29．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分

已知抛物线2 4C y x =： 的焦点为F 。

（1）点 A P 、

满足2AP FA =-

。当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程； （2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。

30．（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9

分

在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记1n n n P AP θ+∠=，n N *

∈。 （1）若31

arctan

3

θ=，求点A 的坐标； （2）若点A

的坐标为(0，求n θ的最大值及相应n 的值。

31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分

已知真命题：“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”。[来源:学§科§网Z §X §X §K]

（1）将函数3

2

()3g x x x =-的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标； （2）求函数2

2()log 4x

h x x

=- 图像对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。

2019年上海市普通高等学校春季招生考试

数 学 试 卷

参考答案 一．（第1至12题）每一题正确的给3分，否则一律得0分

1．(2,)-+∞ 2．3 3．2x =- 4．2π 5． 3

4

-

6． 5 7

8． 7 9． 3π 10．45 11．257

66

n n - 12． 4836

二．（第13至24题）每一题正确的给3分，否则一律得0分

13．B 14．B 15．D 16．A 17．D 18．A 19．C 20．B 21．C 22．A 23．D 24．C 三．（第25至31题） 25．[解]因为1CC 1AA .

所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角，即1BC C ∠=6

π

。 在Rt 1BC C ?

中，11tan 63

BC CC BC C =?∠=?

=,

从而2ABC S BC ?=

=

因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ?=?==26．[解]如图，设矩形为EBFP , FP 长为x 米，其中040x <<，

健身房占地面积为y 平方米。因为CFP ?∽CBA ?，

以

FP CF BA CB =，504050x BF -=,求得5

504

BF x =-， 从而255(50)5044y BF FP x x x x =?=-=-+2

5(20)5005004

x =--+≤，

当且仅当20x =时，等号成立。

答：该健身房的最大占地面积为500平方米。

27．[解]当2n ≥时，221(1)(1)22n n n a s s n n n n n -=-=-++---=-+。 且110a s ==，所以n a =22n -+。

A

B

C

F

P E

因为22

11

2

()4

n n n b -+-==，所以数列{}n b 是首项为1、公比为14的无穷等比数列。

故12lim n n b b b →∞+++ （）14

13

14

==-。 28．[解]（1）设椭圆C 的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>。

根据题意知22

21

a b

a b =??

-=?， 解得2

43a =

，2

13

b = 故椭圆C 的方程为22

14133

x y +=。 （2）容易求得椭圆C 的方程为2

212

x y +=。 当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-。

由22

(1)12

y k x x y =-???+=?? 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=。 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，，则

2212121111

222242(1) (1 ) (1 )2121

k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，， 因为11F P FQ ⊥ ，所以11

0F P FQ ?=

,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--

2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++

2271

021

k k -=

=+， 解得2

17k =

，即k =。 故直线l

的方程为10x -=

或10x -=。

29．（1）设动点P 的坐标为( )x y ，，点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--

，,

因为F 的坐标为(1 0)，，所以(1 )A A FA x y =-

，，

由2AP FA =-

得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，。

即2(1)2A A A A x x x y y y -=--??-=-? 解得2A A

x x y y =-??=-?

代入24y x =，得到动点P 的轨迹方程为284y x =-。

（2）设点Q 的坐标为( 0)t ，

.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，， 则12

2y

x t y x t ?=-??-??=+?? 解得3545x t y t ?=-????=??

若Q '在C 上，将Q '的坐标代入2

4y x =，得24150t t +=，即0t =或154

t =-

。 所以存在满足题意的点Q ，其坐标为(0 0)，

和15

( 0)4

-，。 30．[解]（1）设(0 )A t ，

，根据题意，12n n x -=。由31arctan 3θ=，知31tan 3

θ=， 而3

443343

223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t t

θ--=∠-∠===+?++?

， 所以2

41

323

t t =+，解得4t =或8t =。 故点A 的坐标为(0 4)，

或(0 8)，。 （2）由题意，点n P 的坐标为1

(2

0)n -，

，1

tan n n OAP -∠=

1

11212tan tan()1n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===。

n +≥

，所以tan n

θ≤=

n

=

，即4n =时等号成立。 易知0 tan 2

n y x π

θ<<

=，在(0 )2π

，

上为增函数，

因此，当4n =时，n θ最大，其最大值为arctan

4

。 31．（1）平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2y x x =+-++， 整理得33y x x =-，

由于函数33y x x =-是奇函数，

由题设真命题知，函数()g x 图像对称中心的坐标是(1

2)-，。 （2）设2

2()log 4x

h x x

=-的对称中心为( )P a b ，

，由题设知函数()h x a b +-是奇函数。 设()(),f x h x a b =+-则2

2()

()log 4()

x a f x b x a +=--+，即2

22()log 4x a f x b a x +=---。 由不等式

2204x a

a x

+>--的解集关于原点对称，得2a =。

此时2

2(2)

()log (2 2)2x f x b x x

+=-∈--，，。 任取(2,2)x ∈-，由()()0f x f x -+=，得1b =， 所以函数2

2()log 4x

h x x

=-图像对称中心的坐标是(2 1)，

。 （3）此命题是假命题。

举反例说明：函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像，但是对任意实数a 和b ，函数()y f x a b =+-，即y x a b =+-总不是偶函数。 修改后的真命题：

“函数()y f x =的图像关于直线x a =成轴对称图像”的充要条件是“函数()y f x a =+是偶函数”。