人教版高二数学必修5知识点归纳(最完整版)
现在的努力就是为了实现小时候吹下的牛逼——标
必修五数学知识点归纳资料
第一章解三角形
1、三角形的性质：
①.A+B+C=,sin( A B)sin C ， cos( A B)cosC
A B
2C sin
A
2
B cos
C
222
②.在ABC中 , a b ＞c ,a b ＜ c ; A＞ B sin A ＞ sin B ,
A＞ B cosA ＜ cosB, a ＞b A＞B
③.若ABC为锐角，则 A B＞,B+C＞,A+C ＞ ;
222
a2b2＞ c2， b2c2＞ a2， a2＋ c2＞ b2
2、正弦定理与余弦定理：
a b c
2R (2R为 ABC 外接圆的直径)
①.正弦定理：
sin B sin C
sin A
a 2 R s i nA、 b2R sin B 、 c2R sin C（边化角）
sin A a
、 sin B b、 sin C c（角化边）2R2R2R
面积公式： S ABC 1
ab sin C
1
bc sin A
1
ac sin B 222
②.余弦定理： a2b2c22 c b o c、s b2A a2c22ac cos B 、c2a2b22ab cosC
cos A b2c2a2、 cos B a2c2b2、 cosC a2b2c2（角化边）
2bc2ac2ab
补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴ cos cos cos sin sin；⑵ cos cos cos sin sin；
⑶ sin sin cos cos sin；⑷ sin sin cos cos sin；
⑸ tan
tan tan
（ tan tantan1tan tan）；
1 tan tan
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⑹ tan
tan tan
（ tan
tan
tan
1 tan tan
）．
1 tan tan
二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴ sin 2 2sin
cos ． 1 sin 2
sin 2 cos 2
2 sin cos
(sin
cos ) 2
⑵ cos2
cos 2
sin 2
2cos 2
1
1 2sin 2
升幂公式 1 cos
2 cos 2
,1 cos 2 sin 2
2
2
降幂公式 cos
2
cos 2
1
， sin 2
1 cos
2 ．
2
2
3、常见的解题方法：（边化角或者角化边）
第二章 数列
1、数列的定义及数列的通项公式：
①.
a n
( ) ，数列是定义域为 N 的函数 f (n) ，当
n 依次取，， 时的一列函
f n 1 2
数值
②. a n 的求法：
i. 归纳法
ii.
a
S 1 , n 1
若 S 0 0 ，则 a n 不分段；若 S 0
0 ，则 a n 分段
n
S n S n 1, n 2
iii. 若 a n 1 pa n q ，则可设 a n 1 m p(a n
m) 解得 m,得等比数列 a n m
iv. 若 S n
f ( a n ) ，先求 a 1 ，再构造方程组 ：
S n
f ( a n ) 得到关于 a n 1 和 a n 的递推
S
n 1
f ( a n 1 )
关系式
例如： 2
1 先求 a 1 ，再构造方程组： S n
2a n 1
（下减上） a
n 1
2a n 1 2a n
S n a n S
n 1
2a n 1
1
2. 等差数列：
① 定义： a n 1 a n = d （常数） , 证明数列是等差数列的重要工具。
② 通项 : a n a 1 (n 1)d , d 0 时， a n 为关于 n 的一次函数；
d ＞0 时， a n 为单调递增数列； d ＜0 时， a n 为单调递减数列。
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③前 n 项和：S n n(a1 a n )na1n(n 1) d，
22
d0 时，S n是关于n的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。
④性质： i.
a m a n a p a q （）m+n=p+q
ii.若 a n为等差数列，则 a m， a m k， a m 2k，, 仍为等差数列。
iii.若 a n为等差数列，则 S n， S2n S n， S3 n S2n， , 仍为等差数列。
iv若 A 为 a,b 的等差中项，则有A a b 。
2
3.等比数列：
①定义：a
n 1 q （常数），是证明数列是等比数列的重要工具。 a n
②通项 : a n a1q n 1 (q=1时为常数列 ) 。
na1 , q 1
③. 前 n 项和 ,S n a 1q n a q, 需特别注意 , 公比为字母时要讨论 .
1a
1
1n, q 1 q1q
④. 性质：
i. a m a n a p a q m n p q 。
ii. a n为等比数列 , 则a m , a m k , a m 2k ,仍为等比数列，公比为q k。
iii.a n为等比数列 , 则S n , S2n S n , S3n S2n , K 仍为等比数列，公比为 q n。iv.G 为 a,b 的等比中项 , G ab
4.数列求和的常用方法 :
①. 公式法 : 如 a n 2n3, a n3n 1
②. 分组求和法 : 如 a n3n2n 12n 5 ，可分别求出3n， 2n 1和 2n 5 的和，然后把三部分加起来即可。
1 n
③. 错位相减法 : 如 a n
3n
2
， 2
5
1
2
3
n 1
n
S n
7 1
9 1
(3n
1) 1
3n 2
1
2
2
2
2
2
1
2
3
1 4
1 n
1 n
1
5 1
7 1
9
, ＋ 3n 1
3n 2
2
S
n
2 2 2
2
2
两式相减得：
1
2
3
n
n 1
S n
5 1 2 1 2 1 2
1 3n 2
1 ，以下略。
2 2
2
2
2
2
④. 裂项相消法 : 如 a n
1
1
1 1 ; a n n 1
n
n
1
n ，
n n n
n 1 1
a n
1
1 1
1
等。
2n
1 2n 1
2 2n
1 2n
1
⑤. 倒序相加法 . 例：在 1 与 2 之间插入 n 个数 a 1, a 2, a 3, , a n ，使这 n+2 个数成等差数 列，
求： S n
a 1 a 2
a n ，（答案： S n 3 n ）
2
第三章 不等式
1. 不等式的性质 :
① 不等式的 传递性 : a b,b c a c
② 不等式的 可加性 : a
b, c R
a c b
c, 推论 :
a
b
a c
b d
c d
③ 不等式的 可乘性 :
a
b a
c bc; a
b
ac bc;
a
b 0
ac bd
c
c 0
c
d 0
④ 不等式的 可乘方性 : a b 0
a n
b n
0; a
b 0
n
a
n
b
2.一元二次不等式及其解法 :
①. ax 2 bx c
0,ax 2 bx c 0, f x ax 2
bx c 注重三者之间的密切联系。
如： ax 2 bx c ＞ 0 的解为： ＜x ＜ , 则 ax 2 bx c ＝ 0 的解为 x 1
, x 2
；
函数 f
x
ax 2
对于函数 f x
ax 2 bx c ，一看开口方向 ,二看对称轴，从而确定其单调区间等。
②.注意二次函数根的分布及其应用 .
如：若方程 x 2
2ax 8 0 的一个根在（ 0，1）上，另一个根在（ 4,5）上，则有
f (0) ＞0 且 f (1) ＜0 且 f (4) ＜0 且 f (5) ＞0
3.不等式的应用：
①基本不等式：
a 0,
b 0,
a b
ab ,
a
2
b
2
2ab,
2 a
2
b
2
2
a b
2
当 a ＞ 0,b ＞ 0 且 ab 是定值时， a+b 有最小值； 当 a ＞ 0,b ＞ 0 且 a+b 为定值时， ab 有最大值。②简单的线性规划 :
Ax By C 0 A 0 表示直线 Ax By C 0 的右方区域 . Ax By C
0 A
0 表示直线 Ax By C
0 的左方区域
解决简单的线性规划问题的基本步骤是：
①.找出所有的线性约束条件。 ②.确立目标函数。
③
.画可行域，找最优点，得最优解。 需要注意的是，在目标函数中， x 的系数的符号，
当 A ＞0 时，越向右移，函数值越大，当 A ＜0 时，越向左移，函数值越大。
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型： z Ax By;
②“斜率”型： z
y
或 z
y b ;
x
x a
③“距离”型： z x 2 y 2 或 z
x 2
y 2 ;
z ( x a)2 ( y b) 2 或 z
( x a) 2 ( y b)2 .
画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0 : Ax By 0 ，平移直线 l0（据可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x, y) ；第四步，将最优解( x, y) 代入目标函数 z Ax By 即可求出最大值或最小值.
第二步中最优解的确定方法：
A x z,z为直线的纵截距.
利用 z 的几何意义：y
B B B
①若 B 0, 则使目标函数 z Ax By 所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；
②若 B 0, 则使目标函数z Ax By 所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值 .