高数微积分习题解答模板.

习题3-1

1、计算下列第二类曲线积分：

（1）?

-L

dx y x ,)(2

2L 为抛物线x y =2

上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；

（2）

,)()(22?+--+L

y x dy y x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆2

22a y x =+；（3）

++L

xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到t=2π的

有向弧段;

（4）

?-+++L

dz y x ydy xdx ,)1(L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；

（5）,?

dl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针

方向；

（6）?

dl F ,其中2

1y x xe ye F +-=

，L 按逆时针方向饶行的圆t a y t a x sin ,cos ==.

解（1）化为对x 的定积分，L: x y =2

，x 从0到2，所以

?-L

dx y x )(22=1556)5131()(20534202-=-=-?x x dx x x （2）圆周的参数方程为：t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t

?+--+L

y x dy

y x dx y x 22)()( =

--+π

202)sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1

t a d t a t a t a d t a t a a =dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1202?---+π

=ππ

2120

22-=-?

dt a a

（3）L 的参数方程为：bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，t 从0到2π，所以

++L

xdz zdy ydx =)(cos )sin ()cos (sin 20

t b td a t a btd t a td a ?++π

220

22)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ

-=++-?

（4）直线的参数方程为：)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入

?-+++L dz y x ydy xdx )1(

-+++++++10)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t =

1376)146(1

=+=+?dt t

（5）三条直线段的方程分别为

y=0,x 从0到1； x=1,y 从0到1； y=x,x 从1到0. 所以 ??L

dl F =?

--L

xdy ydx

???

-+-+-=

1xdx xdx dy

21)sin (cos )cos (sin )6(20

22022

22022-=-=-=+-+=???

??dt t a d a

a t a d a t a dy y x x

dx y x y dl

F L

2、一力场由以横轴正向为方向的常力F 构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周

222R y x =+按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.

解：由题意知，场力所作的功为

dx F W L

L: 2

22R y x =+,x 从R 变到0，于是，w=

R F dx F dx F R

-==??

3、有一平面力场F ，大小等于点（x,y ）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量

的质点P 沿椭圆122

22=+b

y a x 逆时针方向绕行一周，力F 所作的功.

解：),(y x F --=

椭圆122

22=+b

y a x 的参数方程为：t b y t a x sin ,cos ==，t 从0到2π

所以，

sin 2

cos )

sin (sin )cos (cos 20

220

=--=?=??π

t b t a t db t b t da t a dl F W L

4、有一力场F ，其力的大小与力的作用点到xoy 平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线)0(,,≠===c ct z bt y at x 从点),,(c b a 移动到)2,2,2(c b a 时，该场力所作的功.

解：),,(222222222z

y x z z y x y z y x x z k F ++-++-++-=

直线的参数方程为：)0(,,≠===c ct z bt y at x ，t 从1到2

所以，

c b a k dt

c t b t a t c k

t c t b t a dl F W L

2ln ))

222

2222++-

=++---=?=??

习题3-2答案

1、解：记S 在x>0一侧为1S ，在x<0一侧为2S ，在z=h 上的部分为3S ，在z=0上的部分

为4S ，在y>0一侧为5S ，在y<0一侧为6S ，则由题有

??????????????????--=-=-=-=???

?-+----+-=+++++=+++=r

D D D S S s s s s hr dy y r h dz

y r dy dydz

y r dydz y r y

y y r zdxdy

ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz xdydz xdydz xdydz xdydz Q yz yz yz 2

220

22222222222

1222)(2

hr dxdy h zdxdy zdxdy

ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz zdxdy zdxdy zdxdy zdxdy Q xy

D D S S s s s s π===

+++++=+++=??

??????????????

同理可得：??+==

3S S hr

ydzdx Q π

2、解：（1）由题S y x R z S ,222---=：在xoy 面上的投影区域222:R y x D xy ≤+，

()

20257022520

222252

22222222222105

2cos sin 42sin 41sin cos R tdt t R dr

r R r dr

r R r d dxdy y x R y x dxdy y x R y x zdxdy y x R R

D D S

ππθθθθπππ==-=-=--=

----=∴???????

????

（2）

()22

222

2e e dr e d dxdy y x e

dxdy y x e

r D y x S

-==+=

+????

+πθπ

（3）将S 分成1s 和2s ，其中1S ：z=h ，2

h y x ≤+取上侧，

2s ：22y x z +=，h z ≤≤0x>0取下侧

则

??????????????=+=∴=-++-?

-+++-?+--==-=s

s s s s s D dxdy

y x y

x y x y x y

x x y x y dxdy y x xy

)]()()[(,0)(2

222

22(4)记S 在z=0上的部分为1S ，在x=0上的部分为2S ,在y=0上的部分为3S ,在12

2=+y x 上的部分为4S ,在2

y x z +=上的部分为5S .有

2222

=++=++=++??????S S S ydzdx x xzdydz zdxdy y ydzdx

x xzdydz zdxdy y ydzdx x xzdydz zdxdy y

.1631111102

222

102

4π=???

? ??-+-=???

? ??-+-=++??????dz x x x z x dx dxdz x x x z x ydzdx x xzdydz zdxdy y xz D S

23213hr Q Q Q Q π=++=∴

()()()()()

()

1616316

)]cos 1(cos 3cos 2[sin cos sin 3cos 2sin 32222

2244510

224452

244

22222

2225

ππππ

θθθθθθθθθθθπ

=-=

∴-

=---=--=--=

-+-+++=++??????????原式d r d dr

r d dxdy y x x y

dxdy

y y x x y x x y x

y ydzdx x xzdydz zdxdy y xy

D D S

3、解：（1）

233y x z --

= 3

11cos ,52

1cos ,531cos ,3651,33,232222222

=???? ????+??? ????+==?

? ????+??? ????+??-

==???? ????+??? ????+??-=

=???

????+??? ????+-=??-=??y z x z y z x z y

z y z x z x

y z x z y z x z γβα 原式=()???????

++=++S

dS R Q P dS R Q P 532

3cos cos cos γβα. （2）

,2,2y y

x x z -=??-=??

441111cos 44121cos 44121cos y x y z x z y

x y y z x z y z y x x y z x z x

z ++=

????+??? ????+=

++=

????+??? ????+??-=

++=

????+??? ????+??-

γβα

原式=

()????++++=++S

dS y

x R

yQ xP dS R Q P 2

244122cos cos cos γβα

§3-3格林公式及其应用 1．

(1) y

e x Q y x P -=-=,2

，

1,1=??-=??x

Q y p ，πab dxdy y

x Q D

2)(

=??-??=??故原式 (2) )2(,)1(--=+=y x Q y x P ,

y x

Q x y p -=??+=??2,1 , ????-=--=??-??=y

D dx y x dy dxdy y P x Q 10

061

)1()(

故原式（3）)(,)(2

y x Q y x P +-=+=，

x x

y x y p 2),(2-=??+=?? ?????--=--+-=--??-??=1

010

130

311)3()24()(y

D y dx y x dy dy y dxdy y P x Q 故原式

（4）)sin (),cos 1(y y e Q y e P x

--=-=，

)sin (,sin y y e x

y e y p x x --=??=?? 而在以)0,(π为起点)0,0(为终点的直线上?

=---)

0,0()

0,(0)sin ()cos 1(πdy y y e dx y e x x

所以原式

)

1(51]202sin 22cos 41[sin 21

]sin )sin ([0

2sin 0

ππ

e e x e x e dx

e x ydy dx

e dxdy y e y y e x

x D

x x x

x -=?+?+-=?-=-=---=?????

2．42

56,4y y x

Q xy x P -=+=-λ，

222)1(6,12--=??=??λλx y x

xy y p 因为积分与路径无关，所以

y p ??=??,得3=λ ???-

=-+=-++)

2,1()

0,0(1

424

345

79)56()56()4(dy y y dx x dy y y x dx xy x 3.(1)y x Q y x p +=+=2,2

Q y p ??==??2，是二元函数u(x,y)(的全微分. y x p x u 2+==??由

，得)(22

)2(),(2y xy x dx y x y x u ?++=+=? y y y x Q y

u y x y u =+==??+=??)('2)('2??得，及由

C y y +=

221)(?，故C y xy x y x u +++=222

221),(

(2)

x y Q x y x p 2cos 3cos 3,cos 3sin sin 4-==

y x x y p ??==??3cos cos sin 12，是二元函数u(x,y)(的全微分.

y x p x

3sin 2sin 2==??由

，得)(2cos 3sin )3sin 2sin 2(),(y x y dx y x y x u ?+-==? 0)('2cos 3cos 3)('2cos 3cos 3=-==??+-=??y x y Q y

u y x y y u ??得，及由

C y =)(?，故C x y y x u +-=2cos 3sin ),(

(3) y x x y Q x y y x p sin cos 2,sin cos 22

-=-= x

x y y x y p ??=--=??sin 2sin 2，是二元函数u(x,y)(的全微分.

x y y x p x

sin cos 22-==??由

，得

)(cos cos )sin cos 2(),(222y x y y x dx x y y x y x u ?++=-=?

0)('sin cos 2)('cos 2sin 22=-==??++-=??y y x x y Q y

u y x y y x y u ??得，及由

C y =)(?，故C x y y x y x u ++=cos cos ),(22

(4)

x Q x y p 1,2-

x Q x y p

??==??2

1，是二元函数u(x,y)(的全微分. 2x y p x u ==??由

，得)(),(2y x

dx x y y x u ?+-==? 0)('1)('1=-==??+-=??y x

Q y u y x y u ??得，及由

C y =)(?，故C x

y x u +-=),(

4．（1）

222246,63y y x Q xy x P +=+=

Q xy y P ??==??12,故为全微分方程。 )(3)63(),(,632232222y y x x dx xy x y x u xy x P x

?++=+=+==???得由

2'22'24)(46)(6y y y y x Q y u y y x y u =+==??+=????得及由

，故C y y +=33

4)(? 通解为C y y x x =++3

43 （2）

y xe Q e P y y 2,-==

Q e y P y ??==??,故为全微分方程。 )(),(,y xe dx e y x u e P x

y y y ?+====???得由

y y y xe Q y

u y xe y u y y 2)(2)(''-=-==??+=????得及由

，故C y y +-=2)(? 通解为C y xe y

=-2

θθρ222,1e Q e P =+=

ρθθ??==??Q

e P 22,故为全微分方程。 )()1(),(,1222θ?ρρρθρρ

θθθ++=+=+==???e d e u e P u

得由

0)(2)(2'2'2===??+=??θ?ρθ

θ?ρθθθ得及由

e Q u e u ，故C =)(θ? 通解为C e =+)1(2θ

ρ （4）

2),2(x Q y x y P -=-=

x x

Q y x y P 2,4-=??-=??,故不是全微分方程。 §3-4高斯公式和斯托克斯公式 1 （1）原式=

dxdydz z

R y Q x P )(

??+??+?????Ω

=dxdydz z y x )(3

222++???Ω

=ρρ??θ

ππ

d d d a

???-

sin 3 =

12a π （2）原式=dxdydz z

R y Q x P )(

??+??+?????Ω

dxdydz x

)1(2

+???Ω

dx x bc 0

)1(

=abc bc a +3

原式=

dxdydz z

R y Q x P )(

??+??+?????Ω

=dxdydz xz z y )(2

???Ω++

=dx xz z y dy

dz y ??

?-++2

)(2

=rdr z r z r d dz ?

??++1

)cos sin (2θθθπ

= π2

3 （4）原式=

dxdydz z

R y Q x P )(

??+??+?????Ω

=???Ωdxdydz 3

2R π （5）原式=??????++-??+??+??Ω'

)()(

S Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P =

dxdy zx dxdydz x x x S ??????+-+-Ω

4)484(

=???S

e dydz xdx

=22)1(2a e a

π-

2.解:(1)圆周事实上就是xoy 面上的圆92

2=+y x ,取∑为圆域

922≤+y x 的上侧,

???????∑∑===??????=-+XY

D L dxdy dxdy z

x y z y x dxdy

dzdx dydz dz z xdy ydx π932322

(2) 取∑为平面0=++z y x 被L 所围成的部分的上侧, ∑的面积为∑,2

a π的单位法向量为{}?????

?==31,

1cos ,cos ,cos γβαn , ()()()?????

∑∑

==+++??

????=+++++0031

3131

ds y

x x

z z

y z y x dz y x dy x z dx z y L

解:()

()?????∑∑

+-+=-??

????=+-L dxdy z dydz x z yz

xz y z y x dxdy dzdx dydz dz yz xzdy ydx 33322

其中∑为平面z=2被L 所围成的部分的上侧,因为∑在yoz 面上的投影区域为线段,所以

()

??∑=+02

dydz x z

,又∑在xoy 面上的投影区域为422≤+y x ,所以

()()????

∑

-=?-=+-=

+-xy

D dxdy dxdy z ππ20253232

, ?-=+-∴L

dz yz xzdy ydx π2032

习题3—5

1．解：（1）xy z R xz y Q yz x P +=+=+=2

,,， )(2222z y x z y x z

R y Q x P divA ++=++=??+??+??=

， 10)3,1,1(=∴divA

（2）()()2

cos ,cos ,xz

R xy Q e P xy

===，

()()

2sin 2sin xz xz xy x ye z

R y Q x P divA xy --=??+??+??=

， 0)1,0,0(=∴divA

（3）xz R xy Q y P ===,,2

，

x x x z

R y Q x P divA 20=++=??+??+??=

， 2)3,2,1(=∴divA 。

2．证明：场力沿路径L 所作的功为?

ydy r

k xdx r k W 33，要证明场力所作的功与所取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x>0是单连通域。 y r

Q x r k P 3

3,-=-

=在该区域具有一阶连续偏导数，另外y R xy r k x Q ??==??53，所以上面的积分与路径无关，因而结论正确。

3．解：（1）0=??

????

zx yz z y x k j i

rotA （2）()()()k zx yz j yz xy i xy xz xyz

xyz

z y x k j i rotA -+-+-=??

????

（3）j i y x z y z z y x k j i rotA +=+-+??

??=

cos sin （4）

()()

()()[

]()()[]

y x xz z y j z y i xz xy z x z xy xz y y

x z

y x k j i rotA cos cos cos sin cos cos sin cos sin sin sin 22222-+--=??????

4．证明：（1）0cos 2,sin cos 222

=-??

-??=sixy

x x y y

j x y y x x i

rotA

所以A 为有势场

()()

()

(

)

y x x y dy y x x y dx x b b x y x H x

++=-+-=??cos cos sin cos 2sin cos 2,2

222

（2）0sin )cos()

cos(=??

????

xy x xy y z y x k j i rotA

所以A 为有势场 ()c

z xy zdz

dy xy x dx bx b z y x H x

a y

b z

c +-=++=???cos )sin(sin )cos()cos(,,