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浅谈一个超越不等式在求解高考压轴题中的应用

摘要：本文介绍一个重要的超越不等式，以及它的导出、推广形式，并详细阐述它们在求解高考压轴题中的重要应用。

关键词：超越不等式；高考；压轴题

一、一个重要超越不等式及其导出、推广形式（一）基本不等式e x

≥x+1,x∈R，当且仅当x=0时等号成立。证明过程如下：

设f(x)=e x -x-1，则f′(x)=e x -1，令f′(x)=0，得x=0。且当x ＜0时，f′(x)＜0；

当x ＞0时，f′(x)＞0，∴f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0，即f(x)≥f(0)=0，∴e x ≥x+1

成立。

该不等式的几何意义如图一所示：函数y=e x

所表示的曲线在直线y=x+1的上方且与该直线相切。切点坐标为(0,1)，即当x=0时不等式中的等号成立。

（二）基本不等式的变形

上述基本不等式有很多实用

变形，例如：当x＞-1时，将不

等式两边取自然对数即得到导出不等式一：

x≥ln(x+1)，x∈(-1,+∞)当且仅当x=0时等号成立。

当x ＞0时，用x-1代替上式

中的x ，又可得到导出不等式二：

x-1≥lnx，x∈(0,+∞)当且仅当x=1时等号成立。其几何意义亦如图一所示。

（三）基本不等式的推广

推论一：若x∈R ，且e x ≥kx+b 恒成立，则必有k≥0且函数y=e x

所表示的曲线在直线y=kx+b 的上方且与该直线至多有一个公共点。

⒈若k=0，则b≤0，此时直线为x 轴（即曲线y=e x 的水平渐近线）或

x 轴下方与x 轴平行的直线。不等式中的“＞”成立。

⒉若k＞0，则直线与曲线y=e x

相离或相切。相切时可设切点坐标为

),(00x e x ，则有0

0)1(,0x x e x b e k -==（求导后代入直线的点斜式方程即得），当且仅当0x x =时不等式中的等号成立。

y=lnx

y=x-1

y=x y=x+1y=e x

x

(1,0)O (0,1)y 图一

y=me nx (n>0)图二

x

y y=kx+b

y=me nx (n<0)

推论二：若x∈R ，且me nx

≥kx+b(m>0,n≠0)恒成立，则必有n>0,k≥0（或

n<0,k≤0）且函数y=me nx

所表示的曲线在直线y=kx+b 的上方且与该直线至多有一个公共点。

⒈若k=0，则b≤0，此时直线为x 轴（即曲线y=me nx

的水平渐近线）或x 轴下方与x 轴平行的直线。不等式中的“＞”成立。

⒉若k＞0（或k<0），则直线与曲线y=me nx

相离或相切。相切时可设切点坐标为),(00nx me x ，则有00)1(,0nx nx e nx m b mne k -==，当且仅当0x x =时不等式中的等号成立。

推论一、二的几何意义如图二所示

二、应用举例

例1：（2012年天津理科试卷20）已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0，其中>0a .

（Ⅰ）求a 的值；

解析：（Ⅰ）函数()=ln (+)f x x x a -最小值为0，∴x≥ln(x+a)，对照导出不等式一，即得a =1。

例2：（2011年湖北理科试卷21）（Ⅰ）已知函数f(x)=lnx-x+1，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值；

解析：（Ⅰ）函数f(x)=lnx-x+1，(0,)x ∈+∞，对照导出不等式二，有lnx≤x-1，∴f(x)的最大值为0。

例3：（2012年辽宁理科试卷21）设为常数b a R b a ,,,∈,函数

b ax x x x f +++++=1)1ln()(，曲线)(x f y =与直线x y 2

3

=

在)0,0(点相切。（I）求b a ,的值；

（II）证明：当20<

9)(+

x f 。解析：（Ⅰ）易求1,0-==b a 。

（II）令x x x x x x f x x g 9]11)1)[ln(6(9)()6()(--++++=-+=，则

9

)

1(2)

12)(6(11)1ln(9)1(2)12)(6()(9)1

2111)(6()(9)(')6()()('-+++++-+++=-+++++

=-+++++=-++=x x x x x x x x x f x x x x f x f x x f x g

由导出不等式一知，当x＞0时，ln(x+1)＜x ；另外，当x＞0时，1+x ＜1+x 21

，

这是因为x +1＜22)2

1

1(411x x x +=+

+，两边开平方即得。0

)

1(4)

187(9)1(4)6()1(69)1(4)6)(6(239)1(2)21

12)(6(21)('，2x 02<+-=-++++=-++++=-++++++<<<∴x x x x x x x x x x x x x x x x x g 时当故(0,2)x )(∈在x g 上是单调递减函数，又因为00)111(ln 6)0(=--+=g ，所以当

6

9f(x)，0)0(g(x)，(0,2)x +<

=<∈x x

g 即点评：本题第（II）问证明过程中除用到了导出不等式一外，还用到了另外

一个比较重要的不等式：。0x ，21

11时等号成立当且仅当=+≤+x x 这两个不等

式可以说是这一题目的“题眼”。

例4：（2012年山东理科试卷22）已知函数x

e

k

x x f +=

ln )(（k 为常数，c=2.71828……是自然对数的底数），曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x 轴平行。

（Ⅰ）求k 的值；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）设)(')()(2x f x x x g +=，其中'()f x 为f(x)的导函数，证明：对任意

21g(x)，),0(-+<+∞∈e x 有。

解析：（Ⅰ）易求得1=k 。（Ⅱ）略。（Ⅲ）因为：

)ln 1(1

)(ln )(11

ln 1

)()(')()(2222x x x e x e x x x x x x e x x x x x f x x x g x x

x --+=+-+-+=

--+=+=由基本不等式e x

≥x+1,得

”成立时“当<>≤+0x 11

，e x x

，故只须证)(1ln 12-+≤--e x x x 。令x x h x ，x x x h ln 2)('ln 1)(--=--=则，令0

)('=x h

。

得2-=e x 当

单调递增

时)(0)('02x ，h x ，h e x ><<-；当

单调递减时)(0)('2x ，h x ，h e x <>-。故221)(--+=e e x x h 处取得极大值在。

命题得证。

点评：本例中利用基本不等式，使欲证命题得以大大简化，问题迎刃而解。例5：（2012年全国统一命题理科试卷21）已知函数()f x 满足

12

1()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+

；（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若2

1()2

f x x ax b ≥

++，求(1)a b +的最大值。解析：（Ⅰ）易求得221

)()1('1)0(x x e x f e f f x +-===，故，。单调区间易求。

（Ⅱ）由b ax x x f ++≥2

2

1)(得b x a e x ++≥)1(，对R x ∈?成立，由基本不等式推论一知：

0,0)1()1(0)1(>>++≥+b a ，b a ，a 则须最大欲使且直线b x a y ++=)1(与曲线x e y =相切。设切点坐标为),(00x e x ，则过该点切线方程为：

0000)1(),(00x x x x e x x e y x x e e y -+=-=-即，所以00)1(10x x e x ，b e a -==+。

令

0002000)1()1()()1(x x x e x e x e x h b a -=-?==+，则0

200)21()('x e x x h -=，令0)('0=x h ，得210=

x 。当单调递增时)(0)('2

1

000x ，h x ，

h x ><；当单调递减时)(0)('21000x ，h x ，h x <>，故2

21)(00e

，x x h 取得极大值处在=，此时

2

)211(1121

2

1e e ，b e e a =-=-=-=。

点评：本例是基本不等式推论一的直接应用。

例6：（2012年湖南理科试卷22）已知函数f（x）=e ax

-x，其中a≠0。（Ⅰ）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a 的取值集合。

（Ⅱ）在函数f(x)的图像上取定两点A（ｘ１，f(x １)），B（ｘ２，f(x ２)（ｘ

１＜ｘ２），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2）

，使f′（x 0）＞k 成立？若存在，求x 0的取值范围；若不存在，请说明理由。

解析：（Ⅰ）f （x ）≥1，等价形式为1+≥x e ax ，对一切x ∈R 恒成立，由基本不等式推论二知，令m=1，n=a ，k=1，b=1，知n>0，并有100===ax nx ae mne k ，

a a x a 1ln 1,00=>∴且，及1)1()1(0000=-=-=ax nx e ax e nx

b ，将a a x 1

ln 10=代入得

a a =+ln 1，再由导出不等式二知当且仅当a=1时该等式成立。故a 的取值集合

为{1}。

（Ⅱ）x e x f ax -=)(，在),(+∞-∞上连续且可导，由拉格朗日中值定理知

),(210x x x ∈?使得K x x x f x f x f =--=

1

2120)

()()('成立。又1)('-=ax ae x f ，

0)("2>=ax e a x f ，故)(x f 在),(+∞-∞是下凸函数，则对),(20x x x ∈?，均有K x f x f =>)(')('0成立。而1

2120)

()(1)('120

x x x x e e K ae

x f ax ax ax ----==-=，得

)(ln 112012x x a e e a x ax ax --=，故),)

(ln

1(21201

2x x x a e e a x ax ax --的取值范围为。点评：本试题第（Ⅰ）问是基本不等式推论二和导出不等式二的直接应用。在求解第（Ⅱ）问时笔者用到了拉格朗日中值定理及凸函数的概念，目的在于让读者了解高考压轴题的命题意图和方向，知道熟练掌握该类题目的求解方法在由高中学习向大学学习的过渡中将发挥着重要作用；当然采用一般的讨论方法亦可解决该问题。

三、小结

纵览近些年来的高考数学试卷，无论是全国统一命题，还是各省市自主命题，绝大多数试卷都是以函数及导数应用综合题压轴。而导数及其相关知识作为连接初等数学和高等数学的纽带（确切地说，该部分内容应该划入高等数学的范畴），对相当一部分学生来说，接受起来有一定困难，因此要熟练解决这类问题，一方面要求考生必须牢固掌握相关的基础知识和基本技能，同时还要求考生具备较强的分析推理能力和计算能力。

除本文提到的几个重要不等式外，其它几个不等式及其应用在考试中出现的

频率也较高。例如：①时等号成立当且仅当0x ，21

11=+≤+x x （见例3），并

可推广到一般形式，即时等号成立当且仅当0x ,N ，m 1

11*=∈+

≤+x m

x m ；②时等号成立当且仅当0x ,N ，n 1)1(*=∈+≥+nx x n （设辅助函数或由二项式定理

均可证明）；③时等号成立当且仅当0x ,)2,0[，

x sin tan =∈≥≥π

x x x ；④时等号成立当且仅当0x ,),0[，x 2

1cos 12

=+∞∈≤

-x x （2012年辽宁理科试卷12）。上述几个不等式中等号成立的条件均为x=0，实际上，这些不等式均是由高等数学中的几个重要的等价无穷小引申得到的。因此说，对于部分学有余力的高三学生来说，稍加学习掌握一些高等数学的基础知识，不论对于提高高考成绩，还是对于今后大学阶段的学习，都是大有裨益的。例如例6中的问题实际上就涉及到了高等数学中凸函数和中值定理的有关知识，笔者也正是利用这些知识更加方便快捷地解决了这一问题，目的在于起到抛砖引玉的作用。

2012年7月于沈阳