浙江省六校联考试卷.docx
2016届浙江省六校联考试卷
数学（文科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。考试时间为120分钟。 参考公式：
柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 锥体的体积公式13
V Sh = 其中S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高
台体的体积公式
12
1()3V h S S = 其中S 1，S 2分别表示台体的上，下底面积
球的表面积公式24S R π= 其中R 表示球的半径，h 表示台体的高
球的体积公式343
V R π=
其中R 表示球的半径 选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知集合{
}
2
=430A x x x -+<，{}
24B x x =<<，则A B =I
A ．（1，3）
B ．（2，3）
C ．（1，4）
D ．（2，4）
2.已知直线1:(3)453l m x y m ++=-与2:2(5)8l x m y ++=，则“12//l l ”是“7-=m ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3.已知空间两条不同的直线m ，n 和平面α，则下列命题中正确的是
A ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥
B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ⊥
C ．若//m α，//n α，则//m n
D ．若m α?，//n α，则//m n 4.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2
1
1=
a ，n n a a 111-=+，则=10S
A ．4
B ．2
9
C ．5
D ．6 5.将函数π
sin(4)3
y x =+
的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π6个
单位，得到的函数的图像的一个对称中心为 A ．（
π16，0） B ．（π9，0） C ．（π4，0） D ．（π
2
，0） 6.定义在R 上的函数()f x 满足()()x f x f 21=+，且当10≤≤x 时，()f x =x x -2
，
则=??
?
??-23f A ．2
1
-
B ． 4
1-
C ．8
1-
D ． 16
1-
7.已知O 为坐标原点，双曲线22
221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点为F ，以OF 为直径作
圆交双曲线的渐近线于两点A ，B （异于原点），若()0AO AF OF +?=u u u r u u u r u u u r
，则双曲线的离
心率e 为
A ．3
B ．2 C
8.设m 为不小于2的正整数，对任意n ∈Z ，若n qm r =+（其中q ，r ∈Z ，且0r m <≤）， 则记()m f n r =，如2(3)1f =，3(8)2f =.下列关于该映射:m f →Z Z 的命题中，不正．． 确．
的是 A ．若a ，b ∈Z ，则()()()m m m f a b f a f b +=+
B ．若a ，b ，k ∈Z ，且()()m m f a f b =，则()()m m f ka f kb =
C ．若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f a c f b d +=+
D ．若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f ac f bd =
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9.设α是第二象限角, (,4)P x 为其终边上一点,且x 5
1
cos =α, 则=x ▲ ,=αtan ▲ .
10.某几何体的三视图如右图, 则该几何体的体积为 ▲ ， 表面积为 ▲ .
11.设函数???∈--∈=]
4,2(,28]2,1[,2)(x x x x f x ，则)3log (2-f = ▲ ，若(
t f 1]，则
实数t 的取值范围是 ▲ .
12.动直线l ：(31)(1)660x y λλλ++-+-=过定点P ，则点P 的坐标为 ▲ ，若
俯视图
直线l 与不等式组 0022x y x y ≥??
≥??+≤?表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 ▲ .
13.设0,0a b >>,且不等式
011≥+++b a k b a 恒成立,则实数k 的最小值为 ▲ . 14.在ABC ?中，点D 满足23
BD BC =u u u r u u u r
，点E 是线段AD 上的一个动点（不含端点），
若BE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则μ
λ1+= ▲ .
15.如右图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为正方形边上的动点， 现将△ADE 所在平面沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射影
H 落在直线AE 上.当E 从点D 运动到点C ，再从点C 运动到点B ，
则点H 所形成轨迹的长度为 ▲ .
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.如右图，在四边形ABCD 中，D ∠=2B ∠，且1AD =，3CD =，3
cos B =． (Ⅰ)求ACD ?的面积；
(Ⅱ)若23BC =AB 的长．
17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36,1664==S S ． (Ⅰ) 求n a ； (Ⅱ) 设{}n b 满足()0>=q q
b n
a n ，12231
111n n n T b b b b b b +=
+++L ，求n T ． 18.如右图所示的几何体是由以正ABC ?为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） 被平面DEF 所截而得，2=AB ，1=BD ， 2=AF ，3=CE ，O 为BC 的中点． （Ⅰ）求证：直线OA //平面DEF ；
（Ⅱ）求直线FC 与平面DEF 所成的角的正弦值． 19.如右图，点)2,0(F 是抛物线py x 22
=的焦点. （Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）若点P 为圆O ：122=+y x 上一动点，直线l
是圆O 在点P 处的切线，直线l 与抛物线相交于B A ,两点
（B A ,在y
轴的两侧），求四边形OAFB 的面积的最小值．
C
B
F
E
D
O
A
20.已知函数2
()(0,1)ax f x a b x b =
>>+，满足：(1)1f =，且)(x f 在R 上有最大值4
2
3． （Ⅰ）求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）当x ∈[1，2]时，不等式m
x x m
x f -+≤
)2(3)(2恒成立，求实数m 的取值范围．
2016届浙江省六校联考
数学（文科）答案
一、选择题
1.B
2.C
3.A
4.C
5.D
6.D
7.D
8.A
二、填空题（第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分）
9.-3，3
4
-
10. 3π ， 2+ 11. 3 ， []??????-4,270,1Y 12. (0,6)-, ??
?
???37,1
13.-4 14．2
1
15．π 三、解答题
16. 解：（Ⅰ）3
11cos 22cos cos 2
-=-==B B D ……………………… 2分
因为()0,D π∠∈，所以sin 3
D =， ………………………… 4分
所以△ACD 的面积1
sin 2
S AD CD D =
???= ……………… 7分 （Ⅱ）解法一：在△ACD 中，12cos 2222=??-+=D DC AD DC AD AC ，
所以AC = …………………………… 9分 在△ABC 中，12cos 2222=??-+=B BC AB BC AB AC …………… 12分 把已知条件代入并化简得：042=-AB AB 因为0AB ≠，所以4AB = ……14分 解法二：在△ACD 中，12cos 2222=??-+=D DC AD DC AD AC ，
所以AC = ………………………………………………………… 9分
因为BC =sin sin AC AB
B ACB
=∠，所以
()sin sin 2AB B B π=-，……… 12分 得4AB =． …………………………………………………………14分 17. 解：解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由36,1664==S S ，
???
???
?
=?+=?+362566162
34411d a d a ， …………2分 解得???==2
11d a , …………………4分
21n a n ∴=- …………………7分
(Ⅱ)21
n a n n b q q -== , 11{
}n n b b +是首项为41q ,公比为41q
的等比数列， ………9分 1q ∴≠时，
12231
111n n n T b b b b b b +=
+++L =4
444411
(1)11(1)111n n q q
q q q
-=--- …12分
1q ∴=时，n
T n ∴= ……………14分
4411
(1) (1)1 (1)n
n q T q q n q ??-≠??
∴=-???=?
………………15分
18. （1）证：取DE 的中点G ，连结GF.由三棱柱得，AF//BD//CE ， ∵OG 为梯形CBDE 的中位线 ∴OG//CE ，且OG=2 而CE//AF ，且AF=2 ∴OG //AF
∴四边形OAFG 为平行四边形 ∴GF//OA
又OA ?平面DEF ，GF ?平面DEF ∴ OA//平面DEF ……………………7分 （2）∵BCED AO 面⊥,OA FG //,∴BCED FG 面⊥ 又DEF FG 面?,∴BCDE DEF 面面⊥
在面BCED 中，过C 作DE CH ⊥,连CH ，则DEF CH 面⊥
∴CFH ∠为直线FC 和面DEF 所成角。 …………………….11分
在ΔCFH 中，22=CF ,223=
CH ,43
sin ==
∠CF CH CFH , ∴直线FC 和面DEF 所成角的正弦值为4
3
。 …………………….15分
注：解法2可用等积法；解法3可用空间直角坐标系
19.解：（Ⅰ）2
8x y = …………….5分 （Ⅱ）解法一：设点00(,)P x y ，则直线1:00=+y y x x l
…………….6分
联立直线l 与抛物线方程可得088020=-+x x x y ，
由题意可得0326402
>+=?y x 且080
21<-=y x x ，故100≤ =+，0 218y x x -=，且12 020 =+y x ， ……………..10分 ∴ 2 02 0020 2 0212 212 21326432644)(||y y x y y x x x x x x x +=+= -+=- 32817)4 11(23232)1(64202 00 2 0≥??????-+=+-=y y y y ， ……………….13分 当且仅当10=y 时取“=”， ∴24||21≥-x x ， ∴24||||2 1 21≥-?= x x OF S ， ………………..15分 即四边形OAFB 面积的最小值为24． 解法二：设直线b kx y AB +=: 由直线与圆相切得：1 12 =+k b ，即221k b +=（12 ≥b ）① …………….7分 ???=+=y x b kx y 82 化简整理得：0882=--b kx x 设()()2211,,,y x B y x A 则b x x k x x 8,82121-=?=+ …………….9分 Θ B A ,在y 轴两侧，∴021b ② 由①②得1≥b 212 1 21x OF x OF S OAFB ??+??= …………….11分 21x x -= ()212214x x x x -+= )1(424432642 2≥-+=+=b b b b k …………….13分 当1=b 时， OAFB S 的最小值为2 4…………….15分 20. 解：（1）因为(1)1f =，得：1a b =+， …………………2分 又因为max ()f x = = …………………4分 解得：32a b =??=? 或 3212a b ?=??? ?=?? （舍） 即：2 3()2 x f x x =+ …………………6分 （2）解法一：因为 23(2)m x x m +-在[1,2]x ∈恒有意义，(,1)(2,)m ∴∈-∞+∞U …8分 则问题为 22332(2)x m x x x m ≤ ++-即||m x x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立， 即0≤--m m x x 对]2,1[∈x 恒成立 令()g x x x m m =--，()0g x ≤对]2,1[∈x 恒成立， 由()()110 2220 g m m g m m ?=--≤?? =--≤?? 得434≤≤m …………10分 整理得? ??<-+-≥--=)(,) (,)(2 2m x m mx x m x m mx x x g 问题转化为：求)(x g 在]2,1[上的最大值0)(max ≤x g ① 当 23 4 ≤≤m 时，{})2(),1(m ax )(max g g x g = m g g 34)2(,1)1(-=-= 35 34≤≤m 时，)1()2(g g ≥ 235≤ 4 ≤≤∴m 成立 …………12分 ② 当42≤ max ≤-=?? ? ??=m m m g x g 42≤<∴m …………14分 又(,1)(2,)m ∈-∞+∞U 综上，实数m 的取值范围为24m <≤ ………………15分 解法二： 因为 23(2)m x x m +-在[1,2]x ∈恒有意义，(,1)(2,)m ∴ ∈-∞+∞U ……8分 问题即为 22 332(2)x m x x x m ≤++-对[1,2]x ∈恒成立，即||m x x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立， m x m x -≤ m m x m x x -≤-≤ …………………10分 ① 1x =显然成立 当1x ≠时，2 1x m x ≤- 4 m ≤ ② 对于21x m x ≥+对(1,2]x ∈恒成立，等价于2 max ()1 x m x ≥+， 令1t x =+，(1,2]x ∈，则1x t =-，(2,3]t ∈， 22(1)121x t t x t t -==+-+，(2,3]t ∈递增， 2max 4()13x x ∴=+， 即4 3 m ≥， 综上，实数m 的取值范围为24m <≤ …………………15分