衡水金卷2018届全国高三大联考理科试卷及答案

衡水金卷2018届全国三大联考

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．

2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后,将答题卷交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合2

{|540}M x x x =-+≤，{|24}x

N x =>，则 ( ) A ．{|24}M N x x =<

D ．{|2}M N x x =>U

2. 记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221

i

z i i =--（i 为虚数单位），则Im()z 为( ) A ．2 B ．-3 C ．3i - D ．3

3. 已知曲线32()3f x x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则22

2

sin cos 2sin cos cos αα

ααα

-=+( ) A ．

12 B ．2 C ．35 D ． 3

8

- 4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A ．27265mm π B ．236310mm π C.23635mm π D ．236320

mm π

5. 已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线经过圆E ：22240x y x y +-+=的圆心，则双曲线C 的离心

率为( )

A ．5

B ．

5

C.2 D ．2 6. 已知数列{}n a 为等比数列，且2

234764a a a a =-=-，则46

tan(

)3

a a π?=( ) A ．3- B ．3 C.3± D ．3- 7. 执行如图的程序框图，若输出的S 的值为-10，则①中应填( )

A ．19?n <

B ．18?n ≥ C. 19?n ≥ D ．20?n ≥

8.已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，2()1cos f x e m x =-++，记2(2)a f =--，(1)b f =--，

3(3)c f =，则a ，b ，c 间的大小关系是( )

A ．b a c <<

B ．a c b << C.c b a << D ．c a b <<

9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )

A ．

23π+ B ．12π+ C.26π+ D ．23

π

+ 10. 已知函数()2sin()(0,[

,])2f x x π

ω?ω?π=+<∈的部分图象如图所示，其中5

||2

MN =

.记命题p ：

5()2sin()36f x x ππ=+，命题q ：将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数22sin()33

y x ππ

=+的图象.则以

下判断正确的是( )

A.p q ∧为真

B.p q ∨为假

C.()p q ?∨为真

D.()p q ∧?为真

11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物

线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从

点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ?的周长为 ( )

A ．

712612+ B ．926+ C. 910+ D ．83

2612

+ 12.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2*

63,n n S a a n N =+∈，12

(21)(21)

n

n n a n a a b +=

--，

若*

,n n N k T ?∈>恒成立，则k 的最小值是( ) A ．71 B ．149 C. 49 D ．8

441

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每题5分.

13.已知在ABC ?中，||||BC AB CB =-u u u r u u u r u u u r ，(1,2)AB =u u u r

，若边AB 的中点D 的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(,2)t ，

则t = ． 14. 已知*1()()2n

x n N x

-

∈的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则64p q +的最小值为 ．

15. 已知x ，y 满足3,,60,

x y t x y π+≤???

≥??≥??其中2t π>，若sin()x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围

为 ．

16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ．

三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数2

1

()cos 3sin()cos()2

f x x x x ππ=+-+-

，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；

（Ⅱ）在锐角ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，sin sin b C a A =，

求ABC ?的面积.

18. 如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//,CD AB BC AB ⊥，侧面ABE ⊥平面ABCD ，

且222AB AE BE BC CD =====，动点F 在棱AE 上，且EF FA λ=. （1）试探究λ的值，使//CE 平面BDF ，并给予证明； （2）当1λ=时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值.

19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）

（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率

②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.

参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

参考数据：

20()P K k ≥

0.050 0.010 0.001 0k

3.841

6.635

10.828

20. 已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为点1F ，2F ，其离心率为12，短轴长为23（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且12//l l ，证明：

四边形MNPQ 不可能是菱形.

21. 已知函数，()(1)(,)x f x e a x b a b R =-+-∈其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性及极值；

（Ⅱ）若不等式()0f x ≥在x R ∈内恒成立，求证：(1)3

24

b a +<.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,

sin x t y αα=??=?

（0t >，α为参数）.以坐标原点O 为极点，x

轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l

sin()34

π

θ+=.

（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围.

23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21|1|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≤；

（Ⅱ）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2

3

13t t t

+≥

+.

衡水金卷2018届全国高三大联考

理科参考答案及评分细则

一、选择题

1-5: CBCBA 6-10:ACDAD 11、12：BB

二、填空题

13. 1 14. 16 15. 57[

,]66

ππ

16. 2482ππ- 三、解答题

17. 解：（1）原式可化为，

2

1()cos 3sin cos 2

f x x x =--，

1cos 231

sin 222

x x +=

--， sin(2)sin(2)66

x x ππ

=-=--， 故其最小正周期22

T π

π==，

令2()62x k k Z π

π

π-

=

+∈，

解得()23

k x k Z ππ

=+∈，

即函数()f x 图象的对称轴方程为，

()23

k x k Z ππ

=

+∈. （2）由（1），知()sin(2)6

f x x π

=--

，

因为02A π<<，所以52666

A ππ

π-<-<.

又()sin(2)16

f A A π

=--=-，

故得26

2

A π

π

-

=

，解得3

A π

=

.

由正弦定理及sin sin b C a A =，得2

9bc a ==. 故193sin 2ABC S bc A ?=

=. 18.（1）当1

2

λ=

时，//CE 平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵//,2CD AB AB CD =，

∴

1

2

CG CD GA AB ==. ∵12EF FA =，∴1

2

EF CG FA GA ==.

∴//GF CE .

又∵CE ?平面BDF ，GF ?平面BDF ， ∴//CE 平面BDF .

（2）取AB 的中点O ,连接EO . 则EO AB ⊥.

∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE I 平面ABCD AB =，且EO AB ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD .

∵//BO CD ，且1BO CD ==，

∴四边形BODC 为平行四边形，∴//BC DO . 又∵BC AB ⊥，∴//AB DO .

由,,OA OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .

则(0,0,0)O ，(0,1,0)A ，(0,1,0)B -，(1,0,0)D ，(1,1,0)C -，3)E .

当1λ=时，有EF FA =u u u r u u u r

，

∴可得13

(0,)2F . ∴(1,1,0)BD =u u u r ，(3)CE =-u u u r ，33

(1,,22BF =u u u r . 设平面BDF 的一个法向量为(,,)n x y z =r

，

则有0,0,n BD n BF ??=???=??r u u u r r u u u r 即0,33

0,22

x y y z +=???+

=?? 令3z =

，得1y =-，1x =.

即(1,1,3)n =-r

.

设CE 与平面BDF 所成的角为θ，

则sin |cos |CE n θ==

u u u r r 1

555

=?. ∴当1λ=时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为1

5

. 19.解：（1）由列联表可知2

K 的观测值，

2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2

200(50405060) 2.020 2.07211090100100

?-?=≈

所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有60

53100

?=（人）

， 偶尔或不用网络外卖的有40

52100

?

=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为213

32333

557

10

C C C P C C =+=. ②由22?列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为11011

20020

=

， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得11

~(10,

)20X B ， 所以1111()10202E X =?

=； 11999

()10202040

D X =??=.

20. 解：（1）由已知，得1

2

c a =，3b =，

又2

2

2

c a b =-，

故解得22

4,3a b ==，

所以椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=. （2）由（1），知1(1,0)F -，如图，

易知直线MN 不能平行于x 轴. 所以令直线MN 的方程为1x my =-，

11(,)M x y ，22(,)N x y .

联立方程2234120,

1,x y x my ?+-=?=-?

，

得2

2

(34)690m y my +--=， 所以122634m y y m +=

+，122

9

34

y y m -=+. 此时2

2

1212(1)[()]MN m y y y y =++- 同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，

33(,)P x y ，44(,)Q x y ，

此时342634m y y m -+=

+，34

29

34

y y m -=+， 此时2

2

3434(1)[()4]PQ m y y y y =++-. 故||||MN PQ =.

所以四边形MNPQ 是平行四边形.

若MNPQ Y 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ?=u u u u r u u u r

，

于是有12120x x y y +=.

又1212(1)(1)x x my my =--，

21212()1m y y m y y =-++，

所以有2

1212(1)()10m y y m y y +-++=，

整理得到22

125

034

m m --=+， 即2

1250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解，

故四边形MNPQ 不可能是菱形.

21.解：（1）由题意得'()(1)x

f x e a =-+.

当10a +≤，即1a ≤-时，'()0f x >，()f x 在R 内单调递增，没有极值. 当10a +>，即1a >-， 令'()0f x =，得ln(1)x a =+，

当ln(1)x a <+时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln(1)x a >+时，'()0f x >，()f x 单调递增，

故当ln(1)x a =+时，()f x 取得最小值(ln(1))1(1)ln(1)f a a b a a +=+--++，无极大值. 综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；

当1a >-时，()f x 在区间(,ln(1))a -∞+内单调递减，在区间(ln(1),)a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为

1(1)ln(1)a b a a +--++，无极大值.

（2）由（1），知当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，

当1a =-时，

(1)3

024

b a +=<成立. 当1a <-时，令

c 为1-和11b

a -+中较小的数，

所以1c ≤-，且11b

c a

-≤+.

则1

x e e -≤，(1)(1)a c b -+≤--+.

所以1

()(1)(1)0x

f c e a c b e b b -=-+-≤---<，

与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.

当1a >-时，min ()(ln(1))f x f a =+=1(1)ln(1)0a b a a +--++≥， 即1(1)ln(1)a a a b +-++≥，

所以2

2

(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++. 令2

2

()ln (0)g x x x x x =->，

则'()(12ln )g x x x =-.

令'()0g x >

，得0x <<

令'()0g x <

，得x >

故()g x

在区间内单调递增，

在区间)+∞内单调递减.

故max ()2

e

g x g e e ==-=，

即当11a a +=

?=时，max ()2

e g x =

. 所以2

2

(1)(1)(1)ln(1)2

e a b a a a +≤+-++≤. 所以

(1)24b a e

+≤. 而3e <， 所以

(1)3

24

b a +<. 22.解：（1）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=. 曲线C 上的点到直线l 的距离，

d =

=|)3|

π

α+-

当sin()14

π

α+

=-

时，max 22d +=

=

， 即曲线C 上的点到直线l

的距离的最大值为

22

+.

（2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方， ∴对R α?∈，有cos sin 30t αα+-<恒成立， 即21cos()3t α?+-<（其中1

tan t

?=）恒成立， ∴213t +<.

又0t >，∴解得022t <<， ∴实数t 的取值范围为(0,22).

23.解：（1）依题意，得3,1,1()2,1,213,,2

x x f x x x x x ?

?-≤-?

?

=--<

?≥??

于是得1,

()333,x f x x ≤-?≤??-≤?

或11,223,x x ?-<

x x ?

≥???≤? 解得11x -≤≤.

即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.

（2）()()|1|g x f x x =++=|21||22|x x -++≥|2122|3x x ---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号， ∴[3,)M =+∞.

原不等式等价于2

3

31t t t

-+-

， 22233(3)(1)t t t t t t t

-+--+==.

∵t M ∈，∴30t -≥，2

10t +>.

∴

2(3)(1)

0t t t

-+≥. ∴2

3

13t t t

+≥+.