工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题
第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02---;
解 3
811411
02---
=2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4;
解逆序数为0
(2)4 1 3 2;
解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4)2 4 1 3;
解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n);
解逆序数为
2)1
(-
n
n
:
3 2 (1个)
5 2, 5 4(2个)
7 2, 7 4, 7 6(3个)
??????
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2.
解逆序数为n(n-1) :
3 2(1个)
5 2, 5 4 (2个)
??????
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ? ? ? ? ? ?
(2n )2, (2n )4, (2n )6, ? ? ?, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项. 解 含因子a 11a 23的项的一般形式为
(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,
其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是
(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44, (-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:
(1)71100251020214
214; 解 71
1
02510202142140
1
00142310
20211021
473234
-----======c c c c 34)1(1431022110
14+-?---= 143102211014--=014
171720010
99323211=-++======c c c c .
(2)2
605232112131412-;
解 2605232112131412-26050
321
2213041224--=====c c 0
41203212213
041224--=====r r 00
00032122130
41
2
14=--=====r r . (3)ef
cf bf de cd bd ae
ac ab ---;
解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e
c b adf ---=
abcdef adfbce 41
111111
11=---=.
(4)d
c b a 100110011001---. 解
d c b a 100110011001---d
c b a
ab ar r 10011001101021---++===== d
c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====c
d c ad
a a
b d
c c
cd
ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:
(1)1
11222
2b b a a b ab a +=(a -b )3;
证明
1112222b b a a b ab a +001
2222
2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====
a
b a b a b a ab 22)1(2
221
3-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)y x z x z y z
y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;
证明
bz
ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx
az bz ay by ax +++++++++
bz ay by ax x by ax bx az z bx
az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=
bz ay y x by ax x z bx
az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22
z y x y x z x
z y b y x z x z y z y x a 33+=
y x z x z y z
y x b y x z x z y z y x a 33+=
y x z x z y z
y x b a )(33+=.
(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2222222
2
222
2222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明 2
2
2
2
2222
2
222
2222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得) 5
232125232125232125
232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得) 02
2
12221222122
2122222=++++=d d c c b b a a . (4)4
4
4
4
22221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明 4
4
4
4
22221111d c b a d c b a d c b a )
()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a
d a c a b ---------=
)
()()(1
11))()((2
22a d d a c c a b b d
c b a
d a c a b +++---= ))(())((001
11))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------=
)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----=
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).
(5)1
22
1 1 000 0
0 10
00 01a x a a a a x x x
n n n +?
??-????????????????
?????-???---Λ=x n +a 1x n -1+ ? ? ? +a n -1x +a n .
证明 用数学归纳法证明.
当n =2时, 2121
221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ? ? ? +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有
1
11
00 100 01
)1(11-?????????????????????-???--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ? ? ? +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.
6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转
90?、或依副对角线翻转, 依次得
n nn n a a a a D 11111 ???????????????=, 11112 n nn n a a a a D ???????????????= , 11
113 a a a a D n n
nn ???????????????=,
证明D D D n n 2
)
1(21)
1(--==, D 3=D .
证明 因为D =det(a ij ), 所以 n
nn n n n n
nn
n a a a a a a a a a a D 2211
111
111111 )1( ?
?????????????????-=???????????????=- ???=?
????????????????????--=-- )1()1(331
1
221
11121n
nn n n
n n n a a a a a a a a D D n n n n 2
)1()
1()2( 21)1()1(--+-+???++-=-=.
同理可证
nn
n n n n a a a a D ???????????????-=- )1(11112
)1(2D D n n T n n 2)
1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2
)1(2
)1(22
)1(3)1()
1()
1()1(.
7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a
a D n 1 1???=
, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素
都是0; 解 a
a a a a D n 0
1
0 000 00 00
0 00
10 00?
????????????????????????????????=(按第n 行展开) )
1()1(1
0 000 0
0 00
0 001
0 000)1(-?-+??????????????????????????????-=n n n a
a a )1()1(2 )1(-?-????-+n n n a a a
n n n n
n a a a
+?
??-?-=--+)
2)(2(1
)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).
(2)x
a a a x a a a x
D n ?????????????
????????= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 a
x x a a
x x a a x x a a a a x D n --??????????????????--???--???=00
0 0 00 0
, 再将各列都加到第一列上, 得
a
x a
x a x a
a
a a n x D n -??????????????????-???-???-+=0000 0 000
0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.
(3)1
11 1 )( )1()( )1(1
1
11???-?
????????-?
?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n
n n n ; 解 根据第6题结果, 有
n
n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a
D )( )1()( )1( 11 11)1(1
112)1(1-???--?????????-?
?????-???-???-=---++
此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=1
12
)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D
∏≥>≥++---=112
)1()]([)1(j i n n n j i
∏≥>≥++???+-++-?
-?-=1
12
1
)1(2
)1()()1()1(j i n n n n n j i
∏≥>≥+-=1
1)(j i n j i .
(4)n
n
n
n
n d c d c b a b a D ????????????=
1
1112; 解
n
n
n
n
n d c d c b a b a D ?
?????
??????=
1
1112(按第1行展开) n
n n n n n
d d c d c b a b a a 000
11111111
----?
???????????=Λ
0)
1(111
1111
1
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+??????
??????-+. 再按最后一行展开得递推公式
D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=n
i i i i i n D c b d a D 222)(.
而 11111
11
12c b d a d c b a D -==
, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 1
2)(. (5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,
4321 4 0123
3 10122 2101
1 3210)det(???----??????????????????-???-???-???-???==n n n n n n n n a D ij n 0 4321 1 11111 11111 1111
1 1111 2132???----????????????????
?????----???---???--???--???-=====n n n n r r r r 1
5
242321
0 22210 02210 0021
0 0001 1213-???----????????????????
?????----???---???--???-+???+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)n
n a a a D +??????????????????+???+=1 1
1 1 111
1
12
1, 其中a 1a 2 ? ? ? a n
≠0.
解
n
n a a a D +??????????????????+???+=1 1
1 1 111
1
12
1 n
n n n a a a a a a a a a c c c c +-???-??????????????????????
?????-???-???-???-=====--10
0001 000 100 0
100 0100 00
113322
1
2132
1
1
1
1
3
1
2
1
121110
00011 000 00 110
00 011
00 001 ------+-???-????
???????????????????????-???-??????=n
n n a a a a a a a a
∑=------+?????????????????????????
??????????????=n i i n n a a a a a a a a 1
1
11
131******** 0001
0 000 00 100
00 01000 001
)11)((121∑=+=n
i i n a a a a Λ.
8. 用克莱姆法则解下列方程组:
(1)?????=+++-=----=+-+=+++0112325322
4254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 因为
14211
2135132
41211
111
-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 28411
2035122
4121
1
15
12-=-----=D ,
426110135
232
42211511
3-=----=D , 1420
21321322121
5
11
14=-----=D , 所以 111==
D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==D
D
x . (2)??
?
????=+=++=++=++=+15065065065165545434323
212
1x x x x x x x x x x x x x .
解 因为 6655
1
000
6510006510
0651
00065==D , 1507510016510006510
00650
000611==D , 11455101065100065000
06010001
52-==D , 70351
1
6500006010
00051
001653==D , 3955
1
60100005100
0651010654-==D , 2121
10000510006510
0651
100655==D , 所以
66515071=x , 665
11452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .
9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组?????=++=++=++0200
321321321x x x x x x x x x μμλ有非
零解?
解 系数行列式为
μλμμμλ-==1
21111
1D .
令D =0, 得 μ=0或λ=1.
于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.
10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组?????=-++=+-+=+--0)1(0)3(20
42)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有
非零解?
解 系数行列式为
λ
λλλλλλ--+--=----=1011124
31111132421D
=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得
λ=0, λ=2或λ=3.
于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
?????++=++=++=3
21332123
2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:
?
???
?????? ?
?=???? ??221321323513122y y y x x x ,
故 ???? ?????? ?
?=???? ??-3211
221323513122x x x y y y ?
???
?????? ??----=321423736947y y y ,
?????-+=-+=+--=321332123
211423736947x x x y x x x y x x x y .
2. 已知两个线性变换
?????++=++-=+=321332123
11542322y y y x y y y x y y x ,
?????+-=+=+-=3
233122
11323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.
解 由已知
???? ?????? ?
?-=???? ??221321514232102y y y x x x ???
?
?????? ??--???? ??-=32131
010
201
3514232102z z z ???
?
?????? ??----=321161109412316z z z ,
所以有?????+--=+-=++-=3
21332123
2111610941236z z z x z z z x z z z x .
3. 设???? ??--=111111111A , ????
??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .
解 ????
??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB
????
??----=???? ??---???? ??-=229420172
22132
11111111120926508503, ???
? ??-=???? ??--???? ??--=092650
850
150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:
(1)???
?
?????? ??-127075321134;
解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374????
??=49635.
(2)???
?
??123)321(;
解 ???
?
??123)321(=(1?3+2?2+3?1)=(10).
(3))21(312-???
?
??;
解 )21(312-????
?????? ???-??-??-?=23)1(321)1(122)1(2???
?
?
?---=6321
42. (4)????
? ??---??? ??-20
4
131210131
43110412 ; 解 ????
?
??---??? ??-20
4
131210131
43110412??? ??---=6520876.
(5)???
?
?????? ??321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;
解
???
?
?????? ??321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x
=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)???
?
??321x x x
3223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5. 设??? ??=31
21A , ??
? ??=2101B , 问:
(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .
因为??? ??=64
43AB , ??
? ??=8321
BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.
因为??? ??=+52
22B A , ??? ?
???? ?
?=+5222
52
22)(2B A ??
? ??=2914148,
但 ??? ??+??? ??+??? ??=++43011288611483222B AB A ??? ??=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
同济大学线性代数第六版答案(全)
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)
同济大学线性代数试卷题库 (7)
2009—2010学年第二学期 课名:线性代数(2学分) 一、填空与选择题(24分) 1、 已知m 阶方阵A 与n 阶方阵B 的行列式值分别为,a b ,且0ab ≠,则 1 1030T A B --??-= ??? ______a b m n ) ()3(+-_____________. 解:化简后可得11-300 m n T A B +-?? ??? () 由拉普拉斯定理 ,分母为-1T A B ,所以得到a b m n ) ()3(+- 2、 设100220333A ?? ?= ? ??? ,其伴随矩阵为* A ,则()1*A -=____A 61______. 解:先化简,由伴随矩阵的性质*-1 A A A =,() 1 *-1-1 11 6 A A A A A A -== =() 3、 若3阶方阵A 满足20A E A E A E +=+=-=,则253A A E --=___-231___________. 解:看到这种形式请立刻联想到特征值,20A E A E A E +=+=-= 由这几个等式,我们可知A 的三个特征值为-1,-2,1.而A 为3阶方阵,说明它只有3个特征值,现在,我们来看253A A E --,我们假定253=B A A E --,则根据特征多项式,我们可以分别把A 的三个特征值带进去,得到B 的三个特征值分别为 123 1533 410-3111-5-3-7λλλ=+-=??=+=??==?,在根据特征值之积等于方阵的行列式可知2 53A A E --=-231 4、 已知123,,ααα是3 R 空间的一组规范正交基,则12323ααα-+=__14__________. 解:本题要求的是12323ααα-+的范数,带入公式,由于123,,ααα是3 R 空间的一组规范 正交基(正交基:列向量位单位向量,且每个列向量之间内积为0),于是有 =5、 设二次型22212312313(,,)222T f x x x x Ax ax x x bx x ==+-+,其中0b >,已知A 的全体特征值
《工程数学-线性代数》试卷(C)
安徽矿业职业技术学院 2011-2012学年第二学期期末考试 《工程数学-线性代数》试卷(C)(时间:120分钟) 课程所在系部:公共课教学部 适用专业:矿井建设与相关专业 考试形式: 闭卷(闭卷/开卷) 命 题 人:马万早 说明:在本卷中,T A 表示矩阵A 的转置矩阵,A*表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式. 1 A -表示方阵A 的逆矩阵,R (A )表示矩阵A 的秩。 一、填空题 ( 每小题2分,共20分) 1. 将行列式的行与列依次互换,行列式 。 2. 设D 为一个三阶行列式,第三列元素分别为-2,2,1,其余子式分别为9,6,2,则D= 。 3. 关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件(1)是 ,(2)是 。 4. n 阶矩阵A 可逆的设A * 为A 的伴随矩阵,则A -1 = 。 5. 若n 阶矩阵满足2 40A A E +-=,则()1 A E --= 。 6. ()10234501?? ? ?= ? ??? , ()10234501?? ? ?= ? ??? 。 7. 设向量组 321,,ααα线性无关,则向量组332211,,,,,βαβαβα线性 。 8. 设A 为三阶矩阵,若 A =5,则 1 -A = , * A = 。 9. n 阶方阵A 的列向量组为 n αααΛ,,21,则r(n αααΛ,,21) 。 10. 非齐次线性方程组A n m ?X=b 无解的条件是 。 二、选择题(10分,每题2分) 1. 1303 1 k k -≠-的充要条件是( ) 。 (a ) k ≠2(b )k ≠4(c ) k ≠2且k ≠4(d )k ≠2或k ≠4 2. A,B,C 为n 阶方阵,则下列各式正确的是( ) (a) AB=BA (b) AB=0,则A=0或B=0 (c) (A+B )(A-B )=A 2 -B 2 (d) ( B+C)A=BA+CA 3. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下述说法正确的是( ) (a) A ,0≠ (b) 1-A 0≠ (c) r(A)=n (d) A 的行向量组线性相关 4. 设矩阵A =(a ij )n m ?,AX=0有非零解的充要条件是( ) (a) A 的行向量组线性无关 (b) A 的行向量组线性相关 (c) A 的列向量组线性无关 (d) A 的列向量组线性相关 5. 向量组 s αααΛ,,21的秩为r,则下述说法正确的是( ) (a) s αααΛ,,21中至少有一个r 个向量的部分组线性无关 (b) s αααΛ,,21中任何r 个向量的线性无关部分组与s αααΛ,,21可互相线性表示 (c) s αααΛ,,21中r 个向量的部分组皆线性无关 (d) s αααΛ,,21中r+1个向量的部分组皆线性相关 三、判断题(正确的划√,错误的划х,共10分,每题2分) 1. 1112111221222122ka ka a a k ka ka a a ???? = ? ? ???? 。 ( ) 2. A 为任意的m n ?矩阵, 则A T A, AA T 不一定都是对称矩阵。 ( ) 3. s αααΛ,,21线性无关,则其中至少有一个部分组线性相关。 ( ) 4. 行列式 0002 00201602002000 = ( ) 5. 若两个向量组可不能线性表示,则它们的秩相等。 ( ) 四、计算 1.计算n 阶行列式(12分)
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
工程数学线性代数课后答案
习题解答 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: 解(1)原式= 2x( - 4) X3 + OX (-1)x(-1)+ 1X1X8 -1x(-4)x(-1)-2X (-1)X8-OX1X3 = -4; (2) 原式=acb 十 bac + cba - c‘ - a 3 - b' =3abc — a 3 — — c 3 ; (3) 原式=1?&?c 2 + l*c*a 2 + l'a*62-l*6*a 2-l*c ,62-l*a*c 2 =be 2 + ca 2 十 ab 2 — ba' — cb 2 ~ ac 2 = c 2(6-a) + aZ>(6-a)-c(A 2-a 2) = (a-6)(Z )-c)(c-a); (4) 原式=x(x + y)y + yx(x + y) + (?r + y)yx - (x + yV - d - =-2(x 3+y ). 2. 按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1) 1 2 3 4; (2) 4 1 3 2; ⑶3 4 2 1; (4) 2 4 1 3; ⑸1 3 …(2n - -1) 2 4 …(: 加) ; (6) 1 3 …(2n - ?1) (In) (2n - 2) … 2. 解(1)此排列为自然排列,其逆序数为0; (2) 此排列的首位元素的逆序数为0;第2位元素1的逆序数为1;第3位元 素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 + 1 + 2 = 4; (3) 此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2;末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5; (4) 类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2, 1,故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3; (5) 注意到这2刃个数的排列中,前n 位元素之间没有逆序对.第n + 1位 元素2与它前面的n - 1个数构成逆序对,故它的逆序数为“?1;同理,第” +2 倍元素4的逆序数为” -2;…;末位元素2n 的逆序数为0.故此排列的逆序数 2 0 1 仃) 1 -4 -1 -1 8 3 1 1 1 ⑶ a b c a 2 b 2 c 2 ? t
同济大学线性代数第五版课后习题答案
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案
第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、
(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)
同济大学线性代数第五版课后习题答案
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a
bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1
(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)
{教育管理}工程数学线性代数课后答案同济五版
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第五章相似矩阵及二次型 1.试用施密特法把下列向量组正交化: (1) ; 解根据施密特正交化方法, , , . (2) . 解根据施密特正交化方法, , , . 2.下列矩阵是不是正交阵: (1); 解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵. (2) . 解该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵. 3.设x为n维列向量,x T x=1,令H=E-2xx T,证明H是对称的正交阵.证明因为 H T=(E-2xx T)T=E-2(xx T)T=E-2(xx T)T =E-2(x T)T x T=E-2xx T,
所以H是对称矩阵. 因为 H T H=HH=(E-2xx T)(E-2xx T) =E-2xx T-2xx T+(2xx T)(2xx T) =E-4xx T+4x(x T x)x T =E-4xx T+4xx T =E, 所以H是正交矩阵. 4.设A与B都是n阶正交阵,证明AB也是正交阵. 证明因为A,B是n阶正交阵,故A-1=A T,B-1=B T, (AB)T(AB)=B T A T AB=B-1A-1AB=E, 故AB也是正交阵. 5.求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解, 故A的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1,由 , 得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,1,-1)T,向量p1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量. (2); 解,
故A的特征值为λ1=0,λ2=-1,λ3=9. 对于特征值λ1=0,由 , 得方程Ax=0的基础解系p1=(-1,-1,1)T,向量p1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1,由 , 得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1,1,0)T,向量p2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9,由 , 得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2,1/2,1)T,向量p3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量. (3). 解, 故A的特征值为λ1=λ2=-1,λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1,由 , 得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,0,0,-1)T,p2=(0,1,-1,0)T,向量p1和p2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值λ3=λ4=1,由 ,
工程数学线性代数课后习题答案
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
《工程数学—线性代数》复习参考资料
《工程数学—线性代数》复习参考资料 ——《线性代数》的复习尤其要求 ....详细阅读人手一册的《综合练习题》授课教师:杨峰(省函授总站高级讲师) 第一章行列式 一、全排列及其逆序数(理解) 1、把n个不同元素排成一列,叫做这n个元素的全排列。(也称排列) 2、对于n个不同元素,先规定元素之间有一个标准次序(例如,n个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有一个逆序,一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列。 例题求排列32514的逆序数 解 3的逆序数为0; 2的逆序数为1; 5的逆序数为0; 1的逆序数为3; 4的逆序数为1; 于是这个排列的逆序数为 5 1 3 1 0= + + + + = t 二、n阶行列式的定义(理解) 定义设有 2 n个数,排成n行n列的数表, a11a12 (1) a21a22 (2) ……………… a n1a n2…a nn 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号t)1 (-,得到形如
n np p p t a a a ???-2121)1( (1) 的项,其中n p p p ???21为自然数n ,,2,1???的一个排列,t 为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n !个,因而形如(1)式的项共有n !项,所有这n !项的代数和 n np p p t a a a ???-∑2121)1( 称为n 阶行列式,记作 nn n n n n a a a a a a a a a D ? ??= 2 1 2222111211 , 简记为)det(ij a ,数ij a 称为行列式)det(ij a 的元素。元素ij a 的第一个下标 i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标,表明该元 素位于第j 列, 三、行列式的性质(掌握) 记 nn n n n n a a a a a a a a a D ? ??= 2 1 2222111211 , nn n n n n T a a a a a a a a a D ? ??= 212221212111 行列式D T 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号。 推论 如果行列式的两行(列)完全相同,则此行列式等于零。 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个数k ,等于用数k 乘以此行列式。
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
同济大学工程数学线性代数第六版答案全
第一章行列式 1?利用对角线法则计算下列三阶行列式? (1)381141102---? 解3 81141102--- ?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8 ?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) ??24?8?16?4??4? (2)b a c a c b c b a ? 解b a c a c b c b a ?acb ?bac ?cba ?bbb ?aaa ?ccc ?3abc ?a 3?b 3?c 3? (3)222111c b a c b a ? 解2 22111c b a c b a ?bc 2?ca 2?ab 2?ac 2?ba 2?cb 2 ?(a ?b )(b ?c )(c ?a )?
(4)y x y x x y x y y x y x +++? 解y x y x x y x y y x y x +++ ?x (x ?y )y ?yx (x ?y )?(x ?y )yx ?y 3?(x ?y )3?x 3 ?3xy (x ?y )?y 3?3x 2y ?x 3?y 3?x 3 ??2(x 3?y 3)? 2?按自然数从小到大为标准次序?求下列各排列的逆序数? (1)1234? 解逆序数为0 (2)4132? 解逆序数为4?41?43?42?32? (3)3421? 解逆序数为5?32?31?42?41,21? (4)2413? 解逆序数为3?21?41?43? (5)13???(2n ?1)24???(2n )? 解逆序数为2 ) 1(-n n ? 32(1个) 52?54(2个) 72?74?76(3个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) (6)13???(2n ?1)(2n )(2n ?2)???2? 解逆序数为n (n ?1)? 32(1个) 52?54(2个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) 42(1个) 62?64(2个) ??????
工程数学线性代数题库及答案
一、判断题 1.若A , B 为n 阶对称阵,则AB 也是对称阵。 ( b ) 2.整个向量组线性无关,则部分向量组线性无关。 ( a ) 3.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解,则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 ( a ) 4.若A 可逆,则*A 也可逆。 ( a ) 5.若A 的顺序主子式都大于0,则A 正定。 ( bA ) 6.部分向量组线性无关,则整个向量组线性无关。 ( b ) 7.A 和T A 具有相同的特征值。 ( a ) 8.若A 可逆,则*A 也可逆。 ( a ) 9.若实对称阵A 的特征值全大于零,则二次型T f X AX = 是正定的。 ( a ) 10.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解,则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 ( a ) 11.设1α是线性方程组AX b =的两个不同的解,2α是齐次线性方程组0=AX 的解,则12+αα 是对应的线性方程组=AX b 的解。 ( bA ) 12.若A 可逆,则1A - 也可逆。 ( a ) 13.设12,s ηηηL 是非齐次线性方程组AX b =的s 个不同的解, 12,s k k k L 为实数,满足121,s k k k ++=L 则1122x k k ηη=+L s s k η+也是它的解。 ( a ) 14. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。 ( a ) 15. {} 1121212(,),0,T n n n V x x x x x x x R x x x ==∈++=L L L 设满足则1V 是向量空间。 ( a ) 16.A 和T A 具有相同的特征值。 ( a )
工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解
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工程数学(线性代数)综合练习题
1 北京邮电大学高等函授教育、远程教育 《工程数学》综合练习题 通信工程、计算机科学与技术专业(本科) 《线性代数》部分 一、判断题: 1.四阶行列式 D = 000000000 d c b a = abcd. ( ) 2.n 阶行列式D = 1 1 1 1 1 1 000000 00 00 000 00 0000 01 3 2 1 n n λλλλλ- =.21n λλλ ( ) 3.设A 为n 阶矩阵,k 为不等于零的常数,则.A k kA = ( ) 4.设A ,B 均为n 阶矩阵,则.2)(2 2 2 B AB A B A ++=+ ( ) 5.若n 阶矩阵A ,B 满足AB =0,则有A =0或者B =0. ( ) 6.对n 阶矩阵A ,若存在n 阶矩阵B ,使AB=E (E 为n 阶单位矩阵),则A 可逆且有.1 B A =- ( ) 7.设A ,B 均为n 阶矩阵且A B →,则A ,B 均可逆. ( ) 8.若n 阶矩阵A ,B 均为可逆矩阵,则A+B 仍为可逆矩阵. ( ) 9.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则[] )()(1 1 1 '='---A B AB . ( ) 10.若n 阶矩阵A 为对称矩阵,则A 为可逆矩阵. ( ) 11.若n 阶矩阵A 为正交矩阵,则A 为可逆矩阵. ( )
2 12.若n 阶可逆矩阵A =?? ? ?? ?? ? ?n λλλ 2 1,则.11 2 111 ?????? ? ? ?=----n A λλλ ( ) 13.若存在),,2,1(0m i k i ==使式子02211=++m m k k k ααα 成立,则向量组m ααα,,,21 线性无关. ( ) 14.若向量组m ααα,,,21 线性相关,则m α可用121,,,-m ααα 线性表示. ( ) 15.设),,2,1(n i i =α为基本单位向量组,则n ααα,,,21 线性无关. ( ) 16.若)(,,,21m r r ≤ααα 是向量组m ααα,,,21 的一个极大无关组,则),,2,1(m i i =α均可用r ααα,,,21 线性表示. ( ) 17.等价向量组所含向量个数相同. ( ) 18.若)(,,,21m r r <ααα 是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价. ( ) 19.若n m ?矩阵A 有一个r (r 第四章向量组的线性相关性 1.设v 1=(1,1,0)T ,v 2=(0,1,1)T ,v 3=(3,4,0)T ,求v 1?v 2及3v 1+2v 2?v 3. 解v 1?v 2=(1,1,0)T ?(0,1,1)T =(1?0,1?1,0?1)T =(1,0,?1)T . 3v 1+2v 2?v 3=3(1,1,0)T +2(0,1,1)T ?(3,4,0)T =(3×1+2×0?3,3×1+2×1?4,3×0+2×1?0)T =(0,1,2)T . 2.设3(a 1?a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ),求a ,其中a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,?1,1)T . 解由3(a 1?a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1321a a a a ?+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(36 1T T T ??+==(1,2,3,4)T . 3.已知向量组 A :a 1=(0,1,2,3)T ,a 2=(3,0,1,2)T ,a 3=(2,3,0,1)T ; B :b 1=(2,1,1,2)T ,b 2=(0,?2,1,1)T ,b 3=(4,4,1,3)T , 证明B 组能由A 组线性表示,但A 组不能由B 组线性表示. 证明由 ???????????=312123111012421301402230) ,(B A ???? ?????????????971820751610402230421301 ~r ????????????????531400251552000751610421301 ~r ???? ???????????000000531400751610421301 ~r 知R (A )=R (A ,B )=3,所以B 组能由A 组线性表示. 由 ???????????????????? ???????????????=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2.因为R (B )≠R (B ,A ), 所以A 组不能由B 组线性表示. 4.已知向量组A :a 1=(0,1,1)T ,a 2=(1,1,0)T ; B :b 1=(?1,0,1)T ,b 2=(1,2,1)T ,b 3=(3,2,?1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由 ,??? ?????????????????????????=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B 知R (B )=R (B ,A )=2.显然在A 中有二阶非零子式,故R (A )≥2,又R (A )≤R (B ,A )=2,所以R (A )=2,从而R (A )=R (B )=R (A ,B ).因此A 组与B 组等价.同济大学线性代数课后答案 第四章