二次曲面的分类
二次曲面的分类
三元二次方程的一般形式是
不全为零）
（其中
可以证明，经过坐标系的旋转、平移，即选取适当的空间直角坐标系。能使二次曲面的方程符合下列条件：
①①没有混合二次项；
②②如果有某个变量的平方项，那么就没有它的一次项；
③③如果有一次项，那么就没有常数项；
④④顶多有一个一次项。
这样的方程叫做二次曲面的标准方程。
按照有几个平方项，有没有一次项或常数项，标准方程一共分成以下十七种：
1．椭球面
2．虚椭球面
3．点
4．单叶双曲面
5．双叶双曲面
6．二次锥面
7．椭圆抛物面
8．双曲抛物面
9．椭圆柱面
10．虚椭圆柱面
11．直线
12．双曲柱面
13．一对相交平面
14．抛物柱面
15．一对平行平面
16．一对虚平行平面
17．一对重合平面
其中，最后9－17共九种都不包含z，其形式和平面解析几何中二元二次方程
经旋转、平移化简后所得的九种二次曲线标准方程完全一样，不过它们在空间中表示母线平行于z轴而准线为xoy面上相应二次曲线的柱面。
二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方
第八章 二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题. §8.1 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 0ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去 xy 项,通常的坐标变换公式为: cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-??''=+? (1.2) 从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式: 212111121211222223232222 1,111,1(,, ,)22222n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=++ ++++++ +++ (1.3) 称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即 222121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 称为标准形式的二次型,简称为标准形. 说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型: 22 2 2 2 (,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z =++=+-++- 下列多项式都不是二次型:
幼儿园大班科学教案：按图形特征分类
教学资料参考范本 幼儿园大班科学教案：按图形特征分 类 撰写人：__________________ 部门：__________________ 时间：__________________
活动目标： 1.能按照图形的形状特征进行分类，巩固对形状的认识。 2.能说出自己分类的理由。 3.创设愉悦的游戏，激发幼儿探索的欲望。 活动准备： 1.六种几何图形卡片若干、有关图形的物体若干。 2.几何图形拼组成的图画。 3.魔术箱、魔法棒、贴有图形标示的小椅子。 活动过程： 1.带幼儿做手指游戏，集中幼儿的注意力。 2.用游戏的方式让幼儿复习认识三种几何图形。 （1）摸一摸“魔术箱”。 师：“小朋友们，图形王国到了，图形王国里有一只奇妙的箱子，你们看，就是这只魔术箱。你们想不想知道里面藏的是什么秘密？好了，我们来看看这只魔术箱会给小朋友们变出什么有趣的东西。 ①教师念儿歌：“魔术箱子东西多，让我先来摸一摸，摸出来看 是什么？” 摸出一本正方形的书，问：“这是什么？是什么形状的？（正方形）” 问：平常生活中还有那些东西是正方形的？你怎么知道？（启发 幼儿说出）
②再念儿歌：“魔术箱子东西多，请小朋友来摸一摸。” 当幼儿摸到后，要求说出生活中还有哪些这样的物品。游戏反复进行。 ③教师总结：魔术箱里的东西有的是圆形的，有的是三角形的，有的是正方形的，有的是椭圆形的。 ④老师总结 圆形：圆溜溜，没有角，滚来滚去还能跑； 三角形：三条边，三个角，像座小山立得牢 正方形：四条边一样长，四个角一样大，方方正正本领好。 椭圆形：圆溜溜，没有角，不会滚。 长方形：两条边一样比较长，两个边一比较短。 3.游戏：图形宝宝找家 （1）引导幼儿动手操作，学习给图形分类。 引导语：“小朋友们，我们来帮图形宝宝找家吧！你们愿不愿意啊？” 引导语：“你们看每个的家的标志都不一样，现在我们来帮它们找找家。”（请幼儿事先把 放在椅子底下的图形的卡片拿出来）。 （2）师：“图形宝宝说它们的房子都是有形状的，请幼儿把一样的图形放在一起。 4.谁的本领大 ①教师用魔法棒“变”出由圆形、三角形、正方形、椭圆形组成的图片，请幼儿找出其中的图形宝宝，并数数每种图形有几个？
10三维空间中二次方程与二次曲面解读
三维空间中二次方程与二次曲面 张晓青（2010073060029） 指导教师：李厚彪 【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解. 【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面 1 引 言 教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文 如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变 换 =X A α，=Y A β， 则 T T T T (,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ 即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变. 设 222 12311122233312121313 2323112233(,,)222? f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1） 则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面. 令11 121321 222331 32 33a a a a a a a a a ?? ? = ? ???A ,123x x x ?? ?= ? ???X ，123b b b ?? ?= ? ??? b 则（1.1）式可记为 T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T ()g =X X AX 1. 作正交变换=X CY ，其中T 123(,,)y y y =Y ，则 223'' '112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3）
一年级数学下册几何图形分类全面
一年级数学下册几何图形分类全面 一、我会比也会连。 （1）下面的图形缺了一块，请找到并用线连起来。 （2）从哪一块上剪下来的，请用线连一连。 二、动动脑，填一填，选一选。 （1）正方形纸沿两条对角连线对折，得到的图形是______个，______ 大小的______形。 （2）判断，对的画“√”，错的画“×”。 1.“正方形剪去一角剩三角”（） 2.“圆形就是圆球”（） 3.“小方块，就是正方形”（）
三、下面是正方体的是（）。 A . B . C . D . 四、七巧板里学问多 ⑤号图是______形； ______号图形是三角形； ③号图形是______形； ①号和______号两个图形一样大； ④号和______号两个图形一样大。 五、把一张正方形纸剪成大小相等的两块，你能想出4种不同的剪法吗?请你画一画。
六、图中共有（）个正方体。 A .3 B .4 C .5 D .6 七、拼一拼，想一想，拼出的图形像什么? 八、聪明屋，数一数，填一填。 （1）数一数下图有（______）个三角形。 （2）还缺（______）块砖。
九、下面图形是圆柱的是（）。 A . B . C . 十、下图右面的4小块布料中，哪一块是从这块布上剪下来的?把序号填在框里______。 十一、按要求涂色。
十二、数一数，填一填。 （1）填写表格 （2）一共有______个图形；（3）你还有什么发现？ 十三、动动手，涂一涂。涂方格比50少一些。
涂方格比12多得多。 根据要求涂方格，涂方格和40差不多。 十四、动动脑，看一看，填一填。 （1）从不同方向观察同一物体，看到的形状可能______。 （2）观察物体，画画在指定位置看到的图形。 在上面看______，在前面看______，在侧面看______ 。 十五、想一想，填一填。 （1）三角形比长方形少______条边，六边形比三角形多______条边。 （2）要拼一个大正方形最少需要______个小正方形，或______个小三角形。
二次型的几何分类及其应用
二次型的几何分类及其应用 田金慧 内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。 在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。 关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言 在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。 因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。 但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，
并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。 本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型 所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1） 称为n 元二次型，简称二次型【2】。 当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。 若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2） 其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵
二次型与二次曲面
第七章 二次型与二次曲面 二次型的定义 定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式 ()ji ij n i n j j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==11 21 称为n 元二次型或二次形式。当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。 例：()32212 13213x x x x x ,x ,x x Q +-= 例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-= ()() () ????? ???????????????????=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n n nn n n n n n n n n ji ij n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 21212222111211212 22112222 221221112112211111 21 令()()T ij T n A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q T n = 21， 称A 为二次型的矩阵。
()x x x x x x x ,x ,x x Q T ??????? ? ? ?--=+-=02 302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且 r (A )=n . ()∑∑ ===n i n j j i ij n x x |A| A ,x ,,x x Q 11 21 矩阵的相合 设n n ,β,,ββ,,α, ,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即 ()()P ,α, ,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为 ()()T n T n ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121== 则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）： x P y Py x 1 -==或。 则 ()()() y AP P y APy Py Ax x αQ T T T T === 称同一个二次函数()αQ 在不同基下所对应的两个二次型 Ax x T 和()By y y AP P y T T T =是等价的。 定义：给定两个n 阶方阵A 和B ，如果存在可逆矩阵P ，使得B =P T AP ，则称B 与A 相合（或合同）。
常见的空间曲面与方程
常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。 1. 平面 空间中平面的一般方程为 0a x b y c z d +++= 其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。 例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表示空间中的平面， z yoz 平面（x =0） y y x 图8-6（a ） 图8-6 (b) 图8-6 2. 柱面 与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面，称为柱面， l 为母线，C 为准线。 如图8-7所示 图8-7 图8-8
例如，222x y R +=表示空间中母线平行于z 轴，准线是xoy 平面上的圆222x y R +=的 圆柱面的方程，简称圆柱面图（8-8）。 3. 二次曲面 三元二次方程 222 1231 2 31230a x a y a z b x y b y z b z x c x c y c z d +++ ++++++= 所表示的曲面称为二次曲面，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0. 二次曲面有以下几种标准形式，它们分别为： 球面： 图8-9 椭球面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10 图8-9 图8-10 单叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11 双叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R + += >x z
二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论 教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 . 研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 . 教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 . 基本概念 二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程 2 2 2 a 11x a 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1) 所表示的曲面 . 虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号 F(x,y,z) F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14 F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 44 2 2 2 (x, y,z) a 11x 2 a 22 y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 1 (x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2 (x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z 2 a 11 x 22 a 22 y a 33 z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44
一年级2021年下学期数学几何图形分类
一年级2021年下学期数学几何图形分类 一、看图填空。 （1）大正方形是由______个图形组成的。 （2）一套七巧板有______块，其中______号和______号、______号和______号大小一样。 （3）______号图形是平行四边形。 二、看一看，填一填。 （1）想一想，______个正方形（2）有______个长方形 （3）想一想，______个正方形（4）数一数，______个三角形 三、计算下列各式。
如果△=2，○=3，□=5，那么 □+○+△=______ △+○-□=______ △+△-○=______ □+□-□=______ 四、我会填序号。 第______号是长方形，第______号是正方形。 五、下面图形是长方体的是（）。 A . B . C . 六、模仿，用七巧板拼一拼。 我用了______形和______个______形。 七、拼成的图形中没有用到哪种图形？请在下面的括号里画“√”。
八、找一找雪娃娃身上的图形。 长方形有______个，正方形有______个，圆有______个，三角形有______个。 九、看一看，填一填。
有______个。 十、拼一拼，想一想，拼出的图形像什么? 十一、观察实物，填出里面的图形。 _______________________________________________________________ 十二、圈一圈。（请你找出用右侧哪一个物体可以画出左侧的图形，用笔圈出来。）
十三、数一数，有多少个长方形，有多少个正方形。 ______ 个长方形，______个正方形。 十四、看一看，填一填。 请你分别找出图形的影子，图形①的影子是______；图形②的影子是______；图形③的影子是______。
小学四年级数学《图形分类》优秀教案范例【三篇】
小学四年级数学《图形分类》优秀教案范例【三篇】这部分内容是在学生认识了一些立体图形、平面图形的基础上进行教学的。主要是让学生经历具体的图形分类活动，对已学过的一些图形进行归类和梳理，了解图形的类别特征以及图形之间的联系。下面就是小编给大家带来的小学四年级数学《图形分类》优秀教案范例，欢迎大家阅读! 教材分析： 学生在四年级之前已经认识了长方体、正方体、圆柱、长方形、正方形、三角形、圆等图形，这些知识在学生头脑里是零散的。本节课是在学生已有知识的基础上引导学生对这些学过的图形进行整理归纳，把这些图形练习在一起，建构初步的图形知识体系，培养学生比较、分类、归纳、概括的能力。同时通过学生动手操作，发现三角形的稳定性与四边形的不稳定性，并利用生活实例，让学生认识到三角形稳定性和四边形不稳定性在生活中的应用。 教学目标： 知识目标:通过具体的分类活动,整理图形,认识不同类别图形的特征。通过实际操作，体会到四边形的不稳定性及三角形稳定性，认识这些特性在日常生活中的应用。 情感目标:在图形的认识的活动中,重视培养学生应用数学知识解决问题的能力。在实践活动中,体验探索的过程,提高自主探索、合作交流的能力。 技能目标:能根据图形的特征,将图形按一定的标准分类。 教学重点： 能够按照一定的标准对图形进行分类。 教学难点： 体会四边形的不稳定性和三角形的稳定性。 教学准备： 由硬纸片做成的各种平面图形,长方体、正方体、圆柱、球等立体模型。 教学过程： 一、复习提问，引入新课。 展示课件，提问：我们以前已经学过哪些图形?
教师根据学生回答画出或找出相应的图形模型。 想一想：你能不能根据各图形的特征进行分类呢?教师板书课题：图形分类 (一)分一分：让学生独立尝试分类，采用标号的方式进行。(也可以画出图形来分类)。并与同桌交流分类的方法。 汇报与交流：分小组汇报分几类及分的理由。 立体图形和平面图形 (1)立体图形; (2)平面图形的长方形、正方形、三角形和平行四边形(线段围成的)。 师：刚才我们分出的平面图形还能再分类吗?试一试。 1.平面图形(根据是否线段围成) 长方形、正方形、三角形、平行四边形、 (五边形…) 圆形 2.平面图形(根据角的数量或根据边的数量) 长方形、正方形、三角形、平行四边形三角形 3.平面图形(根据是否有直角组成) 长方形、正方形。三角形、平行四边形。 师生共同小结分类的方法。 二、实践活动：(探究四边形和三角形的特征) 1.学生拿出准备好的活动四边形和三角形。 师：拉一拉，你发现了什么?同桌交流。 2.汇报与板书。 小结：平行四边形易变形，不具有稳定性。三角形具有稳定性。 3.展示课件。观赏这些图形的性质在生活中的应用。 三、巩固与应用。 断一断
二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论 教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类. 研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充. 教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念 二次曲面: 在空间,由三元二次方程 022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1） 所表示的曲面. 虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 ≡ ),,(z y x F 44 342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡ yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φ z a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φ
一年级数学下册几何图形分类完整版人教版
一年级数学下册几何图形分类完整版人教版 一、看图，看看有多少个三角形。（复合出的图形也算） ______个 二、把一张正方形纸剪成大小相等的两块，你能想出4种不同的剪法吗?请你画一画。 三、照样子用同样长的小棒搭正方形，想一想，最少要用几根? 搭1个用4根搭2个用7根搭3个用______根搭4个用______根四、分一分，填一填。
长方形______ 正方形______ 三角形______ 圆______ 五、动动脑，看一看，填一填。 有______个圆，______个长方形，______个正方形。 六、动动手，分一分。 把一个长方形分成一个正方形和两个长方形。 把一个长方形分成三个三角形。 七、我会画。
八、动动脑，想一想，填一填。 （1）铁罐装可乐的形状是______。 （2）用2块完全一样的正方体可以拼成一个______。 （3）用手摸一摸，圆柱上下两个面，它们的大小______。 （4）长方体有______个面，正方体有______个面。 九、看一看，填一填。 观察七巧板，其中三角形有______个，正方形有______个，还有一个是______。 十、把下面的点用直线连起来．
正方形： 长方形： 正方体： 长方体： 十一、观察实物，填出里面的图形。 _______________________________________________________________ 十二、聪明屋，数一数，填一填。 （1）数一数下图有（______）个三角形。
（2）还缺（______）块砖。 十三、妈妈让小强像下图那样把图形穿成一串儿。告诉他再在右面穿对两个就可以了。小强还要穿上哪两个图形?请你圈出来。 十四、按规律接着涂一涂、画一画、填一填。
青岛版一年级下册数学几何图形分类完整版
青岛版一年级下册数学几何图形分类完整版一、给○涂上颜色。 二、用七巧板拼一拼。 （1）用哪几块图形______可以拼成一个大三角形? （2）用哪几块图形______可以拼成一个大正方形? 三、从右面选两个图形拼成左面的图形______。
四、想一想，填一填。 （1）三角形比长方形少______条边，六边形比三角形多______条边。 （2）要拼一个大正方形最少需要______个小正方形，或______个小三角形。（3）七巧板是由______种图形组成，其中有______个□，有______个△ （4）黑板的面是______形，地板砖的面是______形，红领巾的面是______形，硬币的面是______形。 （5）正方形有______条边，长方形有______条边，三角形有______条边。 五、看一看，填一填。 观察七巧板，其中三角形有______个，正方形有______个，还有一个是 ______。 六、圈出合适的图形。
七、找2个和左上角形状相同的图形，涂一涂。 八、把有关系的两个图形连起来。 九、看一看，填一填。 有______个。 十、观察实物，填出里面的图形。
_______________________________________________________________ 十一、想一想，数一数 下图中有______个三角形。 十二、填出拼图所用的图形和个数。 这朵七色花中有______个______和______个______。
十三、我能数一数，填一填。 有______ 个长方形；有______ 个正方形； 有______ 个三角形；有______ 个圆形。 十四、想一下，填一填。 （1）用______根小棒可以摆一个长方形；用______根小棒可以摆一个三角形。（2）长方形有______条边，正方形有______条边，三角形有______边。 十五、我会填序号。 第______号是长方形，第______号是正方形。
二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.
第八章二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论 在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用?本章主要介绍二次 型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题 § 8.1二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 ax bxy cy dx ey f 0 (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去 xy项，通常的坐标变换公式为： x x cos y sin (1.2) y x sin y cos 从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关 键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只 考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式： 2 f (X1,X2 ,L ,X n) 印必242X1X2 L 2a1n X1X n 2 a22X2 2a23X2X3 L 2a2n X2X n (1.3) 1 2 2 2 L a n 1,n 1 x n 1 2a n 1,n x n 1 x n a nn x n 称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果 数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即 2 2 2 f(X1,X2丄，X n) d j X1 d2X2 L d n X n 称为标准形式的二次型，简称为标准形. 说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便 例8.1.2下列多项式都是二次型： 2 2 f (x, y) x 3xy 3y f (x, y,z) 2x22xy 3xz y24yz ，3z2 F列多项式都不是二次型
《图形分类》说课稿
《图形分类》说课稿 一、说教材 《图形分类》这部分内容，是本册教材《认识图形》这一单元的起始课。本课教材的教学是建立在之前认识了立体图形、平面图形的基础上，让学生经历具体的图形分类活动，对已学过的一些图形进行归类和梳理，了解图形的类别特征以及图形之间的关系；并在教材中安排了实践活动，“看一看，说一说”让学生举出三角形和平行四边形在生活中的运用事例，接着又设计活动“拉一拉”让学生通过动手操作明白三角形的稳定性比四边形好以及三角形稳定性在生活中的运用。 二、说学情 目前学生已经有了初步的体验，认识了长方形、正方形、三角形、平行四边形等这些基本的平面几何图形，并了解了它们各自的特征，对分类有了一定的基础，对本节课的教学有一定的帮助。 教学目标： 1.能对简单几何体和图形进行分类，了解图形的类别特征以及图形之间的关系，并能运用这些知识解释一些生活中的现象。 2.经历观察、操作、猜想与验证等实践活动，在合作与交流中，获得良好的数学情感。 3.通过图形在生活中的广泛运用，感受到数学知识与生活息息相关，激发对数学学习的兴趣。 教学重点： 了解图形的类别特征以及图形间的关系，会对图形进行有规律的分类并运用所学知识来解释生活现象。 教学难点： 通过观察和操作，体会平行四边形的不稳定性及三角形的稳定性。 为了更好地达到教学目标，突出重点，突破难点，本节课还将借助多媒体教具来更好的完成教学目标。 三、说教具学具 为帮助学生轻松愉快地完成本节课的学习任务，达到既定的教学目标，突破
重难点，教师在课前认真准备了如下教具，并要求学生也准备相应的学具。 教具准备：多媒体演示课件、各类平面图形若干 学具准备：各类平面图形若干 四、说教法与学法 现代教学的目标不只是使学生“学会”，而更重要的是要让学生“会学”。也就是达到最终目标：“教是为了不教”。因此，教师应该让学生在教学活动中学习数学，发现问题，“创造”新知识，并在这个过程中培养学习兴趣，发展智慧，增长才干。在教学中，我注意采用谈话式、讨论式、活动式的教学，实施小组合作的教学模式，力争体现如下的教学理论： 1、主客体发展统一论。学生是教育的客体，又是学习的主体。学生在学习过程中具有主观能动性，能自觉地改进自己的学习，是学习的主人。因此，教学活动应充分发挥教师的主导作用，使学生的主体地位得到落实。 2、有目的地运用交谈和启发引导的方法进行教学。让学生通过观察、比较、探究、实践操作、归纳、尝试等活动形式的学习，增强学生学习几何知识的兴趣，形成表象，发展空间观念。 五、说教学流程 课堂教学只有目标和教具还不行，关键还是得有可行有效的教学流程。 《数学课程标准》指出：“数学教学是数学活动的教学。”本着创造性的利用教材，按课程标准来上课的理念，在本节课的教学中我修改和重组了教材，通过利用故事一条线以及多媒体辅助教学等手段，努力贯彻“数学教学是数学活动的教学”的理念，将抽象的数学知识转变为丰富有趣的数学活动，让学生在活动中实践，在活动中探究，在活动中感悟，体验数学学习的愉快和乐趣，力争让学生在数学活动中不仅获得了知识，同时亲身经历和体验了知识获得的过程。为此，本人设计了如下教学流程： （一）创设情景，导入新课 一上课，我准备口述创设教学情境，激发学生学习的兴趣，从而导入新课的教学。我说“今天我在来学校的路上遇到了几个老朋友，他们说有好长一段时间没与我们的同学见面了，挺想咱们的。所以硬是哀求我带它们来参加我们今天的这堂课。我那会就说了，我们的同学可能早把你们给忘记了，还是我回去跟他们
高数下册常用常见知识点
高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 ； 6、 7、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 | （二） （三） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2 a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?=
大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //? =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （四） 曲面及其方程 1、 ] 2、 曲面方程的概念： ),,(:=z y x f S 3、 旋转曲面：（旋转后方程如何写） yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 4、 柱面：（特点） 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 5、 @ 6、 二次曲面（会画简图） 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 2222=++c z b y a x
二次曲面的分类
二次曲面的分类 在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成 222111222333121213132323141242343442222220a x a x a x a x x a x x a x x a x a x a x a +++++++++=即 ()1112 1311232122232141242343443132 333,,2220a a a x x x x a a a x a x a x a x a a a a x ???? ???++++= ??? ??????? ， 其中，ij ji a a =. 记123x X x x ?? ?= ? ???，那么实二次型()1112131123123212223231 32333(,,),,a a a x x x x x x x a a a x a a a x ???? ???Φ= ??? ???????的矩阵为111213212223313233a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???，通过正交线性替换X TY =，其中123y Y y y ?? ?= ? ??? ，有 122221122333(,,)''(')'x y z X AX Y T AT Y Y Y y y y λλλλλλ?? ?Φ====++ ? ?? ?， 其中123,,λλλ是实对称矩阵A 的全部特征值，它们与正交矩阵T 无关，由矩阵A 唯一确定. 这样，在上述正交线性替换X TY =下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 222112233141242343442220y y y b y b y b y a λλλ++++++=. 最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面： （一）假设123,,λλλ都非零，即0A ≠，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去 一次项后可以变为2221122330z z z d λλλ+++=的形式。进而得到： 1. 椭圆面 2223122221z z z a b c ++=； 2. 虚椭圆面 2223122221z z z a b c ++=-；
一年级数学下学期几何图形分类精编北师大版
一年级数学下学期几何图形分类精编北师大版 一、动动脑，填一填，选一选。 （1）正方形纸沿两条对角连线对折，得到的图形是______个，______ 大小的______形。 （2）判断，对的画“√”，错的画“×”。 1.“正方形剪去一角剩三角”（） 2.“圆形就是圆球”（） 3.“小方块，就是正方形”（） 二、将下面图形的序号填上横线上。 长方形______正方形______三角形______圆______平行四边形______ 三、看一看，填一填。 请你分别找出图形的影子，图形①的影子是______；图形②的影子是______；图形③的影子是______。
四、想一想，填一填。 （1）三角形比长方形少______条边，六边形比三角形多______条边。 （2）要拼一个大正方形最少需要______个小正方形，或______个小三角形。（3）七巧板是由______种图形组成，其中有______个□，有______个△ （4）黑板的面是______形，地板砖的面是______形，红领巾的面是______形，硬币的面是______形。 （5）正方形有______条边，长方形有______条边，三角形有______条边。五、把一张正方形纸剪成大小相等的两块，你能想出4种不同的剪法吗?请你画一画。 六、数一数，有多少个长方形，有多少个正方形。
______ 个长方形，______个正方形。 七、妈妈让小强像下图那样把图形穿成一串儿。告诉他再在右面穿对两个就可以了。小强还要穿上哪两个图形?请你圈出来。 八、猜一猜，下面的图形折成正方体后，数字的对面是谁？ 6的对面是______；4的对面是______。 九、看图填空。
图形的分类
一、对教材的分析和学生的认识 1、教材分析 关于“角”，学生在二年级已有初步的接触，但是大都属于直观的描述,现在是在二年级的基础上恰当抽象出图形的特征,系统学习角的概念、角的度量、角的分类和角的画法等等。角的分类是在学生已初步认识角，会用量角器量角的基础上进一步认识平角、周角，根据角的度数分类，区分直角、平角、锐角、钝角和周角。 2、学生分析 学生在日常生活中接触了很多的大小不同的角，但对常见的角的分类的知识，生活中接触很少，显得比较抽象。小学四年级的学生抽象思维虽然有一定的发展，但依然形象具体思维为主，分析、综合、归纳、概括能力较弱，有待进一步培养。 二、教学体会 而数学来源于生活，我们的日常生活就是学习数学的大课堂，是探索问题的广阔天地，把所学的知识运用到生活实践中，是数学学习的最终目的。因此，我从生活实际出发，让学生自己捕捉生活素材，然后从生活经验和已有知识背景出发，使他们获得主动探究数学的快乐。 1、利用知识迁移引入，同时体现数学源于生活。 课堂伊始，我让学生回忆角的概念和如何去量角等已经学过的知识，为本节课新知识的学习做铺垫，接着出示生活中常见的钟面，让学生用量角器量出钟面上时针和分针所成的度数，量出度数后提问：你能根据这些角的大小对角进行分类吗？学生产生疑问，接着我说：学了这节课的知识，大家就能对角进行分类了。这样顺理成章的利用生活中的知识引入新课，体现知识源于生活。 2、让学生动手操作体验知识的形成过程
对于直角，学生在二年级的时候已经有了很深的印象，因此在学习直角时，我直接让学生利用长方形纸折出直角，然后用量角器量出直角的度数，让学生更准确的知道直角是多少度。在学习锐角和钝角时，我都是让学生用活动角去感受它们是比直角大还是比直角小，而对于平角和周角的学习，也是通过学生动手用活动角旋转而感受它们的形状，并通过用量角器量而得出度数。这样学生在动手操作的过程中充分感受了各种角的形成过程，而且对度数的取值范围以及准确的度数也有了很深的印象。 3、给予学生丰富的学习资源和足够的学习空间。 （1）给学生提供丰富的学习资源：长方形、活动角等。利用学具的直观性特点，组织学生折一折、转一转，在直观操作中体会各种角的形成。给学生提供形象直观的课件，使学生一目了然。 （2）促使探究活动的开展和深化。让学生通过实践操作、观察、思考、归纳，经历探索新知的过程，体会探索成功的喜悦，并在教师的恰当引导下把探索过程引向深入。