四年级奥数教程第6讲：利用等差规律
七级新题型规律问题之等差数列
七年级新题型等差数列 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法: 通过日常生活中实际问题分析，引导学生观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念； 由学生建立等差数列模型，用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中。 通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳转化为数学问题的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 （四）教学设想 [创设情景] 在以前的学习中我们了解了数列的相关知识。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： 在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
六年级奥数第4-6讲(等差数列-等比数列-找规律填数)
知识导航： 把数列的第1项记为1a ，第2项记为2a ，……第n 项记为n a ，相邻两项的差（常数）记为d ，则有d a a +=12；d a d a a 2123+=+=；d a d a d a a 321234+=+=+=；……d n a a n )1(1-+= 2)1(2)(11321÷-?+?=÷+?=+???+++=d n n a n a a n a a a a s n n n 1、在???、、、、、14 5114835221这一列数中的第8个数是 2、观察规律填写第五、第六个数：1、4、7、10、 、 。 3、在8与36之间插入6个数，使它们同这两个数成等差数列。 4、已知一个等差数列的首项为5，公差是2，那么它的第10项、第15项各是多少？ 5、梯子的最高一级宽32cm ，最低一级宽110cm ，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，计算当中一级的宽。
知识导航： 把数列的第1项记为1a ，第2项记为2a ，……第n 项记为n a ，相邻两项的比记为q ，则有q a a 12=；2123q a q a a ==；3134q a q a a ==；……11-=n n q a a q q a q a q a a a a a s n n n n --=-?-=+???+++=1)1(111321 1、根据规律填空：3、5、9、17、 、65。 2、观察算式，填入括号内 19=1×9+（1+9）；29=2×9+（2+9）；39=3×9+（3+9）； 那么1289= =N ×9+（N+9） 3、在一列数2，2，4，8，2，…中，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的乘积的个位数字。按这个规律，这列数中的第2004个数是 。 4、根据下列数字排列规律写出第6个数：2，3，29，4 27，…。 找规律填数
四年级下册数学试题-奥数培优：利用等差规律计算(含答案)全国通用
课 题 利用等差规律计算【精品】 教学内容 在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题在三年级我们已介绍过高斯的故事，他之所以算 得快，算得正确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和规律． 1+2+3+---+98+99+100 50101 =1+100+2+99++50+51 1444442444443共（）（）（） = 101×50, 即 (100 +1)×(100÷2)=101×50=5050. 按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫 第一项，又叫首项；第二个数叫第二项……最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差．如： 1，2，3，4．…是等差数列，公差为l ； l ，3，5，7，…是等差数列，公差为2； 5，10，15，20，…是等差数列，公差为5． 由高斯的巧算可知，在等差数列中，有如下规律： 项数=（末项首项）÷公差+1 第几项=首项+（项-1）×公差 总和=（首项十末项）×项数÷2 本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值，我们要求同学们注意灵活应用这三个公式 计算下面各题： (1) 2+5+8+…+23+26+29; (2)(2+4+6+...+100) - (1+3+5+ (99) 解(1)这是一个公差为3、首项为2、末项为29、项数为(29 -2) ÷3+1=10的等差数列求和，
原式= (2+29)×10÷2=31×10÷2=155. (2)解法一 原式=(2+100)×50÷2-(1+99)×50÷2 =2550 - 2500=50, 解法二 原式= (2-1)+(4-3)+(6-5)+…+（100 - 99） =l×50= 50. 两种解法相比较，解法一直接套公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+…+1”，因而解得更巧、更好 计算：l÷2010 +2÷2010 +3÷2010 +…+2008÷2010+2009÷2010+ 2010÷2010 如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难，由于除数都相同，被除数组成一个等差数列： 1，2，3，4，…，2008，2009，2010. 所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商 解原式= (1+1+2+3+…+2009+2010)÷2010 = (1- 2010)×2010÷2÷2010 =1000. 5 此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化计算中又应用乘除混合运算的简化运算．使整个解答显得简捷明快。 计算： （1）1+3+5+…+197+199 （2）81+79+---+13+11; （3）1- 2+3 - 4+5 - 6+…+ 2009 - 2010 +2011. 你做对了吗？ 答案：（1）10000 （2）1656 （3）1006
小学奥数计算专题之等差数列
小学奥数计算专题之等差数列习题 一、下面一列数是按照下列规律排列的：3,12,21,30,39,48，... （1）第23个数是多少？（2）912是第几个数？ 二、数列3,6,9,12,15,18，...，300,303是一个等差数列，153是第几个数？这个等差数列中所有数的和是？ 三、1到100各数，所有不能被6整除的自然数的和是？ 四、求2+3+7+9+12+15+17+21+22+27+27+33+32+39+37+45为多少？ 五、一串数按下述规律排列：1,2,3,2,3,4,3,4,5,4，5,6，... 从左边第一个数起到第180个数，这180个数的和是多少？
参考答案 一、（1）3+（23-1）×9=201 （2）（912-3）÷9+1=102 二、（1）（153-3）÷3+1=51 （2）项数：（303-3）÷3+1=151 和：（3+303）×151 ÷2=23103 三、1+2+3+...+100=（1+100）×100÷2=5050 能被6整除：6+12+...+96 项数：（96-6）÷6+1=16 6+12+...+96=（6+96）×16÷2=816 不能被6整除的：5050-816=4234 四、分成两个数列： 2+7+12+17+22+27+32+37=（2+37）×8÷2=156 3+9+15+21+27+33+39+45=（3+45）×8÷2=192 所以结果为156+192=348 五、每三个数为一组，称为一个等差数列 180÷3=60，所以最后一组三个数为：60,61,62 新的等差数列为：6,9,12，...，183 和为：（6+183）×60÷2=5670
等差数列及规律性问题
等差数列公式： 一、求和 1．(首项＋尾项)×项数÷2 2．中间数×项数→仅限项数是单数 二、求项数 (尾项－首项)÷公差＋1 三、求任意项(尾项) 尾项＝首项＋(项数－1)×公差 四、求任意两项之差 a m －a n ＝(m －n )×d 1＋4＋7＋ (301) 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了1个，第二只摘2个，第三只摘3个，依此类推后面的小猴比都它前面那只多摘1个野果，最后它们平均每只小猴分得9个野果，这群小猴共有多少只？ (2006年第四届“小机灵杯”四年级第6题)工作9天后，农民王伯伯共挣得135元，其中每一天所挣得都比前一天多3元，他最后一天挣了多少元？ 在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列，总分为609，东东发现自己的分数算少了，找老师更正后，加了21分，这时他们的成绩还是一个等差数列。请问：东东正确的分数是多少？ 例4 例3 例2 例1 等差数列及规律性问题
例5 请你观察下图的规律求出1所在的那一行第2011个数是几。 10 …… 5 11 …… 2 6 12 …… 1 3 7 13 …… 4 8 14 …… 9 15 …… 16 …… 例6 请你观察下图的规律指出这个表格第15行第2个数是几。1 2 4 5 7 9 10 12 14 16 17 19 21 23 25 ………………
测试题 1．计算：2＋6＋10＋…＋398的结果等于( ) A．19996 B．20000 C．20004 D．200000 2．小红有个十分有趣的习惯——撕日历，每天早上起床她都要把前一天的日历撕掉，今年八月妈妈带她出去旅游了5天，回来后她迫不及待地撕掉了连续的5页日历，这五页上面的日期和是100.小朋友们你知道她是几号旅游归来的吗？ A．22 B．23 C．21 D．20 3．王芳大学毕业找工作，她找了两家公司，都要求签订工作5年的合同，年薪开始都是1万元，但两个公司加薪方式不同。甲公司承诺每年加薪1000元，乙公司承诺每半年加薪300元。以5年计算，王芳应聘哪家公司收入更高？( ) A．甲B．乙C．一样高 D．无法比较 4．请你观察下图的规律，1所在的那一行第2008个数是( )。 10 …… 5 11 …… 2 6 12 …… 1 3 7 13 …… 4 8 14 …… 9 15 …… 16 …… A．4034073 B．4036081 C．4030056 D．4030057 5．请你观察下图的规律指出这个表格第20行第2个数是几。 1 2 4 5 7 9 10 12 14 16 17 19 21 23 25 ……………… A．400 B．364 C．404 D．362 6．下面数列的规律是什么？请你找到规律后指出第20个数是( )。 1，203，202，1，201，200，1，199，198…… A．189 B．190 C．191 D．192
计算等差数列混合练习题
周一 类型一：（直接利用乘法分配律） 76.3×27－76.3×17 15×23＋35×23 63×43＋57×63 93×72＋93×7 5 325×113－325×13 2.8×48－8×2.8 177171123?+? 215 2-52101?? 类型二：（提示：把102看作100＋2；81看作80＋1，再用乘法分配律） 69×102 56×101 52×102 125×81 25×42 类型三：（提示：把99看作100－1；39看作40－1，再用乘法分配律） 31×99 42×98 85×98 125×79 25×39
类型四：（提示：把83看作83×1，再用乘法分配律） 83＋83×99 5.6＋5.6×99 75×101－75 91×31－91 65-6531? 359 5 95?+ 周二 计算：① 3.2×（1.5+2.5）÷1.6 ② 6.5×（4.8-1.2×4） ③ 120-36×4÷18+35 ④（3.2×1.5+2.5）÷1.6 ⑤ 0.12×4.8÷0.12×48 ⑥（58+37）÷（64-9×5）
⑦ 21111-229÷ ⑧ 138 10313713813735?+? ⑧ 5600÷（28÷6） ⑨ 1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6) 周三 类型一：连除等于除以它们的积A ÷B ÷C=A ÷(B ×C) 例：420÷35=420÷7÷5=60÷5=12 1. 根据规律填空使等式成立① 2000÷125÷8=2000÷（___×___） ② 500÷25÷0.4=500÷(___×___) ③ 360÷24=360÷____÷____ ④ 860÷(86×0.4)=860÷____÷____ 2.计算 (126×56)÷(7×18) 84.5÷12.5÷8 8.376÷ 3.2÷2.5 类型二：除以一个数等于乘以这个数的倒数 3.计算 5 9 5491474371353251÷+÷+÷ 765×213÷27＋765×327÷27
四年级奥数教程第6讲：利用等差规律计算
四年级奥数教程第6讲：利用等差规律计算若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到三个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”跟求总和公式。 求总和公式:总和=（首项+末项）×项数÷2 第几项公式：第几项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 【例题1】有一个数列：4，10，16，22，…，52.这个数列共有多少项？ 项数=（末项－首项）÷公差＋1 =（52-4）÷6+1 =48÷6+1 =9 【思路】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 【练习1】 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 项数=（末项－首项）÷公差＋1 =（39-1）÷2+1 =38÷2+1 =20 2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 项数=（末项－首项）÷公差＋1 =（101-2）÷3+1 =99÷3+1 =34
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 项数=（末项－首项）÷公差＋1 =（1001-11）÷5+1 =990÷5+1 = 【例题2】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 第几项=首项+（项数－1）×公差 =3+（100-1）×4 =3+99×4 =399 【思路】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。 第100项=3+4×（100－1）=399. 【练习2】 1.一个等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 第几项=首项+（项数－1）×公差 =3+（10-1）×2 =3+9×2 =21 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 第几项=首项+（项数－1）×公差 =1+（30-1）×3 =1+29×3 =88 3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。 第几项=首项+（项数－1）×公差 =2+（100-1）×4 =2+99×4 =398
等差数列计算题
等差数列计算题 等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051= ++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101++++ +++=++++ +++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+?÷=?= (2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 譬如：① 48123236436922091800+++++=+?÷=?=（）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=（）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?． 【例 1】 用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？ ⑴3456767778+++++++= ⑵13578799++++++= 例题精讲 知识点拨
四年级奥数教程第6讲：利用等差规律来计算
第六讲等差数列 【例题精讲】 例1 计算下面各题： （1）2+5+8+…+23+26+29； （2）（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）。 解（1）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数为（29-2）÷3+1=10的等差数列求和。 原式=（2+29）×10÷2=31×10÷2=155 （2）解法一：原式=（2+100）×50÷2-（1+99）×50÷2=2550-2500=50； 解法二：原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+…+（100-99）=1×50=50. 说明两种解法相比较，解法一直套着公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+…+1”，从而解得更巧、更好 例2计算：1÷2003+2÷2003+3÷2003+…+2001÷2003+2002÷2003+2003÷2003. 分析：如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难。由于除数都相同，被除数组成一个等差数列：1，2，3，4，…，2001，2002，2003 所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数和，再求商。 解原式=（1+2+3+…+2002+2003）÷2003=（1+2003）×2003÷2÷2003=1002. 说明此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化。计算中又应用乘除混合运算的简化运算，使整个解答显得简捷明快。 例3 某小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖。比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人……第十五名并列15人。用最简便方法计算出得奖的一共又多少人？ 分析：通过审题可知，各个名次的获奖人数正好组成一个等差数列：1，2，3，…， 15.因此，根据求和公式可以求出获奖总人数。 解：（1+15）×15÷2=16×15÷2=120（人） 例4 某体育馆西侧看台上有30排座位，后面一排都比前面一排多2个座位，最后一排有132个座位。体育馆西侧看台共有多少个座位？ 分析：要求这30个数的和，必须知道第一排的座位数，而最后一排的座位数是由第一排座位数加上（30-1）×2得出来的，这样就可以求出第一排的座位数。 解：第一排的座位数为：132-2×（30-1）=132-58=74（个） 所以（74+132）×30÷2=206×30÷2=3090（个） 例5学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛1场。 （1）若有20人比赛，那么一共要进行多少场选拔赛？
等差计算
等差 等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如24,70,208,622，规律为a*3-2=b 深一点模式，各数之间的差有规律，如1、2、5、10、17。它们之间的差为1、3、5、7，成等差数列。这些规律还有差之间成等比之类。B，各数之间的和有规律，如1、 2、3、5、8、13，前两个数相加等于后一个数。 3、看各数的大小组合规律，做出合理的分组。如7,9,40,74,1526,5436，7和9，40和74，1526和5436这三组各自是大致处于同一大小级，那规律就要从组方面考虑，即不把它们看作6个数，而应该看作3个组。而组和组之间的差距不是很大，用乘法就能从一个组过渡到另一个组。所以7*7-9=40 , 9*9-7=74 , 40*40-74=1526 , 74*74-40=5436，这就是规律。 4、如根据大小不能分组的，A，看首尾关系，如7，10，9，12，11，14，这组数; 7+14＝10+11＝9+12。首尾关系经常被忽略，但又是很简单的规律。B，数的大小排列看似无序的，可以看它们之间的差与和有没有顺序关系。 5、各数间相差较大，但又不相差大得离谱，就要考虑乘方，这就要看各位对数字敏感程度了。如 6、24、60、120、210，感觉它们之间的差越来越大，但这组数又看着比较舒服(个人感觉，嘿嘿)，它们的规律就是2^3-2=6、3^3-3=24、4^3-4 =60、5^3-5=120、6^3-6=210。这组数比较巧的是都是6的倍数，容易导入歧途。 6)看大小不能看出来的，就要看数的特征了。如21、31、47、56、69、72，它们的十位数就是递增关系，如25、58、811、1114 ，这些数相邻两个数首尾相接，且2、5、8、11、14的差为3，如论坛上答：256，269，286，302，（），2+5+6 =132+6+9＝172+8+6＝163+0+2＝5，∵256+13＝269 269+17＝286286+16＝302 ∴下一个数为302+5＝307。 7)再复杂一点，如0、1、3、8、21、55，这组数的规律是b*3-a=c，即相邻3个数之间才能看出规律，这算最简单的一种，更复杂数列也用把前面介绍方法深化后来找出规律。 8)分数之间的规律，就是数字规律的进一步演化，分子一样，就从分母上找规律；或者第一个数的分母和第二个数的分子有衔接关系。而且第一个数如果不是分数，往往要看成分数，如2就要看成2/1。 数字推理题经常不能在正常时间内完成，考试时也要抱着先易后难的态度(废话，嘿嘿)。应用题个人觉得难度和小学奥数程度差不多(本人青年志愿者时曾在某小学辅导奥数)，各位感觉自己有困难的网友可以看看这方面的书，还是有很多有趣、快捷的解题方法做参考。国家公务员考试中数学计算题分值是最高的，一分一题，而且题量较大，所以很值得重视(国家公务员125题，满分100分，各题有分值差别，但如浙江省公务员一共120题，满分120分，没有分值的差别)
规律及等差
这样的一些题目大多数都是数列题目,你可以从多个角度去观察这一组数,一般从这几个方面考虑: 1.(和)相邻两项的和是否相等,或相领两项的和是否相差一定的数.或者相邻两项的和是否成一定的倍数增加或减小. 2.(差)相邻两项的差是否相等,或相领两项的差是否相差一定的数.或者相邻两项的差是否成一定的倍数增加或减小. 3.(乘)相邻两项是否成一定的倍数增加,或者减小 4.(和的和)相邻两项的和的和是否相等,或相领两项的和的和是否相差一定的数.或者相邻两项的和的和是否成一定的倍数增加或减小. 5.(差的差)相邻两项的差的差是否相等,或相领两项的差的差是否相差一定的数.或者相邻两项的差的差是否成一定的倍数增加或减小. 6.(平方)相邻两项的差的平方是否有规律,或相邻两项的差的开方是否有规律,或者相邻两项的差的差的平方是否有规律. 7.相邻两项的和的平方是否有规律,或相邻两项的和的开方是否有规律,或者相邻两项的和的和的平方是否有规律. 方法有很多,是不固定的,很灵活.单本质大多数都是等差数列和等比数列的演化. 根据规律填空。 1/2、2/3、1/5、2/7、1/11、2/13、（）、（）、（） 1/15、2/17、1/19 已知一串数:1/1;1/2;2/1;1/3;2/2;3/1;1/4;2/3;3/2;4/1等等求: (1)17/21是此串数中的第几个分数? (2)此串分数中的第1993个分数是多少?? 已知一串数: 第1行：1/1, 第2行：1/2, 2/1, 第3行：1/3, 2/2; 3/1; 第4行：1/4, 2/3, 3/2, 4/1 第5行：1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1; 第6行：1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1; 第7行：1/7, 2/6, 3/5, 4/4, 5/3, 6/2, 7/1; 第8行：1/8， 2/7，3/6，4/5，5/4，6/3，7/2，8/1； ------------------------------ 等等求: (1)17/21是此串数中的第几个分数? 在第某行第17列，这个行如何确定呢？ 已知一串数: 第1行：1/1, 第2行：1/2, 2/1,
等差数列及其运用
等差数列及其运用 姓名 知识、规律、方法 相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就成为等差数列。其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示。如：1，2，3，4，5，......中，d=2-1=3-2=4-3= (1) 1，3，5，7，9，...中，d=3-1=5-3=7-5= (2) 数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项......最后一个数叫末项。 对于公差为d的等差数列来说，1、如果首项小于末项，则 2、如果首项大于末项，则 3、如果末项大于首项，则 如果末项小于首项，则0 4、这个n项等差数列的和为： 范例、拓展 例1 已知等差数列1，4，7，10，13，...， （1）这个数列的第15项是多少？ （2）55是其中的第几项？
拓展一如果一个等差数列的第三项为21，第六项为33，求它的第九项。 拓展二在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。 例2 计算：3+7+11+15+19+23+27+31+...+79+83 拓展一求（2+4+6+8+...+1000）—（1+3+5+7+...+999）的值 拓展二1000+999—998+997+996—995+...+106+105—104+103+102—101的结果是多少？
例3 求所有被8除余数是3的三位数的和是多少？ 练习： 1、计算。 （1）15+16+17+18+...+26+27+28 （2）1+3+5+7+...+45+47+49 （3）200+202+204+...+296+298+300 （4）297+293+289+...+213+209 （5）3000—1—2—3—...—57—58 （6）1+2+...+99+100+99+...+2+1 2、小米读一本书，第一天读了25页，以后每天比前一天多看了3页，看了20天刚好看完。这本书一共有多少页?
一年级数学下册《找等差数列与数组中的变化规律》教案
一年级数学下册《找等差数列与数组中的变 化规律》教案 第三课时等差数列与数组中的变化规律 一、学习目标 学习内容 《义务教育教科书数学》一年级下册第87页情境图和做一做及第89页练习二十的第3、5、6、8题。 《等差数列与数组中的变化规律》是“数与代数”这一部分的课程内容。《课程标准》要求：探索简单情境下的变化规律。 本节课是人教版数学一年级下册第七单元的第三课时，在学习了简单的图形与数字的变化规律后，通过图形与数字的变化，发现它们的变化规律要通过计算相邻两项数量的差来找出。在此基础上，研究数字的排列规律：等差数列，即后一项是前一项加或减一个固定的数得到的。 数组中的规律是最为隐蔽的，通过研究每一个完整的数组中3个数之间的数量关系，综合运用已有的加、减法和数的组成的知识，来发现数组中的规律。 核心能力 “等差数列与数组中的变化规律”这节课，通过口头描述规律、以箭头的形式理解其中的规律、创造规律的过程，
理解数字中的加法和减法产生的规律。 学习目标 ．通过摆一摆、画一画等活动，发现图形和数字与数组中的变化规律。 ．借助主题图，会根据发现的规律，确定后续图形的排列方式。 学习重点 发现等差数列和数组中的变化规律。 教学难点 会根据发现的规律，确定后续图形的排列方式。 配套资 实施资源：《等差数列与数组中的变化规律》名师教学、小正方形学具。 二、学习设计 课前设计 ．预习任务 预习课本第87页例3，观察图中的小正方体，照样子，自己摆一摆，思考：它们是怎么摆的。数字与图形之间有什么规律。看例4，说一说，有什么相同点和变化。 ．练习 寻找规律画一画，填一填。 行和第二行有什么关系？它们的规律是什么？
第4讲 等差数列及其应用
第4讲等差数列 许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法。通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题。 一、等差数列 什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子： ①1,2,3,4,5,6,7,8,9，… ②1,3,5,7,9,11,13. ③2,4,6,8,10,12,14… ④3,6,9,12,15,18,21. ⑤100,95,90,85,80,75,70. ⑥20,18,16,14,12,10,8. 例题：下面的数列中，那些是等差数列？若是请指明公差，若不是则说明理由。 ①6,8,10,14,18,22， (98) ②1,2,1,2,3,4,5,6； ③1,2,4,8,16,32,64； ④9,8,7,6,5,4,3,2,； ⑤3,3,3,3,3,3,3,3,； ⑥1,0,1,0,1,0,1,0；
二、通项公式 对于公差为d的等差数列a1,a2,…a n…来说，如果a1小于a2，则显然a1－a2=a3－a2=…=a n－a n-1=…=d,因此： a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d … 由此可知：a n=a1+(n－1)×d (1) 若a1大于a2，则同理可推得： a n=a1－(n－1) ×d (2) 公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项。 例题1、求等差数列1,6,11,16…的第20项. 例题2、已知等差数列2,5,8,11,14…，问47是其中第几项？ 例题3、如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项。
利用等差数列中间项和前后两项的关系巧求平方数
巧求平方数 等差数列中距离相同的三项之间的关系 在等差数列中距离相同三项之间的关系如下所述： 如等差数列：1，2，3，4，5，6，………….在其中任意取相连或者距离相同的三项都能呈现如下规律。 1.这里取2，3，4三项，可以得出3的平方=2×4+1×1 2.在取1，3，5这三项，1到3和5到3的距离相同，可以得出3的平方=1×5+2×2 综上所述，可以得出一个公式：用a n表示等差数列任意项，用a(n-1)表示距离相同的前一项，a(n+1)表示距离相同的后一项，d表示两项之间的距离，可以推出以下公式： a n·a n=a(n-1)·a(n+1)+d·d （必要条件n≥2） 该公式是归类于等差数列中找规律的数学公式，其用途广泛，可以用于数学中的简便计算，能帮助学生用口算方法正确、快速的求出一个数的平方值。 在实际教学中同学们会遇到求平方数的问题，如：求195的平方，如果用195×195这样好算么？不我们根据上面的公式结论；这样做用190×200+5×5=38000+25=38025，那种好算，大家一目了然。在如：求125的平方125×125，100×150+25×25=15000+20×30+5×5=15000+600+25=15625。虽然看上去繁多了实际上这些数字只要口算就行了。如果掌握并熟练了这种方法，你就会发现2位数的平方你会记下来很多，有助于我们学习，比死记硬背好的多34的平方=30×38+4×4=1140+16=1156难道30×38你口算不到，哈哈有了这个方法，求平方数是不是 要快些了，当然我们求平方数的方法多种多样，如果你掌握的好，灵活运用，速度就会很快了。这里只是作为一个参考。 陈卓 2011年10月10日
小学奥数 等差数列的认识与公式运用.学生版
本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。 一、等差数列的定义 ⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列． 譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 ⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 知识点拨 教学目标 等差数列的认识与公式运用
(1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若 1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100+++ +++ 11002993985051= ++++++++共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解：
利用等差规律计算
利用等差规律计算 奥数知识 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 【思路】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 【练习1】 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 【思路】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。 第100项=3+4×（100－1）=399. 【练习2】 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和： 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 【练习3】计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 【思路】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少： 项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25 首项=2.末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
规律及数列
规律及数列 寻找常见数列的排列规律可以从以下三个方面入手： 一、仔细观察数据的特征（对于一些特殊数要有一定的积累，如平方数、立方数），根据数据特征极其相互之间的关系找规律。 二、对数列中相邻两个数作差或相除，根据差和商的情况找规律。 三、统筹考虑数列中相邻的三、四个数，根据它们之间的关系找规律。 一、等差数列 （一）定义：什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子： ①l，2，3，4，5，6，7，8，9，… ②1，3，5，7，9，11，13. ③ 2，4，6，8，10，12，14… ④ 3，6，9，12，15，18，21. ⑤100，95，90，85，80，75，70. ⑥20，18，16，14，12，10，8. 这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如： 数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1) 数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2； 数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5； 数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2. 一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义. 为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为a n，a n。又称为数列的通项，a1；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项. 例1、请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。 （1）1，5，9，13，（17），21，25。+4 （2）3，6，12，24，（48），96，192。×2 （3）1，4，9，16，25，（36），49，64，81。n2 （4）2，3，5，8，12，17，（23 ），30，38。 +1 +2 +3 +4 （5）21，4，16，4，11，4，（6），（4）。奇数项递减4 偶数项是常数 （6）1，6，5，10，9，14，13，（18），（17 ）。奇数项、偶数项分别递增，+4 练习1、求值： ① 6+11+16+ (501) ②101+102+103+104+ (999)
小学数学人教2011课标版一年级等差数列和数组中的规律
找规律 第三课时 一、教学内容 稍复杂的数的排列规律（递增、递减的等差数列），数组的规律 二、教学目标 1．通过观察、操作、猜测等活动，使学生发现稍复杂的图形、数列的排列规律，并能够根据发现的规律进行推理，确定后续图形或数字的排列方式。 2．在发现规律、与应用规律的过程中，培养学生初步的观察能力、数学表征能力与推理能力。 3．通过学习活动，让学生经历发现规律的过程，在发现规律的过程中感受数学之美，培养学生发现和欣赏数学规律美的意识。 三、学情分析 在学生的生活中，有大量的有规律的排列，在学前教育中，大部分学生对此知识也有一定的了解，这些都是学习本课的重要基础。在一年级的学习中，学生已经初步掌握了观察和分类的思想方法，这些思想方法的应用有助于学生更好地学习找规律这一内容。因为一年级学生活泼好动，注意力容易分散，形象思维较为发达，所以教学时要为学生提供富有儿童情趣且有挑战性的数学活动，选择贴近学生生活、符合学生年龄特点的活动和内容。本课我以去熊二家活动为背景进行教学，不仅激发学生的兴趣，而且使学生获得了愉悦的数学学习体验。
四、教学过程 一、展示成果，激励引入 (一)成果展示，复习旧知： 1．师：我们先来欣赏一下我们生活的规律美吧？课件呈现学生课外收集的利用重复形成规律美的图片。 2．这些图片漂亮吗？谁来说说图片中的哪些事物的排列是有规律的？都是按什么规律来排列的？ 3．请你说一说：这些图片它们都有什么相同的地方？ 4．引导学生说出：它们的规律就是都有一组重复出现。 （二）点明课题，提出挑战： 1．师：其实规律有很多种，刚才的规律就是都有一组图形或事物的重复出现。 2．师：今天我们就继续来学习找规律，但今天学习的规律要比上节课的更复杂一点，你们对今天的学习有信心吗？ 二、创设情境，探究新知 (一)探究数列中的变化规律 1．数形对应，感知规律 （1）说一说：分步呈现例3的第（1）小题上面的四组图形：你们能找到这些图形的摆放规律吗？ （2）摆一摆： （3）想一想：能不能用更简单的方法把这样的规律也表示出来？引导学生利用一一对应的思想，将每组图形相对应的正方形个数用数表示出来。