线性代数矩阵习题课

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数教学教案第一章线性方程组与矩阵授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为

n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，

a b+

21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：

2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.

授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .

线性代数知识点总结

大学线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式

刘三阳线性代数第二版第一章标准答案

刘三阳线性代数第二版第一章答案

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第一章矩阵及其应用习题解答本章需要掌握的是： 1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加、减、数乘和乘法）； 2）方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质； 3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质； 4）分块矩阵的运算规则； 5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵； 6）三种初等矩阵，以及定理1.4（左乘行变，右乘列变）、1.5、1.6和1.7；7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。 1、设方阵A满足，求。题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即。因此无论题中给出的有关矩阵A的多项式（如本题是）多么复杂，只需要把该多项式配方成“（所求逆的表达式）*（配方后的因子）=E”即可，即本题是要配成（A-E）*(?)=E。解： %配出2003A可提取的（A-E） %配出1998可提取的（A-E） %提取公因式（A-E） %将只有单位阵的那一项移至等式右端 %写成“AB=BA=E”的形式

%由逆阵定义可知巩固练习：教材第38页第13题 2、设，求。其中k为正整数。题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。解题思路为依次计算最多到，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。解：，，因此推论，用数学归纳法证明如下： 1）当k=1时，成立； 2）假设当k=n-1时，上式成立，即，则有当k=n时，也成立。所以巩固练习：教材第41页二、填空题（3） 3、设A=E-uu T ，E为n阶单位阵，u为n维非零列向量，u T 为u的转置，证明：1）A2=A的充要条件是u T u=1； 2）当u T u=1时，A是不可逆的。题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。解题思路首先要明确u为n为非零向量是指u是一个只有一行或一列的矩阵，题中有即告诉我们u是一个n*1阶列矩阵即列向量。

线性代数第一章行列式试题及答案

如何复习线形代数线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，第一章行列式一.概念复习 1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j 即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a ……… a n1 a n2…a nn 这里 n j j j 2 1 表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 3、对角行列式计算

线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素及另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 2322 21 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

(精选)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__125____，|2A|=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设）（则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ；（B)―12 ；（C ）12 ；（D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ）（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4，则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式

华东理工大学线性代数第一章矩阵复习

矩阵第章第一章矩阵

矩阵乘法转置求逆运算规律 1、矩阵乘法、转置、求逆运算规律); ()(BC A C AB =)); (),()()(为数其中λλλλB A B A AB ==A ; )(, )(CA BA A C B AC AB C B +=++=+. I A A A I n n m n m n m m ×××==般地则称若一般地，,,BA AB BA AB =≠B A 与. 是可交换的矩阵乘法一般不满足消去律，即： . Y X AY AX ==一般推不出

逆矩阵定义,, 使如果存在矩阵阶方阵为设B n A ( 矩阵、满或非奇异的、非退化的是可逆的则称矩阵A I BA AB ==的逆矩阵唯的. ),的逆矩阵称为且矩阵秩的A B . ,, 1 A A A ?的逆的逆矩阵是唯一的则有逆矩阵若A 矩阵记作

()() ; 1A A T T =() A A =??1 1()();2T T T B A B A +=+() ;1 1 1 ???+≠+B A B A ()(); 3T T A A λλ=T (). 111 ??=A A λ λ()(). 4T T A B AB =() . 1 11 ???=A B AB (?()). T T A A 11 ? =

一些特殊的矩阵2些特殊的矩阵对称矩阵 T . ,,为对称矩阵则称如果阶方阵为设A A A n A =反对称矩阵 ,,为反对称则称如果阶方阵为设A A A n A T ?=. 矩阵幂等矩阵 . ,,2 为幂等矩阵则称如果阶方阵为设A A A n A =

正交矩阵 A A ,,正交矩阵为则称如果阶方阵为设A I A A n A T T ==.对角矩阵其余素全角线阶阵,,其余元素全如果主对角线以外阶方阵为设n A . ,为对角矩阵则称为零 A

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章行列式 (一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列与逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理),n阶行列式得定义 3、行列式得性质 4、n阶行列式,元素得余子式与代数余子式,行列式按行(列)展开定理 5、克莱姆法则 (二)基本要求 1、理解n阶行列式得定义 2、掌握n阶行列式得性质 3、会用定义判定行列式中项得符号 4、理解与掌握行列式按行(列)展开得计算方法,即 5、会用行列式得性质简化行列式得计算,并掌握几个基本方法: 归化为上三角或下三角行列式, 各行(列)元素之与等于同一个常数得行列式, 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则得条件及结论会用克莱姆法则解低阶得线性方程组 7、了解个方程个未知量得齐次线性方程组有非零解得充要条件第二章矩阵 (一)要点 1、矩阵得概念矩阵就是一个矩阵表。当时,称为阶矩阵,此时由得元素按原来排列得形式构成得阶行列式,称为矩阵得行列式,记为、注:矩阵与行列式就是两个完全不同得两个概念。 2、几种特殊得矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵 3、矩阵得运算;矩阵得加减法;数与矩阵得乘法;矩阵得转置;矩阵得乘法 (1)矩阵得乘法不满足交换律与消去律,两个非零矩阵相乘可能就是零矩阵。如果两矩阵与相乘,有,则称矩阵与可换。注:矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵得幂:对于阶矩阵及自然数,

规定,其中为单位阵、 (3) 设多项式函数,为方阵,矩阵得多项式,其中为单位阵。 (4)阶矩阵与,则、 (5)阶矩阵,则 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵可逆,则其逆矩阵就是唯一得);矩阵得伴随矩阵记为, 矩阵可逆得充要条件;逆矩阵得性质。 6、矩阵得初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换与初等矩阵得关系;矩阵在等价意义下得标准形;矩阵可逆得又一充分必要条件:可以表示成一些初等矩阵得乘积;用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵得秩:矩阵得阶子式;矩阵秩得概念;用初等变换求矩阵得秩 8、矩阵得等价 (二)要求 1、理解矩阵得概念;矩阵得元素;矩阵得相等;矩阵得记号等 2、了解几种特殊得矩阵及其性质 3、掌握矩阵得乘法;数与矩阵得乘法;矩阵得加减法;矩阵得转置等运算及性质 4、理解与掌握逆矩阵得概念;矩阵可逆得充分条件;伴随矩阵与逆矩阵得关系;当可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算得方法 (1)在对矩阵得分法符合分块矩阵运算规则得条件下,其分块矩阵得运算在形式上与不分块矩阵得运算就是一致得。 (2)特殊分法得分块矩阵得乘法,例如,,将矩阵分块为 ,其中就是矩阵得第列, 则又如将阶矩阵分块为,其中就是矩阵得第列、 (3)设对角分块矩阵 ,均为方阵, 可逆得充要条件就是均可逆,,且

线性代数第一章+矩阵习题辅导

第一章矩阵 §1.1基本要求、重点、难点内容 1.1.1基本要求 1.熟练掌握矩阵的各种运算及其运算规律; 2.理解逆阵定义与性质,掌握逆阵计算方法; 3.熟练掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质; 4.掌握初等变换化矩阵为行阶梯矩阵、行最简矩阵方法; 5.了解矩阵的标准形,理解矩阵秩的定义,掌握用初等变换求矩阵秩的方法; 6.了解分块矩阵及其运算,掌握分块矩阵初等变换; 7.了解矩阵秩的等式与不等式. 1.1.2重点内容 1.矩阵运算; 2.初等变换、矩阵的相抵; 3.求逆阵、矩阵的秩. 1.1.3难点内容 1.分块矩阵及其初等变换; 2.矩阵秩的等式与不等式证明. §1.2主要内容 1.2.1矩阵定义定义1.2.1.称m×n个数a ij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)排成的m行n列的矩形表格 a11a12···a 1n a21a22···a 2n

(1.2.1) ············ a m1a m2···a mn 为m×n矩阵,简记为(a ),其中a ij称为矩阵的第i行第j列交叉点上的元素(简称元). ij m×n 注1.本书中的矩阵除特别说明外,都指实矩阵,即矩阵(a ij)m× m×n实矩阵全体记为R m×n,m×n复矩阵全体记为C n中元素a ij为实数. m×n. 2.n×n矩阵称为n阶方阵.方阵A=(a中元素a11,a22,···,a )nn称为A的主对 ij n×n 角元. 1

2第一章矩阵 3.两个m×n阶的矩阵称为同型矩阵或同维矩阵. 定义1.2.2.如果两个同型矩阵A=(a ij),B=(b ij))满足a ij=b ij(i= m×n m×n 1,2,···,m;j=1,2,···,n)则称A和B相等,记为A=B. 1.2.2特殊矩阵 1.零矩阵所有元素都为零的矩阵,称为零矩阵,记为0. 2.行向量1×n矩阵称为n维行向量. 3.列向量m×1矩阵称为m维列向量.例如下列n×1矩阵 100 01 ... . . . e1=,e2=. .,···,e n=., 000