6、在ABC ?中，,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现
D
有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度,沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动.过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E,连结EQ 。设动点运动时间为x 秒。
（1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度；
（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设EDQ ?的面积为2
()y cm ,求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； （3)当x 为何值时，EDQ ?为直角三角形.
7、如图1，在平面直角坐标系中,
已知点(0A ,点B 在x 正半轴上,且30ABO ∠．动
点P 在线段AB 上从点A 向点B
个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．在x 轴上取两点M N ，作等边PMN △．
(1）求直线AB 的解析式;
（2）求等边PMN △的边长(用t 的代数式表示），并求出当等边PMN △的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；
（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt AOB △内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边PMN △和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当02t ≤≤秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（图1） （图2）
8、两块完全相同的直角三角板ABC 和DEF 如图1所示放置，点C 、F 重合，且BC 、
DF 在一条直线上，其中AC =DF =4,BC =EF =3．固定Rt △ABC 不动，让Rt △DEF 沿CB 向左平移,直到点F 和点B 重合为止．设FC =x ，两个三角形重叠阴影部分的面积为y ． （1)如图2，求当x =
2
1
时，y 的值是多少？ （2）如图3，当点E 移动到AB 上时，求x 、y 的值; （3)求y 与x 之间的函数关系式；
9、（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6。沿斜边
AB 的中线CD 把这张纸片剪成11AC D ?和22BC D ?两个三角形（如图2所示）。将纸片
11AC D ?沿直线2D B （AB ）方向平移(点12,,,A D D B 始终在同一直线上），当点1D 于
点B 重合时，停止平移.在平移过程中,11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P 。
(1）当11AC D ?平移到如图3所示的位置时,猜想图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明你的猜想；
(2）设平移距离21D D 为x ，11AC D ?与22BC D ?重叠部分面积为y ,请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于(2）中的结论是否存在这样的x 的值；使得重叠部分的面积等于原ABC ?面积的
1
4
?若不存在，请说明理由。
10、已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点
C
B D A 图
1
1
2
2
图3
C 2
D 2
C 1B
D 1A
图2
P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移
动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两
点停止运动．设点P的运动时间为t(s），解答下列问题：
(1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y(cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
三角形面积与函数解析式的几种题型
一、利用面积求解析式
1、直线b x y +=2与坐标轴围成的三角形的面积是9，则b =________.
（分类讨论)
2、已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线经过原点，与线段AB 交于点C ，把，△AOB 的面积分为2：l 两部分，求直线名的解析式．
3、如图，已知直线PA:)0(>+=n n x y 与x 轴交于A ，与y 轴交于Q,另一条直线
x n m m x y 与)(2>+-=轴交于B ，与直线PA 交于P
求： (1）A,B,Q ，P 四点的坐标(用m 或n 表示) (2)若AB=2，且S 四边形PQOB=
6
5
，求两个函数的解析式。
4、已知直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线
b kx y +=)0(≠k 经过点)0,1(C ，且把AOB ?分成两部分
(1）若AOB ?被分成的两部分面积相等，则k 和b 的值
（2）若AOB ?被分成的两部分面积比为1：5,则k 和b 的值
5、已知一次函数3
32
y x =-
+的图象与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，直线y kx b =+经过OA 上的三分之一点D ，且交x 轴的负半轴于点C ,如果AOB DOC S S ??=,求直线y kx b =+的解析式．
二、利用解析式求面积
二次函数和三角形面积的综合
二次函数与三角形面积的综合 寻找类 1、重点：中考压轴题的重点在于寻找分析问题，解决问题的思路和方法。能应对这部分题 的关键需要熟练几部分知识点：（1）二次函数与一次函数，反比例函数的解析式（2）勾股定理（3）四边形（4）相似三角形和三角形全等（5）锐角三角函数（6）轴对称和中心对称（7）求交点的方法（8）知识的综合运用 2、难点：寻找联系是这部分内容的一个关键所在，也是一个难点。尤其是遇到二次函数与 三角形面积的综合题的解题思路。运用面积求坐标等等的合理运用，以及运用的重要因素在哪里？ 3、易错点：面积中涉及求面积的方法，坐标漏找或错找，坐标与线段长度之间的联系，坐 标在不在二次函数的图像上。这些都是在考试中容易失分的地方。 4、切入点：例如：根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联 系，尤其是正切的运用。这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求。掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了。而次部分求面积的时候要先找到点的坐标的具体位置以及如何通过面积求坐标。 5.求面积常用的方法 a.直接法b。简单的组合c。面积不变同底等高或等底等高的转换 d.相似 e.三角函数f。找面积的最大最小值利用二次函数的性质 （1）直接法若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的
的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。 此题中的三角形的面积就能直接求出。 （2）通过简单的重新组合就能求出面积。 第6题 （2009年贵州安顺市）27、（本题满分12分） 如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
最新2021学年九年级中考数学复习--二次函数中三角形面积问题教案
二次函数中三角形面积问题 教案 教学目标： 1. 掌握在平面直角坐标系中求三角形面积的两种基本方法：直接法与割补法，会用割补法把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形； 2. 会把三角形面积问题转化为线段问题，把线段问题转化为点的坐标问题； 3. 提高运算能力、分析问题与解决问题的能力，养成良好的思维习惯，规范答题； 4. 体会数形结合、转化化归、函数建模等数学思想在解题中的应用。 教学重点：求三角形面积的两种基本方法：直接法与割补法及其应用。 教学难点：理解如何进行割补，并会进行有效的割（或补），把一般位置的三角形转化为特 殊位置的三角形，会表示所割（或补）三角形的底或高。 教学过程： 一、课前预习： 1、知识与方法回顾： 在平面直角坐标系中，求下列特殊位置三角形的面积: 高底三角形面积公式：??= ?2 1 ABC S 应用条件：有一条边在坐标轴上或者平行坐标轴（特殊位置三角形）。 解题方法：直接法，即以在坐标轴上或平行坐标轴的边为底边，过另一个顶点作高，然后用 三角形面积公式直接进行求解。 2、基础训练： 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴相交于点)0,1(),0,3(B A -，与y 轴相交于点)3,0(C ，过点C 作x CD //轴交抛物线于点D 。 （1）求该抛物线的解析式； A B C D y x 图1 O C B A y O x y O x B A C y O x B A C y O x B A C
（2）连接AC 、BC ，求ABC ?的面积； 注意事项：利用点的坐标求线段（底、高）长度时，要用大的减去小的，即在x 轴上或平行x 轴的线段长度等于右边点的横坐标减去左边点的横坐标，在y 轴上或平行y 轴的线段长度等于上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标。 （3）如图2，点E （-4，-5）是抛物线上一点，求CDE ?的面积。 解题基本思路：点（坐标）——线段（底、高）——面积 二、专题复习，能力提升： 1、知识归纳提升： 在平面直角坐标系中，求一般位置三角形的面积: =?ACP S ； =?ACP S ； =?ACP S ；=?ACP S ； 教师引导学生完成，展示学生成果。 归纳小结： ①应用条件：三角形的边都不在坐标轴上，也不平行坐标轴。 ②方法：割补法，即用割（或补）的方法把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形（预 习中有边在坐标轴上或平行坐标轴的三角形），然后用直接法求两个（或几个）三角形面积之和（或差）。 ③ 关键：怎么割，如何补，才能把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形。 2、提升训练（应用）： （4）如图3，若点M 是抛物线的顶点，求ACM ?的面积。 A B C D y x 图2 F E O D A C P y x O A C P y x O D A C P y x O D A C P O y x
二次函数与相似三角形问题(含答案)
y x E Q P C B O A 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 练习1、如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 练习2、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式． （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？
练习3 、如图所示，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标． （2）过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 练习4、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点 A 在点 B 的左边） ，与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2 23y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，， （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
二次函数中三角形面积问题
二次函数中三角形面积问题 【典型例题】:如图，二次函数y=-x2+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B重合），求△ABC面积的最大值．【方法一】竖割法：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E， S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE 解：令x=0, y=3 点C的坐标为（0，3）； 令y=0, 则-x2+2x+3=0 ，解得：x1=-1 x2=3 点B的坐标为（3，0）， 设AB所在直线的解析式为y=kx+b. 求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3. 设点E的坐标为（m,-m+3) ,则点C的坐标为（m, -m2+2m+3) CE=y C-y E= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC) =1/2OB·CE =1/2×3( -m2+3m) =--3m2/2+9m/2 S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8 【方法二】割补法：连接OC，S△ABC＝S△OAC ＋S△OBC－S△OAB 解：S△ABC＝S△OAC＋S△OBC－S△OAB ＝1/2×OA·X C+1/2×OB·Y C-1/2×OA×OB ＝1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3 ＝-3m2/2+9m/2 S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8 【方法三】平移法:平移直线AB，当直线AB与抛物线只有一个交点时，此时三角形ABC的面积最大。 解：设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x2+2x+3联立方程组得：-x+b=-x2+2x+3，整理得：x2－3x+b-3=0 当Δ＝0时，b=21/4,此时的点C的坐标为（3/2,9/2)。 SΔABC=(21/4-3)×3×1/2=27/8 【举一反三】 1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E 点的坐标．
2018中考复习——二次函数和相似三角形
2018数学中考复习 ——二次函数与相似三角形 二次函数中因动点问题产生的相似三角形的解题方法一般有以下三种： 1．如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)． (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式； (2)设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE ，求证：AE=CE; (3)设抛物线与y 轴交于点D ，连接AD 交BC 于点F ， 试问以A 、B 、F ，为顶点的三角形与△ABC 相似吗请说明理由． 2、如图，已知抛物线过点A （0，6），B （2，0），C （7， 5 2 ）. 若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称. （1）求抛物线的解析式； （2）求证：∠CFE=∠AFE ； （3）在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似，若有，请求出所有合条件的点P 的坐标；若没有，请说明理由. O A B E D F C x N M
3.如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积． (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为 顶点的三角形与△BCE 相似若存在，求m 的值；若不存在，请说 明理由． 4. 如图，已知抛物线 与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点 B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点 C . ⑴点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 （用含b 的代数式表示）； ⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； ⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△ QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. 5．如图已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三 x y P O C B A
二次函数中三角形存在问题(一)
二次函数中三角形存在性问题（一） 1.等腰三角形 2.直角三角形 例一： 条件的所有点P的坐标。 （2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标。
6.二次函数）0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M 在第二象限，且经过点A （1，0）和点B （0，1）． （1）试求a ，b 所满足的关系式； （2）若点C （-3,0），试确定二次函数表达式。 （3）是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．
课后作业 1.如图，抛物线n x x y ++-=52 经过点A （1，0），与y 轴交于点B （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标. 2.如图，在平面直角坐标中抛物线322 +--=x x y 与x 轴的正半轴交于点A ，顶点为B ，点C 为AB 的中点，点D 在X 轴的负半轴上，且tan CDA= 2 1 。 （1）求C 、D 两点坐标；
3.在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°,∠ACB=30°,点A的坐标为（0,3）,B,C在x轴上,C在B的右侧。 (1)求点B和点C的坐标; (2)求经过A、B、C三点的抛物线的表达式; (3)设点M是(2)中抛物线的顶点,P、Q是抛物线上的两点,要使△MPQ为等边三角形,求点P、Q的坐标. 4.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点M在第一象限，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点 （1）求点M的坐标； （2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数与三角形
二次函数与三角形 抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何结合生成综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊图形，有以下常见的形式：（1）抛物线上的点能否构成特殊的线段； （2）抛物线上的点能否构成特殊的角； （3）抛物线上的点能否构成特殊三角形； （4）抛物线上的点能否构成全等三角形、相似三角形； 这类问题把抛物线性质和平面图形性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法。 1、如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t 为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．
2、如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接 BD． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标； （3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值． 3、已知函数2 3 2 2 y kx x =-+（k是常数）
二次函数与相似三角形问题(含答案 完美打印版)
综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．． 求得抛物线的解析式为x x 4 1y 2 +-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．． 为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
y x E Q P C B O A 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、 B 两点，交y 轴于点 C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标； （2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形并证明你的结论； （3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式． 练习1、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2253 33 y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系为什么
二次函数与相似三角形综合
第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题? 二次函数中因动点产生的相彳以三角形问题一般有三个解题途径： ①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 例题1：已知抛物线的顶点为A （2, 1）,且经过原点O,与X轴的另一个交点为B. 1 2 y = --x~ +x （1）求抛物线的解析式：（用顶点式求得抛物线的解析式为 4 ） （2）连接OA、AB.如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得二OBP与二OAB 相似？若存在，求出P点的坐标：若不存在，说明理由。 解：如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB二AOB=CABO. 若二BOP与匚A0B相似，必须有二POB = OBOA =匚BPO 设0P交抛物线的对称轴于A?点，显然AX2-1） 1 y = --x 二直线OP的解析式为2 一一x =一一x? + 由2 4 得x 1 = 0, x 2 =6 -JP(6,~3) 过P 作PE二x 轴，在RtZBEP 中,BE=2,PE=3, 二PB=厢拜. 二PB=OB,HBOP* 二BPO、 ZOPB0与匚BAO不相似， 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该 抛物线上不存在点R使得ZBOP与ZAOB相似.
例题2：如图所示，已知抛物线与兀轴交于A、B两点，与y轴交于点c. （1）求A、B、C三点的坐标. （2）过点A作APZCB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点过M作MG丄兀轴于点G, 使以A、M. G 三点为顶点的三角形与APCA相似.若存在，请求岀M点的坐标; 解：（1）令尸°,得?-1=0 解得“±1 令x=o,得〉‘=一1 二A（70）B（I，°）c（°，j） （2）匚OA=OB=OC= 1 □ ZBAC=厶ACO= ZBCO= 45 ZAPZCB, E Z PAB=45 过点P作PE丄x轴于E,则△ APE为等腰直角三角形 令OE=" > 贝iJPE=Q + l + 0 ::点p在抛物线上“+1=/_i 解得5=2,心=一1 （不合题意，舍去）二PE=3 1 1 1 「1 ———x2xl + —x2x3 = 4 二四边形ACBP的而积S = 2 A B?OC+ 2 A B?PE=2 2 (3).假设存在 二Z PAB= Z BAC =45 匚PA 丄AC ZMG丄 * 轴于点G, □ Z MGA= Z PAC = 90 在Rt 二AOC 中，OA=OC= 1 二AC=Q 在Rt 二PAE 中， AE=PE= 3 ZAP= 3^2 设M点的横坐标为m ,则M(加，m~ -1) □点M在y轴左侧时，贝0VT 图2
二次函数中的三角形问题(含答案)
二次函数中的三角形 一．与三角形面积 例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22 k y kx =+- 与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22 ++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。C 是抛物线的顶点。 （1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021
中考数学复习二次函数与三角形的面积问题
二次函数与三角形的面积问题 1.运用2 铅垂高 水平宽?= s ； 2.运用y ； 3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。 类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行 例1.已知：抛物线的顶点为D （1，-4），并经过点E （4，5），求: （1）抛物线解析式； （2）抛物线与x 轴的交点A 、B ，与y 轴交点C ； （3）求下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。 解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。求出下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。 一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适 方法求出图形的面积。 训练1.如图所示，已知抛物线()02 ≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ， B ()0,2x ()21x x <， 与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。 （1）求点A 和B 的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）求四边形ACPB 的面积。 类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀） 关于2 铅垂高 水平宽?= ?S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的 三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2 1 =?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？ 例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?；(3)是否存在一点P ，使S △P AB = 8 9S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D y ； x A B O C y P B C 铅垂高 水平宽 h a 图1 图-2 x C O y A B D 1 1
二次函数中相似三角形存在性
相似三角形的存在性（作业） 例：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为C (4，3-)，且与x 轴 的两个交点间的距离为6． （1）求二次函数的解析式； （2）在x 轴上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． x y O C B A x y O C B A 第一问：研究背景图形 【思路分析】 ①由顶点坐标C (4，3-)可知对称轴为直线_______，利用两个交点间的距离为6，再结合抛物线的对称性可知A (___，___)，B (___，___)． ②设交点式__________________，再代入坐标__________可求解出解析式__________________． 6 (4，-3) (7，0) (1，0) x y O C B A 【过程示范】 ∵顶点坐标为C (4，3-)， ∴抛物线对称轴为直线x =4， 又∵抛物线与x 轴的两个交点间的距离为6， ∴由抛物线的对称性可知：A (1，0)，B (7，0)． 设抛物线的解析式为(1)(7)y a x x =--， 分析不变特征，确定分类标准． 定点：_____________； 动点：_____________； 目标三角形： 特征：
Q 1 E x y O D C B A Q 2 x y O B A 将C (4，3-)代入可得，39 a =， ∴所求解析式为238373999 y x x = -+． 第二问：整合信息、分析特征、设计方案 【思路分析】 相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架下进行的： ①分析特征：先研究定点、动点，其中_________为定点，点__为____________________的动点；则________为目标三角形．进一步研究此三角形，发现其中________________；构造辅助线：____________________________，能够计算出∠BAC =_____°，∠ACB =________°；再考虑研究△QAB ，固定线段为______，并且由于点Q 在x 轴上方的抛物线上，所以△QAB 为______（填“钝角”或“直角”）三角形． ②画图求解：先考虑点Q 在抛物线对称轴右侧的情况，此时 ∠ABQ 为钝角，要想使△ABC 与△ABQ 相似，则需要∠ABQ = _____°，且_________．求解时，可根据∠ABQ =_____°，AB =BQ =_____来求出Q 点坐标．同理，考虑点Q 在抛物线对称轴左侧时的情况． ③结果验证：考虑点Q 还要在抛物线上，将点Q 代入抛物线解析式验证． 【过程示范】 存在点Q 使得△QAB 与△ABC 相似． 由抛物线对称性可知，AC =BC ，过点C 作CD ⊥x 轴于D ， 则AD =3，CD =3． 在Rt △ACD 中，tan ∠DAC = 3 3 ， ∴∠BAC =∠ABC =30°，∠ACB =120°． ①当△ACB ∽△ABQ 时， ∠ABQ =120°且BQ =AB =6． 过点Q 作QE ⊥x 轴，垂足为E ， 则在Rt △BQE 中，BQ =6，∠QBE =60°， ∴QE =BQ ·sin60°=3 6332 ? =，BE =3， ∴E (10，0)，Q 1(10，33)． 当x =10时，y =33， ∴点Q 1在抛物线上．
求二次函数中三角形面积最大值压轴题专题汇编
M N B C x A O y 求二次函数中三角形面积最大值压轴题专题汇编 28．（ 甘肃白银）如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ． （1）求二次函数24y ax bx =++的表达式； （2）连接,AC AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点,B C 重合），过点N 作 //NM AC ，交AB 于点M ，当AMN ?面积最大时，求N 点的坐标； （3）连接OM ，在（2）的结论下，求OM 与A C 的数量关系． 解：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入24y ax bx =++， 得：4240 64840a b a b -+=??++=? ， 1分 解得：1 4 a =-，32 b =． ∴该二次函数的表达式为 213 442 y x x =-++． 3分 （2）设点N 的坐标为（n ，0）（-2＜n ＜8）， 则2BN n =+，8CN n =-． ∵B （-2，0）, C （8，0）, ∴BC =10. 令0x =，解得：4y =， ∴点A （0，4），OA =4，
∵MN ∥AC ， ∴ 810 AM NC n AB BC -== ． 4分 ∵OA =4，BC =10， ∴1 14102022 ABC S BC OA =?=??=V ． 5分 11 22222 810ABN AMN ABN S BN OA n+n+S AM CN n , S AB CB = ?=?-===（）4=（）又V V V Q ∴2811 (8)(2)(3)51055 AMN ABN n S S n n n -= =-+=--+V V ． 6分 ∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大． 7 分 （3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点. ∴M 为AB 边中点，∴12 OM AB.= 8分 ∵AB = AC ∴12AB AC,= 9分 ∴1 4 OM AC =． 10分 24（ 海南）.抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A 和点()5,0B 。 （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线3 35 y x = + 相交于C D 、两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方。直线//PM y 轴，分别与x 轴和直线CD 交与点M N 、。 ①连结PC PD 、，如图12-1，在点P 运动过程中，PCD ?的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图12-2。是否存在点P ，使得CNQ ?与PBM ?相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。
二次函数与三角形最大面积3种求法
））））））））） 二次函数与三角形最大面积的3种求法 一．解答题（共7小题） 21．（2012?广西）已知抛物线y=ax+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由． 茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y2．（2013?轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理
由． 3．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C （5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．）． ））））））））） ，）5，0，0），C（（黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A0，4），B （1．4（2012?．x轴相交于点M抛物线的对称轴l与）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（1为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的PM、）上的一点，若以A、O、（2）设点P为抛物线（x＞5 的坐标；正整数，请你直接写出点P的面积最大？若存在，请你求NAC，使△，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N（3）连接AC N的坐标；若不存在，请说明
二次函数与相似三角形综合
第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题 二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径： 例题1：已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 （1）求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为x x 41 y 2+-=） （2）连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 解：如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,△AOB ＝△ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有△POB ＝△BOA ＝△BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) △直线OP 的解析式为x 21y -= 由 x x 41 x 212+-=- , 得6x ,0x 21== .△P(6,－3) 过P 作PE△x 轴,在Rt△BEP 中,BE ＝2,PE ＝3, △PB ＝13≠4. △PB≠OB,△△BOP≠△BPO, △△PBO 与△BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似. 例1题图 图1 O A B y x O A B y x 图2 E A' O A B P y x 图2 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ② 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③ 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
二次函数中等腰三角形的存在性
知识回顾： 1、二次函数的三种形式： 2、已知一边，求等腰三角形周长的方法： 3、等腰三角形的特点： 例题分析： 例1、如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式； （3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 例2、已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点．（1）求抛物线的函 数关系式； （2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形，并写出0P 点的坐标； （4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这 2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，其斜边AB 与x 轴重合（其中OA0，
n >0），连接DP 交BC 于点E 。①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．． 此时点E 的坐标。 ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由。 例4、如图9，抛物线2 812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于、两点（点在点的 左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角求线段OC 的长.： (2)求该抛物线的函数关系式．： (3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由 例5、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标 轴上，且点(02)A ， ，点(10)C -，，如图所示：抛物线2 2y ax ax =+-经过点B ． 图1 图2 图3
二次函数和三角形最大面积的3种求法
WORD格式整理版 二次函数与三角形最大面积的3种求法 一．解答题（共7小题） 1．（2012?广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标； （3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2013?茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标 为（3，0）． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等； （3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由． 3．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．
4．（2012?黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴； （2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 6．（2009?江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
