陕西省西安交大附中、龙岗中学2021届高三上学期第一次联考数学(理)试题

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陕西省西安交大附中、龙岗中学2021届高三上学期第一次联考数学（理）

试题

一、选择题 本大题共12道小题。

1.

下列说法正确的是（ ）

A. 若“p 且q ”为真命题，则,p q 中至少有一个为真命题

B. 命题“2

000,10x R x x ?∈+-<”的否定是“2,10x R x x ?∈+->”

C. 命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题

D. 命题“若21a =，则1a =”的否命题为“若21≠a ，则1a ≠”

答案及解析：

1.D 【分析】

由复合命题的真假性及真值表，即可判断选项A ；由存在性命题的否定为全称命题，即可判断选项B ；先判断原命题的真假，再由互为逆否命题等价，即可判断选项C ；由命题的否命题，即对条件否定，又对结论否定，即可判断选项D ；

【详解】对于选项A ：若“p 且q ”为真命题，则,p q 都为真命题，故选项A 不正确；

对于选项B ：命题“2000,10x R x x ?∈+-<”的否定是“2

,10x R x x ?∈+-≥”，故选项B 不正确；

对于选项C ：由于正弦函数具有周期性，所以命题“若sin sin x y =，则x y =”为假命题，则它的逆否命题也是假命题；故选项C 不正确；

对于选项D ：一个命题的否命题是将条件和结论同时否定，命题“若21a =，则1a =”的否命题为“若

答案第2页，总27页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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21≠a ，则1a ≠”，故选项D 正确；

故选：D

【点睛】本题主要考查了符合命题的真假以及四大命题的形式和真假判断，注意命题的否定和否命题的区别，属于基础题. 2.

如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段1AC 上有两个动点E 、F ，且3

EF =，给出下列四个结论错误的选项是（ ）

A. CE BD ⊥

B. 点C 到平面BEF 2

C. BEF ?在底面ABCD 内的正投影是面积不是定值的三角形

D. 在平面ABCD 内存在无数条与平面1DEA 平行的直线

答案及解析：

2.C 【分析】

利用BD ⊥平面1ACC ，即可证明CE BD ⊥，即可判断选项A ；利用等体积即可求点C 到平面BEF 的距离，即可判断选项B ；利用正投影特点即可判断选项C ；利用线面平行的性质定理即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：由BD AC ⊥且1BD CC ⊥，1AC CC C =，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ?

平面1ACC ，可得CE BD ⊥，故选项A 正确； 对于选项B ：因为点C 到直线EF 263

=

，3

EF ，所以

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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13622336

CEF S ?=??=

为定值，点B 到平面CEF 距离是12

22DB =，所以三棱B CEF -体积是1221

36218

??=，因为三棱锥118C BEF B CEF V V --==，BEF CEF S S =△△为，所以点C 到平面BEF 的距

离为

2

2

，故选项B 正确； 对于选项C ：线段EF 在底面ABCD 内的正投影是GH ，所以BEF ?在底面ABCD 内的正投影是

BGH ?，因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 的长也是定值，所以BGH ?的面积是定值，故选项

C 不正确；

多于选项D ：设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故选项D 正确， 故选：C

【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，通常采用三棱锥等体积，转化为棱锥的高，也可以采用空间向量的方法求出线面角以及斜线的的长度，也可求点到面的距离. 3.

甲?乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲?乙两人射击命中率互不影响.射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为（ ） A. 0.8

B. 0.75

C. 0.6

D. 0.48

答案及解析：

3.B

答案第4页，总27页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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【分析】

先求出目标至少被命中一次的概率,再求出目标至少被命中一次甲命中目标概率，利用概率公式即可求解.

【详解】目标至少被命中一次，包括甲中乙中，甲中乙不中，乙中甲不中三种情况， 所以目标至少被命中一次的概率为10.60.50.60.50.40.50.8P =?+?+?=， 目标至少被命中一次甲命中目标包括甲中乙中，甲中乙不中二种情况，

所以目标至少被命中一次甲命中目标的概率为：20.60.50.60.50.6P =?+?=， 所以甲命中目标概率为0.6

0.750.8

P ==， 故选：B

【点睛】本题主要考查了相互独立事件和互斥事件的概率，属于基础题. 4.

函数2

sin ()cos x x

f x x x

-=

+的大致图象是（ ） A. B.

C. D.

答案及解析：

4.B 【分析】

根据函数为奇函数可排除D ，根据()0f π>排除C ，根据当(0,

)2

x π

∈时，()1f x <排除A 得到答案.

【详解】因为22

sin()sin ()()()cos()cos x x x x

f x f x x x x x

----+-===--+-+，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故D 不正确；

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因为2

()01

f πππ=>-，所以C 不正确；

当(0,

)2

x π

∈时，3(,)444x π

ππ+

∈，sin cos )4

x x x π

+=+∈， 所以2

2

1

1cos sin ())2

44x x x x x x π+-+=--

++13

1044

>-+=>， 所以2cos sin x x x x +>-，又根据,A B 选项的图象可知sin 0x x ->， 所以2sin ()1cos x x

f x x x

-=<+，故A 不正确.

故选：B 5.

在复平面内，复数z a bi =+(),a R b R ∈∈对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：

()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+,则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++???? ，由棣

莫弗定理导出了复数乘方公式:()()cos sin cos sin n

n

r i r n i n θθθθ+=+????,则5

12??+= ? ???

（ ） A.

122- B. 122-

- C.

12+ D. 12-

+ 答案及解析：

5.A 【分析】 先将复数122

z =

+化为cos sin 33z i ππ=+的形式，然后再根据由棣莫弗定理得到的复数的乘方公

式计算即可．

【详解】由题意得复数12z =

+可化为cos sin 33z i ππ=+， 所以5

5

1551cos sin cos sin 233332i i ππππ????+=+=+=- ? ? ??

???．

答案第6页，总27页

故选A ．

【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解的能力，属于基础题． 6.

若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]0.10,0.11=-=-），数列{a n }满足：13a =，

122n n a a n +-=+，则2020a ?++

+=?（ ）

A. 10102021?

B. 10102020?

C. 10092021?

D. 10092020?

答案及解析：

6.A 【分析】

由递推公式利用累加法即可求得数列{}n a 的通项公式，由()2

2211n n n n <++<+可得

n ==，再利用等差数列求和公式求和即可. 【详解】

122n n a a n +-=+，

()-12122n n a a n n --+∴==，1222n-n-a n a =--，

，326a a -=，214a a -=，

累加可得()()()121424622222

n n n a a n n n n -+-=++

+-+=

=+-，

又13a =，()

2*

1n a n n n N ∴=++∈，

()2

2211n n n n <++<+，n ∴==， 202020202021

1232020101020212

a ???++

+=+++

+=

=???.

故选：A

【点睛】本题考查数列创新问题、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 7.

若实数数列：1，a ，81成等比数列，则圆锥曲线2

2

1y x a

+=的离心率是（ ）

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A.

或

3

B.

3

C.

3

D.

1

3

或10 答案及解析：

7.A 【分析】

由等比数列的性质可得a 的值，分类讨论可求曲线的离心率． 【详解】由1，a ，81成等比数列有：281a =，所以9a =±，

当9a =时，方程为2

2

19

y x +=，表示焦点在y 轴的椭圆，

其中13a =，1c ==，故离心率113

c e a =

=； 当9a =-时，方程为2

2

19y x -=，表示焦点在x 轴的双曲线，

其中21a =，2c =，故离心率2

2

c e a ==, 故选择A .

【点睛】本题考查知识点有等比数列的性质和圆锥曲线的离心率，属于综合题型，根据题意得出未知量代入圆锥曲线方程即可求离心率，难度不大，注重基础的应用，属于简单题. 8.

已知双曲线221mx ny +=与抛物线28x y =有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（ ）

A. 2213

y x -=

B. 2213x y -=

C. 2215

y x -=

D. 2

2

15

x y -=

答案及解析：

8.A 【分析】

由抛物线方程求出焦点坐标，可得

11

4n m

-=，求出渐近线方程，利用点到直线距离公式列关于,m n 的

答案第8页，总27页

方程，解方程组即可得到结果.

【详解】抛物线2

8x y

=的焦点坐标为()0,2F ,

可得双曲线2

2

1mx ny +=的焦点为()0,2F ,

化22

1mx ny +=为22

111

y x n m

-=- ,得2211,a b n m ==-, ∴双曲线的一条渐近线方程为y x ==，

由点F 到双曲线渐近线的距离等于1， 得

1= , 即= 又 222+=a b c ，即11

4n m

-=，② 联立①②解得1

,13

n m =

=-， ∴双曲线的方程为2

213

y x -=，故选A .

【点睛】本题主要考查抛物线、双曲线的方程及简单性质,是中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 9.

已知集合{

}2

,A y y x x B ==∈，{}

(1)0B x x x =-<，则（ ） A. B A ? B. A B ? C. =A B

D. A

B =?

答案及解析：

9.C 【分析】

先求集合B ，再求集合A ，即可判断四个选项的正误.

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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【详解】{}{}

(1)001B x x x x x =-<=<<， 因为01x <<，所以()2

0,1y x =∈，

所以{}

01A y y =<<， 所以=A B ， 故选：C.

【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，属于基础题. 10.

研究汽车急刹车的停车距离对汽车刹车设计和路面交通管理非常重要，急刹车停车距离受诸多因素影响，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶速度，设d 表示停车距离，1d 表示反应距离，2d 表示制动距离，则12d=d d +，如图是根据美国公路局公布的实验数据制作的停车距离示意图.图中指针所指的内圈数值表示对应的车速v (km/h ).根据该图数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型①：.d=av b +模型②：2.d=av bv +模型③：.b d=av v +模型④：2.b

d=av v

+(其中,a b 为待定参数)进行拟合，则拟合效果最好的函数模型是（ ）

A. .d=av b +

B. 2.d=av bv +

C. .b

d=av v

+ D. 2

.b d=av v

+

答案及解析：

10.B

答案第10页，总27页

【分析】

分析图中数据，分别判断1d 、2d 与车速的关系，即可得解.

【详解】分析图中数据可得，车速每增加10千米/小时，反应距离1d 增加的数量大体不变， 且0v =时，10d =，所以可拟合为1d bv =； 分析车速v 和制动距离()122d d d d =-可得

2

2d v

稳定在一个常量附近， 且0v =时，20d =，所以可拟合为2

2d av =；

所以拟合效果最好的函数模型是2.d=av bv + 故选：B. 11.

设函数()sin ,f x x x x ωω=∈R ，其中0>ω．在函数()y f x =和y =中，相邻两个交点之间距离的最小值为6

π

，则下列说法错误的是（ ） A. f (x )的最大值为2 B.

2ω=

C. f (x )图象的对称轴方程为,26

k k x ππ

+=∈Z D. f (x )的一个增区间为5,1212ππ??

-

????

答案及解析：

11.C 【分析】

利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式为()2sin()3

f x x π

ω=+，再结合三角函数的最值、单调性、对

称性对选项逐个加以判断即可得出答案．

【详解】()1sin 2sin 2sin 223f x x x x x x πωωωωω????=+=+=+ ? ? ?????

， ()f x 得最大值为2，A 正确．

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由2sin 3x πω??

+

= ??

?，得sin 32x πω??+= ??

?， 得23

3

x k π

π

ωπ+

=+

或22,3

3

x k k π

π

ωπ+

=+

∈Z ． 令0k =，得10x =或23x πω

=， 由126

x x π

-=可得2ω=，B 正确．

令2,3

2

x k k π

π

π+

=+

∈Z ，得,212

k x k ππ

=

+∈Z ，故C 不正确． 令222,2

3

2

k x k k π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+∈Z ，令0k =，

得51212x ππ-

≤≤，55,0,121212πππ????

-?-????????

，故D 正确． 故选：C ．

【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，熟练应用三角函数的性质是解题的关键，属于中档题． 12.

不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A. (,1]e -∞-

B. 2(,2]e -∞-

C. (,2]-∞-

D. (,3]-∞-

答案及解析：

12.D 【分析】

本题首先可以将“不等式3ln 1x

x e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立”转化为“31ln x x e x a x

---≤对

()1,x ?∈+∞恒成立”，然后求出方程31

ln x x e x y x

---=，()1,x ∈+∞的最小值即可得出结果．

【详解】题意即为3ln 1x a x x e x -≤--对()1,x ?∈+∞恒成立，

答案第12页，总27页

即31ln x x e x a x ---≤对()1,x ?∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x ---=，()1,x ∈+∞的最小值，而

3

3ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+

故313ln 113ln x x e x x x x x ---≥-+--=-

即313ln 3ln ln x x e x x

x x

----≥=-

当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在()1,+∞内有根，

故3min

13ln x x e x x -??--=- ???，所以3a ≤-，故选D ．

【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，在利用不等式求参数的取值范围时，可以先将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，考查函数方程思想，考查计算能力，是难题． 一、填空题 本大题共4道小题。

13.

若0x >，0y >，()3xy x y -+=，则x y +的取值范围是______.

答案及解析：

13.{}

6x x ≥ 【分析】

利用基本不等式即可求解.

【详解】若0x >，0y >，()3xy x y -+=，

则()()2

32x y xy x y x y +??=-+≤-+ ???

，

即()()2

1240y x x y +-+-≥ 解得6x y +≥或2x y +≤-（舍去）， 当==3x y 时取等号，

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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所以x y +的取值范围是{}

6x x ≥. 故答案为：{}

6x x ≥ 14.

如图所示，A 、B 是圆O 上的两点，若2AB AO ?=，则弦AB 长为______.

答案及解析：

14.2 【分析】

过O 作⊥OD AB 于D ，则1

||cos ||||2

AO OAD AD AB ∠==，再由2AB AO ?=化简可求出AB ，从而求得弦AB 的长

【详解】过O 作⊥OD AB 于D ，则1

||cos ||||2

AO OAD AD AB ∠==

，

2AB AO ?=，||||cos 2AB AO OAD ?∠=，所以

21

||2,||22

AB AB ==， 故答案为：2

【点睛】此题考查了平面向量的数量积及其几何意义的应用，属于基础题. 15.

气象学意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均气温均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地的日平均气温的记录数据（记录数据均为正整数）. 甲地：5个数据的中位数是24，众数为22； 乙地：5个数据的中位数是28，总体平均数为25；

答案第14页，总27页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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丙地：5个数据一个为32，总体平均数为26，方差为10.8． 则由此判断进入夏季的地区是________．

答案及解析：

15.甲地、丙地 【分析】

根据数据的特点估计三地连续5日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行判断即可.

【详解】甲地：因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22则中位数不可能为24，所以甲地肯定进入夏季；

乙地：如13,23,27,28,29满足中位数是27，总体均值为24，但不符合进入夏季的条件；

丙地：5个数据中一个为32，总体平均数为26，方差为10.8，若有一个数据小于22，例如取21，此时方差超过10.8，不符合题意，故所有数据均大于22，丙地进入夏季. 故答案为：甲地、丙地

【点睛】本题考查平均数、中位数与众数的性质，属于基础题. 16.

我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童ABCD ﹣EFGH 有外接球，且26,22,15,5AB AD EH EF ====，平面EFGH 与平面ABCD 的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.

答案及解析：

16.36π 【分析】

首先设O 为刍童外接球的球心，1O ，2O 分别为矩形EFGH ，ABCD 的中心，由球的几何性质可知：

O ，1O ，2O 三点共线，连接1OO ，1O G ，OG ，2O B ，OB ，再分别计算得到()

2

15OG m =++，

28OB m =+，根据R OG OB ==，即可得到答案.

【详解】设O 为刍童外接球的球心，1O ，2O 分别为矩形EFGH ，ABCD 的中心，

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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由球的几何性质可知：O ，1O ，2O 三点共线，连接1OO ，1O G ，OG ，

2O B ，OB ，如图所示：

由题知：2OO ⊥平面ABCD ，1OO ⊥平面EFGH ，所以121O O =. 因为22111155522

O G EF FG =

+=+= 设2OO m =，

在1RT OGO △中，()

2

221115OG OO O G m =+=++

因为22211

8242222

O B AD AB =

+=+= 在2RT OBO △中，222228OB OO O B m =+=+

设外接球的半径为R ，则R OG OB ==， ()

2

2158m m ++=+1m =.

所以()2

1153R =

++=，364

3

3V R ππ==.

故答案为：36π

【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体的外接球，解题的关键是找到外接球的球心，本题中首先设出外接球的球心，根据半径相等得到等量关系，从而求出球体半径和体积，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 评卷人 得分

二、解答题 本大题共7道小题。

17.

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，31

2

n n a S -=． （1）求a n ；

（2）若(1)n n b n a =-，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．

答案第16页，总27页

答案及解析：

17.(1)1

3-=n n a ；（2）(23)33

4

n n n T -?+=．

【分析】

(1)根据11,1

,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?可得11a =，13(2)n

n a a n ，从而可知数列{}n a 为等比数列，根据等

比数列的通项公式，即可求出n a ；

(2)由(1) 可知1

(1)3n n b n -=-，利用错位相减法，即可求出n T .

【详解】（1）由已知可得，231n n S a =-，①，所以11231(2)n n S a n --=-≥，② ①－②得，112()33=n n n n S S a a ----，化简得13(2)n

n a a n

，

在①中，令1n =，可得11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有13-=n n a ．

(2)由(1)可知1

(1)3n n b n -=-，

0121031323(1)3n n T n -=?+?+?+

+-?，③ 则123

303132313()n

n T n =+++

???+-?，④ 由③－④得，123

1

23333

(1)3=+++

+n n

n T n ----?13(13(1)313-n n

n --=--?）(32)332

n n -?-=

， 所以(23)33

4

n n n T -?+=．

【点睛】本题主要考查由n S 与n a 关系求数列的通项及错位相减法求和，同时考查了等比数列的求和公式，考查运算求解能力，属于中档题. 18.

已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，其长轴为4，离心率为2

，过椭圆上一点P 作圆222

:O x y b +=的

两条切线，切点分别为A 、B ，直线AB 与,x y 轴的交点分别为,E Q . （1）求椭圆的方程；

第17页，总27页

（2）求EOQ △面积的最小值.

答案及解析：

18.（1）2

214

x y +=；

（2）12. 【分析】

（1）利用已知条件求出,a b ，即可得到结果；（2）设点椭圆上点P 坐标为00(,)x y ，切点坐标为

1122(,),(,)A x y B x y ，利用0,0OA AP OB BP ?=?=，得到,A B 所在的直线方程，求出点,E Q 的坐标，

即可得出EOQ △面积，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）依题意，24,a =得2,a =

1.2

c e c b a =

=∴== ∴椭圆方程为2

214

x y +=； （2）设点椭圆上点P 坐标

00(,)x y ，切点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，

直线,AP BP 为圆O 的两切线， 圆O 方程为：2

2

1x y +=.

∴0OA AP ?=，

010111(,),(,)AP x x y y OA x y =--=，

∴101101()()0OA AP x x x y y y ?=-+-=，

得到：22

1010111x x y y x y ?+?=+=，

即10101x x y y ?+?=， 同理可得20201x x y y ?+?=，

所以点1122(,),(,)A x y B x y 同时满足直线方程001x x y y ?+?=， 即直线AB 方程为：001x x y y ?+?=.

答案第18页，总27页

………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

令0,x =得Q 点坐标为0

1(0,

)y ， 令0,y =得E 点坐标为0

1

(

,0)x ， 所以00

11

2EOQ S x y =

?△，

因为P 在椭圆上，有0220

14

x y +=，

所以02

20

001,4x y x y =+≥?得

00

1 1.x y ≥? 即EOQ S △最小值为

1

2

， 当00|2||2|x y ==时取得. 所以EOQ △面积的最小值为

12

. 【点睛】关键点点睛：把平面解析几何中的垂直问题转换为向量问题求解，进而求出直线的方程，得到交点坐标，利用面积公式以及基本不等式求解最值.属于中档题. 19.

某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道（不考虑宽度），BE 为赛道内的一条服务通道，23

BCD CDE BAE π

∠=∠=∠=

，DE =4km ，3BC CD km ==.

（1）求服务通道BE 的长度； （2）当4

AEB π

∠=

时，赛道BA 的长度？

答案及解析：

19.(1)5 (2)

56

3

第19页，总27页

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

【分析】

（1）连接BD ，在BCD ?中，由余弦定理可得3BD =，由等腰三角形的性质结合

23BCD CDE π∠=∠=

可得2BDE π∠=，再由勾股定理可得结果；（2）在BAE ?中，23

BAE π∠=，5BE =，4

AEB π

∠=

，直接利用正弦定理定理可得结果.

【详解】（1）连接BD ， 在BCD ?中，由余弦定理得：

2222BD BC CD BC =+- cos 9CD BCD ?∠=，

3BD ∴=.BC CD =，

6

CBD CDB π

∴∠=∠=

，

又23CDE π∠=

，2

BDE π∴∠=， 在Rt BDE ?中，225BE BD DE =

+=.

（2）在BAE ?中，23

BAE π

∠=

， 5BE =.4AEB π

∠=

由正弦定理得2sin sin

34

BE AB

ππ=， 即：32=，得56

3

BA = 当4

AEB π

∠=

时，赛道BA 的长度为

56

3

.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半

答案第20页，总27页

………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

径. 20.

如图，已知平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠60=?.

（1）证明：1C C BD ⊥； （2）假设13

2,,2

CD C C ==记面1C BD 为α，面CBD 为β，求二面角BD αβ--的平面角的余弦值；

（3）当

1

CD CC 的

值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明.

答案及解析：

20.（1）证明见解析；（23（3）当1

1CD CC =时，证明见解析. 【分析】

（1）连接AC BD 、，设AC 和BD 交于O ，连接1C O ，根据四边形ABCD 是菱形，得到AC BD ⊥，再由1111,BCC DCC CC CC ∠=∠=，1C O BD ⊥，再由线面垂直判定定理证明.

（2）由（1）知,,AC BD CO BD ⊥⊥则1C OC ∠是二面角 -BD-αβ的平面角，然后分别求得1,C O CO ，再利用余弦定理求解.

（3）当11CD CC =时，能使1A C ⊥ 平面1C BD ，由1

1CD

CC =，得到1BC CD C C ==，再结合11BCD C CB C CD ∠=∠=∠，进而得到三棱锥1C C BD -是正棱锥证明.

【详解】（1）如图所示：