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光学题目及答案

第一章 光的干涉

1 波长为500nm 的绿光照射在间距为0.022cm 的双缝上，在距离180cm 处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。若改用波长700nm 的红光照射此双缝，两个亮条纹之间的距离又为多少？计算这两种光第二级亮条纹位置的距离。

解：本题是杨氏双缝干涉实验， 其光路、装置如图。

由干涉花样亮条纹的分布规律：

λd

r j y 0= （j=0、±1、±2、…）

得亮条纹间距： λd

r y 0

=

? (1) 其中：λ=500nm 和700nm 、d=0.022mm 、r 0=180cm 代入公式(1)计算得到:

当λ=500nm 时,两个亮条纹之间的距离:cm y 409.0=? 当λ=700nm 时,两个亮条纹之间的距离: cm y 573.0='? 第2 级亮条纹的位置:λd

r j

y 0

2= 2=j (2) 当λ=500nm 时: cm y 819.02=

当λ=700nm 时: cm y 146.12

=' 两种光第二级亮条纹位置间的距离: cm y y y 327.022

2=-'=?

2 在杨氏实验装置中，光源的波长为640nm ，两缝间距为0.4mm ，光屏离双缝的距离为50cm ，试求：（1）光屏上第一亮条纹和中央亮条纹之间距离；（2）若P 点距离中央亮条纹0.1mm ，则两束光P 点的相位差；（3）P 点的光强度与中央亮条纹的强度之比。

解: (1) 由: λd

r j y 0= （1），

已知：λ=640nm ，d=0.4mm ，r 0 = 50cm ，j=1

代入公式（1）解得，第一亮纹到中央亮纹的距离：y=0.8mm

(2)两束光传播到P 点的光程差为：

12r y d

r r =-=δ 位相差为：0

22r dy λπδλ

π?==?

代入数据：λ=640nm 、d=0.4mm 、r 0=50cm 、y=0.1mm 得到两束光在P 点的相位差：4/π?=?

（3）在中央亮条纹的位置上，两光的相位差为：0=?? 光强度为：2204)cos 1(2A A I =?+=?

P 点的光强度为：2224.3)4/cos 1(2)cos 1(2A A A I p =+=?+=π? 两条纹光强度之比为：2:7.1:0=I I p

3 把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏双缝的一束光中，光屏上原来第五级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为

600nm 。

解：当两束光传播到原来为第五级 亮条纹位置P 点时，两光的光程位差为：

λδ512j r r =-= （1）

插入玻璃片后，两光在P 点的光程差：

λδ012])[(j nt t r r =+--= （2）

其中：j 5=5、j 0=0、n=1.5、λ=600nm 、t 为玻璃片厚度，

（1）、（2）两式联立得：λ5)1(j t n =- 解得：t = 6000nm

4 波长为500nm 的单色平行光照射间距为0.2mm 的双缝，通过其中一缝的能量为另一缝能量2倍，在离双缝50cm 的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。

解：已知：λ=500nm 、d=0.2mm 、r 0 = 50cm 由：λd

r y 0

=

? 解得干涉条纹间距为：cm y 125.0=?

设通过一缝的能量为I 1，另一缝的能量为 2 I 1，则对应通过两缝的光振幅分别为：

11I A = 122I A =

由： 2

2

212

12A A A A V +=

解得条纹可见度：V=0.942

5 波长为700nm 的光源与菲涅耳双镜相交棱之间的距离为20cm ，棱到光屏间的距离L 为180cm ，若所得的干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为

1mm ，求上镜平面之间的夹角θ。

解：光源S 经两镜成虚象， 两虚光源S 、S 的间距为： θs i n 2r d = 光源到光屏的距离为：r L r +=0

由条纹间距：λθ

sin 2r r

L y +=

?，变形得： λθy r r L ?+=

2sin 已知：λ=700nm 、r = 20cm 、L=180cm 、Δy=1mm ， 代入上式解得：θ=12＇

6 在图中的劳埃德镜实验中，光源S 到观察屏的距离为1.5m ，到劳埃德镜面的垂直距离为2mm ，劳埃德镜长为40cm ，置于光源和屏之间的中央。（1）若光波波长λ=500nm ，问条纹

间距是多少？（2）确定屏上可以看到条纹区域的大小？（3）在此区域内有多少条条纹？

解：（1）根据题目给定的条件， 可得到，两光源S 、S ＇的距离： d=4mm

且：光源到光屏的距离：r 0=1.5m 光波波长：λ=500nm

由：λd

r y 0

=

?，得条纹间距：mm y 175.0=?

（2）根据反射定律和几何知识，且劳埃德镜在光源和屏中央， 得到ΔSOM ∽ΔP 2P 0M ；ΔSON ∽ΔP 1P 0N 即有：

M P OM P P OS 002= N P ON

P P OS 0

01= 由：光源到光屏的距离：r 0=1.5m 、劳埃德镜长：L=0.4m ，可解得：

OS = 2mm 、OM = 0.55m 、P 0M = 0.95m 、ON = 0.95m 、P 0N = 0.55m 进而解出：P 0P 1 = 3.455mm P 0P 2 = 1.158mm 则看到干涉条纹的区域为:

P 1P 2 = P 0P 2 - P 0P 1 = 3.455mm - 1.158mm = 2.297mm

(3)因干涉区域为：Δl= 2.297mm ，条纹间距为：Δy = 0.175mm 则看到的干涉条纹数为：n =Δl/Δy = 12条 即可看到12条暗条纹或12条亮条纹。

7 试求能产生红光（λ=700nm ）的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。已知肥皂膜的折射率为1.33，且平行光与法向成300角入射。

解：根据题意，该干涉现象为等倾干涉现象，是二级干涉相长， 由相干条件：

2

)

12(sin 212212

20λ

+=-j i n n d （j=0、1、2……） 已知：n 1=1、n 2=1.33、i 1=300、j =2、λ=700nm 解得薄膜厚度为：d 0 = 710nm

8 透镜表面通常镀一层如MgF2（n=1.38）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。为了使透镜在可见光谱的中心波长（λ=550nm ）处产生极小的反射，则镀层

必须有多厚？

解：根据题意，该现象为等倾干涉相消现象，由相干条件：

λj i n d =220cos 2 （j=0、1、2……）

已知： n 2=1.38、i 2=900、j =1、λ=550nm 解得薄膜厚度为：d 0 =

9 在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧。玻璃片长为10cm ，纸厚为0.05mm ，从600的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度上看到的干涉条纹数目是多少？设单色光源的波长为500nm 。

解:设第j 级亮条纹对应薄膜厚度为：d j ， 第j+1级亮条纹对应薄膜厚度为：d j+1

根据相干条件：1

221220sin 2)

21(i n n j d -+=λ

得到两亮条纹对应薄膜厚度差：

1

2

21

2

2

sin 4i n n d -=

?λ

从题图中，可得到：

d

L d x =?? 将数据：L=10cm 、d=0.05mm 、i 1=600、λ=500nm 、n 1=n 2=1 解得条纹间距：Δx=0.1cm

在玻璃片单位长度上看到的条纹数目:N = 1/Δx = 10条/cm

10 在上题装置中，沿垂直于玻璃片表面的方向看去，看到相邻两条暗条纹间距为 1.4mm 。已知玻璃片长为17.9cm ，纸厚为0.036mm ，求光波的波长。

解：当沿垂直方向看去，有：i 1= 900 ，则：4

λ=?d

结合：d

L d x =?? 得到：x L d ?=4λ

将数据：Δx=1.4cm 、L=17.9cm 、d=0.036mm 代入上式 得到光波长：λ=563.1nm

11 波长为400—760nm 的可见光，正射在一块厚度为1.2×10-6m ，折射率为1.5的玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中那些波长的光最强？

解:此题为等倾干涉相长现象, 薄膜（玻璃片）厚度确定，求波长，由相干条件:

λ)2

1

(cos 2220+=j i n d

代入数据：n=1.5、d 0 = 1.2×10-6m 、i 2 = 900

解出波长：nm j 2

/13600

+=

λ j = 0、1、2、3、…… 将干涉级数j = 0、1、2、3、…分别代入，解出在可见光范围内的光波波长； j = 5 时，nm 5.654=λ； j = 6 时，nm 8.553=λ j = 7 时，nm 480=λ； j = 8 时，nm 5.423=λ

12 迈克尔逊干涉仪的反射镜M 2移动0.25mm 时，看到条纹移过的数目为909个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。

解：在空气中、正入射时，迈克尔逊干涉仪的相干条件：

λj i n d =220cos 2 12=n 、0290=i 由上式可推出，M 2镜移动的距离Δd 与条纹变化数目N

的关系式： λN d 2

1

=?

已知：Δd = 0.25mm 、N = 909 计算得到：λ= 550nm

13 迈克尔逊干涉仪平面镜的面积为4×4cm 2,观察到该镜上有20个条纹,当入射光的波长为589nm 时,两镜之间的夹角为多少?

解：由题意，干涉仪的两平面镜M

1、M 2成一定的

夹角θ，产生等厚

干涉现象，干涉条纹的间距：

Δx = 4/20 = 0.2cm

相邻两亮条纹对应薄膜的厚度，由:

λ)2

1

(cos 2220+=j i n d

其中：n 2=1、i 2=900，可推出：

Δd = λ/2 = 2.945×10-5cm

从图中可得:θ≈sin θ=Δd/Δx ≈ 30.4"

14 调节一台迈克尔逊干涉仪,使其用波长为500nm 的扩展光源照明时,出现同心圆环条纹.若要使圆环中心相继出现1000条圆环条纹,则必须将移动一臂多远的距离?若中心是亮的,试计算第一暗环的角半径。

解：由：λN d 2

1

=

? ，已知：λ= 500nm 、N = 1000 计算得到迈克尔逊干涉仪一臂移动的距离：Δd = 0.25mm

(2) 因花样中心是亮的，设其干涉级数为j ，相应第一暗环的干涉级数同时为j ，即有：

第j 级亮环： 02d j λ=

第j 级暗环： 021

2cos ()2d i j λ=- 其中i 2为所求的角半径

从上两式得到：0201

2cos 22

d i d λ=-

因： 22

2c o s

12

i i =- 即得：2i =

15 用单色光观察牛顿环,测得某一亮环的直径为3mm,在它外边第 5 个亮环的直径为4.6mm ，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m ，求此单色光的波长。

解:牛顿环亮环半径的表达式为:R j r λ)2/1(+=

设某亮环的干涉级数为j,它外边第五个亮环的级数为j+5, 即有: R j r j λ)2/1(2+= R j r j λ)2/15(25++=+ 两式相减得到:R

r r j j 52

25-=

+λ

代入数据：r j =3/2mm=1.5mm 、 r j+5=4.6/2mm=2.3mm 、 R=1.03m ， 解出光波波长：λ= 590.3nm

16 在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第2级亮环与第3级亮环的间距为1mm ，求第19级和第20级亮环之间的距离。

解: 根据牛顿环亮环半径的表达式:R j r λ)2/1(+= 得到第j 2=2级亮环与第j 3=3级亮环的间距为:

R R j R j r r λλλ)2/52/7()2/1()2/1(2323-=+-+=- 第j 20=20级亮环与第j 19=19级亮环的间距为:

R R j R j r r λλλ)2/392/41()2/1()2/1(19201920-=+-+=- 两式相比,代入已知数据(r 3-r 2=1mm),得到:

5

739

41231920--=

--r r r r 解出第19级和第20级亮环之间的距离：r 20-r 19=0.039mm

17 牛顿环可由两个曲率半径很大的平凸透镜之间的空气层产生（如图），两平凸透镜凸面的半径分别为R A 、R B ，在波长为600nm 的单色光照射下，观察到第10个暗环的半径r AB =4mm 。若另有曲率半径为R C 的平凸透镜C ，并且B 、C 组合，A 、C 组合，产生的第10个暗环的半径分别为r BC =5mm 、 r AC =4.5mm ，试计算R A 、R B 、R C 。

解：在图中，用单色光照射时，两束反射光的光程差：2

)(221λ

δ+

+=h h

其中：

B

R r h 221= A R r h 222=

有暗条纹的相干条件：

2

)

12(2

22λλ

+=++j R r R r A

B

暗条纹的半径：)(2B

A B A R R R R j r +=λ

对第十个暗纹：j=10，入射光波长：λ=600nm

当A 、B 组合时： 2216)(mm R R R R j r B

A B A AB =+=λ 375.011=+B

A R R

当B 、C 组合时： 2225)(mm R R R R j r C

B C B BC =+=λ 24.011=+C

B R R

当A 、C 组合时： 2225.20)(mm R R R R j r C

A C A AC =+=λ 296.011=+C

A R R

解上述三个方程，得到：R A =6.27m 、R B =4.64m 、R C =12.43m 。

18 菲涅耳双棱镜实验装置尺寸如下：缝到棱镜的距离为5cm ，棱镜到屏的距离为95cm ，棱镜角为α=179032＇，构成棱镜玻璃的折射率n=1.5。采用单色光照射。当厚度均匀的肥皂膜横过双棱镜的一半部分放置，该系统中心部分附近的条纹相对以前有0.8mm 的位移。若肥皂膜的折射率为1.35，试计算肥皂膜厚度的最小值。

解：在图（1）中，光源S 经双棱镜折射，形成两个虚光源S 1、S 2，设S 1、S 2之间的距离为d ， 近似地有：θ≈（n-1）A

并且有：2A+α=1800 A=14＇=0.004rad

已知缝到棱镜的距离为：L=5cm ，θ≈d/2L 解出：d=2L θ=2L （n-1）A=0.2mm

设肥皂膜的厚度为t ，折射率为n ＇ 肥皂膜没插入前，干涉相长的条件：

λj y r d

=0

插入肥皂膜后，干涉相长的条件：λj t n y

r d =-'+')1(0

两式相减，得肥皂膜的最小厚度：)

1()

(0-'-'=

n r y y d t

代入数据：r 0=（95+5）cm 、y-y ＇=0.8mm 、n ＇=1.35、d= =0.2mm

计算得到肥皂膜的最小厚度：t=4.94×10-7

m 19 将焦距为50cm 的会聚透镜中央部分C 切去,余下的A 、B 两部分仍旧

粘起来，C 的宽度为1cm 。在对称轴线上距透镜25cm 处置一点光源，发出波长为692nm 的红宝石激光，在对称轴线上透镜的另一侧50cm 处置一光屏，屏面垂直于轴线，试求：（1）干涉条纹的间距是多少；（2）光平上呈现的干涉图样是怎样的？

解：透镜按题意分为A 、B 后，是两个透镜，点光源S 经A 、B 两透镜 后，形成两个象S 1、S 2 ，如图。

图中，O 1O 1＇为A 透镜的主轴，已知：s=-25cm f=50cm

由：

f s s '

=-'1

11 解得象距为：s ＇=-50cm 由： s

s y y '

='=

β 解得象的横向位置为：y ＇= 1cm 也即A 透镜所成的象S 2距透镜25cm ，距系统对称轴0.5cm

同理，B 透镜所成的象S 1距透镜25cm ，距系统对称轴0.5cm 两个相干的虚光源S 1、S 2之间的距离：d = 1cm

光源到观察屏之间的距离：r 0 = 1m

（1）干涉条纹的间距： 由：λd

r y 0

=

?， 得条纹间距：cm y 31092.6-?=?

（2）因相干光源的形状是两个点光源，所以形成的干涉花样的形状为一族双曲线，见图。在d 较小、r 0较大的情况下，花样近似地看成是明暗相交的直线条纹。

20 将焦距为5cm 的薄凸透镜L 沿直线方向刨开（见图1-4），分成A 、B 两部分，将A 部分沿轴线右移至25cm 处，这种类型的装置称为梅斯林对切透镜。若将波长为632.8nm 的点光源P 置于主轴上离透镜L B 的距离为10cm 处，试分析：（1）成象情况如何？（2）若在L B 右边10.5cm 处放一光屏，则在光屏上观察到的干涉图样如何？

解：（1）透镜按题意分为A 、B 后，是两个透镜，点光源S 经A 、B 两透镜后，形成两个象S 1、S 2 ，如图。

根据透镜成像公式：

f s s '

=-'1

11 解得象距为：s 1＇=35/6cm s 2＇=10cm

在两透镜的公共主轴上形成两个象。

（2）在光屏上有两束光重叠，以主轴和光屏的交点为圆心，呈现出一组明暗相间的同心半圆周线，见图。

由右图，解出亮条纹的半径：

λjl r j 2=

说明亮条纹的半径随干涉级数的增大而增大。

由上式可解出条纹间距：

j

l r j 2λ

=

? 表明亮条纹之间的距离随j 的增大而减小。

21 如图1-5所示,A 为平凸透镜,B 为平板玻璃,C 为金属柱,D 为框加,A 、B 间有孔隙，图中绘出的是接触时的情况，而A 固结在框加的边缘上。温度变化时，C 发生伸缩，假设A 、B 、D 都不发生伸缩，以波长为632.8nm 的激光垂直照射，试问：（1）在反射光中观察时，看到牛顿环条纹移向中央，这表示金属柱C 的长度是在增加还是减小？（2）若观察到有10个亮条纹移到中央消失，试问C 的长度变化了多少？

解：（1）在反射光中观察到牛顿环第j 级亮条纹的光程差为：

λλ

j h =-

=?2

2

条纹半径为：R j r j λ)2

1

(+

=

从上两式可知，干涉级数j 随薄膜厚度的

增加而增加。当看到条纹移向中央时，表示条纹的半径减小。此时在干涉场中一个确定点上，干涉级数是增加的，薄膜的厚度也在增加，，就说明金属柱C 的长度是在缩短。

（2）当光程差改变一个半波长时，干涉场中看到条纹变化一次，则有条纹的变化次数N 与薄膜厚度的变化量H ?有如下关系式：

2

λ

N

H =?

代入数据：10=N nm 8.632=λ

解出金属柱长度的变化量为：nm H 3164=?

（本习题解答仅作参考）

第二章 光的衍射

1 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带，求第k 个波带的半径。若极点到观察点的距离r 0为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。

解：当用平面光照射圆孔时，第k 个波带的半径，由：

)1

1(

2

R

r R k k

+=

λ

平行光R=∞

解出为：λ0kr R k =

当：r 0=1m 、λ=450nm 、k=1时，

第一半波带的半径：mm m R 67.01067.010********=?=???=--

2 平行单色光从左向右垂直照射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机的光圈那样改变大小，问：（1）小孔半径应满足什么条件，才能使得小孔右侧轴线上距小孔中心4m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P 点最亮时，小孔直径应为多大？设光的波长为500nm 。

解：用平行单色光垂直照射小圆孔，所露出的半波带的数目：λ02/r R k k =，已知： r 0=4m 、λ=500nm 、

圆孔的半径为：k

kr R k 141.00==

λ （1）当k 为奇数时，P 点的光强为最大值；

当k 为偶数时，P 点的光强为最小值；

（2）若使P 点最亮，圆孔应只露出1个半波带，即k=1，

将： k=1代入：k R k 141.0= 得到小孔直径：mm d 282.01=

3 波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm 和1mm 的透光圆环，接受点P 离光阑1m ，求P 点光强度I 与没有光阑时的光强度I 0的比值。 解：已知：r 0=1m 、R=1m 、λ=500nm

半径为R 1=0.5mm 的圆屏所能遮住的半波带数k 1：

1)11(0

211=+=r R R k λ

半径为R 2=1mm 的圆孔能露出的半波带数k 2：

4)11(0

222=+=r R R k λ

也即通光圆环只露出第2、3、4个波带，P 点接受到的光振幅为：1424322

1

21a a a a a a A ≈+=+-=

光强度为：21a I = 没有光阑时，P 点的光强度：I 0=a 12/4 得到：I ：I 0 = 4 ：1

4 波长为632.8nm 的平行光照射直径为2.76mm 的圆孔，与孔相距1m 处放一屏，试问：（1

）

屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点？（2）要使P 点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前和向后移动多少？

解：已知：r 0=1m 、R k =2.76m 、λ=632.8nm 、R=∞

（1）根据：)11(0

2r R R k k +=λ 解出正对圆孔中心的P 接受到的半波带数为：k=3 因P 点接受到奇数个半波带，则P 点应为亮点。

（2）若使P 点变成与（1）相反的情况，则k 要取为偶数，即：k=2或4 当k=4时， mm k R r k 75020

=='

λ

屏幕至少要向前移动：Δr 0 =1m-0.75m=0.25m 当k=2时， mm k R r k 150520

=='

λ

屏幕至少要向后前移动：Δr 0 =1.5m-0.75m=0.5m

5 一波带片由五个半波带组成，第一波带为半径r 1的不透明圆盘，第二波带是r 1到r 2的透明圆环，第三波带是r 2到r 3的不透明圆环，第四波带是r 3到r 4的透明圆环，第五波带是r 4至无穷大的不透明区域。已知：r 1：r 2：r 3：r 4=1：2：3：4，用波长500nm 的单色平行光照射，最亮的象点在距波带片1m 的轴上，试求：（1）r 1；（2）象点的光强；（3）光强极大值出现在轴上那些位置？

解：因用平行单色光照射衍射屏，则半波带的计算

公式为： 0

2

r r k k λ= 已知：r 1：r 2：r 3：r 4=4:3:2:1

第一波带遮住的波带数：0

211r r k λ= 第二波带露出的波带数：o

r r r r k λλ2

10222

2== 第三波带遮住的波带数：0

2

102333r r r r k λλ==

第四波带露出的波带数：0

210244

4r r r r k λλ== 波带片遮住和露出波带数之比：4:3:2:1:::4321=k k k k

若使轴上距波带片1m 的象点最亮，应取：k 1=1、k 2=2、k 3=3、k 4=4，

（1）将r 0=1m 、λ=500nm 、 k=1代入：011r k r λ= 解出： cm r 07.01= （2）从：4:3:2:1:::4321=k k k k 看出，最亮的象点接受到第二、第四两个半波带，则光强度为：021242164)(I a a a I ==+= （I 0为光自由传播时的强度。）

（3）其他光强最大值的点出现在：1/3、1/5、1/7、…等位置。

6 波长为λ的点光源经波带片成一个象点，该波带片有100个透明奇数半波带（1、3、5、…、199），另外是100个不透明偶数半波带。比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该象点的强度比I ：I 0。

解：用波带片时，象点接受到（1、3、5、…、199）共100个半波带 光强度为：21219953110000)...(a a a a a I =++++=

用透镜时，因物点到象点的光程相等，象点接受到200个半波带，

则光强度为：212200321040000)...(a a a a a I =++++= 两种情况下的光强之比为：4:1:0=I I

7 平面光的波长为480nm ，垂直照射宽度为0.4mm 的狭缝上，会聚透镜的焦距为60cm ，分别计算当缝的两边P 点的位相差为π/2和π/6时，P 点离焦点的距离。

解：缝两边的光传播到P 点的光程差： θδsin d =

相位差：θλ

π?sin 2d =?

从图中: sin θ≈tg θ=y/f ＇ 得到：y= f ＇sin θ 已知：λ=480cm 、d=0.4mm 、 f ＇=60cm 当:2/π?=? ，由上式解得：sin θ1=0.003 P 点到焦点的距离：y 1= f ＇sin θ1=0.018cm 当:6/π?=? ，由上式解得：sin θ1=0.001 P 点到焦点的距离：y 1= f ＇sin θ1=0.006cm

8 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三级次最大与波长为600nm 的光波的第二

级次最大重合，求该光波的波长。

解：单缝衍射图样中，次最大的位置：b

k λθ）（21sin ±=

某一波长的第三级次最大的位置：b

b 11327213sin λλθ=

+=）（ 600nm 光波的第二级次最大位置：b

b

222252

12sin λλθ=

+=）（ 因两个次最大的位置重合，有：32sin sin θθ= 解出某光的波长：nm 6.4281=λ

9 波长为546.1nm 的平行光垂直照射在1mm 宽的缝上，若将焦距为100cm 的透镜紧贴在缝的后面到，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到（1）第一最小值；（2）第一最大值；（3）第三最小值的距离分别是多少？

解：单缝衍射中，衍射光的传播方向设为θ

（1）第1最小值的衍射角：b

λθ=sin

其位置：y= f ＇sin θ= f ＇λ/b=0.055cm

（2）第1最大值的衍射角：b

k λθ)21(sin += k=1

其位置：b

f f y λ

θ23sin '

='='=0.082cm （3）第3最大值的衍射角：b

k λθ=sin k=3 其位置：b

f f y λ

θ'

='='3sin =0.164 cm

10 钠光通过宽0.2mm 的狭缝后,投射到与缝相距300cm 的照相底片上,所得的第一最小值与第二最小值之间的距离为0.885cm ，问钠光的波长为多少？若改用X 射线(λ=0.1nm)做此实验,问底片上两最小值之间的距离是多少?

解： 因为单缝衍射，设第一最小值到花样中央的距离为：y 1；第二最小值到中央的距离为：y 2

对第一最小值：

L y b

11sin =

=

λ

θ b

L y λ=1

对第二最小值：L y b

222

sin =

=λ

θ b

L y λ22= 两最小值间的距离：b

L

y y y λ

=-=?12

已知：Δy=0.885cm 、 L=300cm 、 b=0.2mm ，代入上式， 解得钠光的波长：λ=590nm

当用波长λ=0.1nm 的X 射线时：mm b

L y 13105.1-?==?λ

11 以纵坐标表示光强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射（包括缝间干涉）图样。设缝宽为b ，相邻两缝之间的距离为d ，且d=3b 。

解：因：N=3，相邻两最大值间有2个暗条纹，1个次最大；又因：d=3b ，所以第3、6、9、…级谱线缺级。以相对光强为纵坐标，sin θ为横坐标，做出衍射图样。

12 一束平行白光垂直照射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二级别光谱的始端的衍射角之差是多少？设可见光中最短紫光的波长为400nm ，最长红光的波长为760nm 。

解：在光栅衍射中，因θ∝λ/d ，波长大色光衍射角也大，所以在可见光的同一级谱线中，红光的衍射角大，紫光的衍射角小。

已知：红光波长λ

1=760nm 、紫光波长λ2=400nm 、d=1/50mm 设第一级（j 1=1）光谱末端的衍射角为θ1，

有：dsin θ1=j 1λ1 解得： sinθ1=j 1λ1/d=760/d θ1≈2.1880 第二级（j 2=2）光谱始末端的衍射角为θ2，

有：dsin θ2=j 2λ2 解得： sinθ2=j 2λ2/d=800/d θ2≈2.2920 衍射角的扎：θ2-θ1=2.2920-2.1880 =0.110≈7＇

13 用可见光（400nm—760nm）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？

解：从上题，一级谱线末端的衍射角：sinθ1=j1λ1/d=760/d

二级谱线始端的衍射角：sinθ2=j2λ2/d=800/d

因：sinθ2=800/d > sinθ1 =760/d

所以，一级光谱和二级光谱不重叠。

二级谱线末端的衍射角：sinθ3=j2λ1/d=1520/d

三级谱线始端的衍射角：sinθ4=j3λ2/d=1200/d

因：sinθ3=1520/d < sinθ4 =1200/d

所以，二级光谱和三级光谱重叠。

14 用波长为589nm单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大之间的衍射角为15010＇，求该光栅1cm内的缝数是多少？

解：从题中知道，第20级谱线的衍射角为：θ=15010＇

已知波长：λ=589nm，由光栅方程：dsinθ=jλ

解得光栅常数：d=0.0045cm

1cm内的缝数为：N=1/d=222条/cm

15 用每毫米有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱，试问：（1）光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？（2）光以300角入射时，最多能观察到几级谱线？

解：已知：光栅常数：d=1/400mm 光波波长：λ=589nm

当谱线的衍射级数最大时，对应的衍射角：θ=900

（1）光垂照射光栅时，由光栅方程：dsinθ=jλ

解得：j≈4，即最多能观察到4级谱线。

（2）光以θ

0= 300角入射时，光栅方程为：d（sinθ±sinθ

）=jλ

将：θ

= 300、θ=900、d=1/400mm、λ=589nm代入

d（sinθ+ sinθ

）=jλ

解出最大的衍射级数：j=6

16 白光垂直照射到一个每毫米有200条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为300处会出现那些波长的光？其颜色如何？

解：已知：光栅常数：d=1/200mm、衍射角：θ=300

由光栅方程：dsin θ=j λ （j=0、1、2、3、…）

得到：λ=dsin θ/j ,代入数据,在可见光的范围内解得: j=3时，λ1=666.7nm,是红色光； j=4时，λ2=500nm, 是黄色光； j=3时，λ3=400nm, 是紫色光；

三种色光的谱线在300方向上重合在一起。

17用波长为624nm 单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b 为0.012mm ，不透明部分的宽度a 为0.029mm ，缝数N 为103条，求：（1）单缝衍射图样的中央角宽度；（2）单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？（3）谱线的半角宽度为多少？

解：已知：λ=624nm 、b=0.012mm 、a=0.029mm 、N=103条

计算得到光栅常数：d=a+b=0.041mm

（1）单缝衍射图样的中央角宽度：Δθ=2λ/b=5.960

（2）由：dsin θ=j λ和sin θ=λ/b ，解得：j=d/b ≈3.4

因衍射级数应取整数,所以j=3,单缝衍射图样中央宽度内能看到光谱的级数为3级,有n=2j+1=7条谱线。

（3）根据：Δθ=λ/Ndcos θ，在θ不太大时，θ≈0， 解得：谱线的半角宽度：Δθ=1.52×10-5rad 18 波长为600nm 的单色光正入射到一透明平面光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在sin θ1=0.2和sin θ2=0.3处，第四级为缺级。（1）试求光栅常数；（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；（3）在确定了光栅常数和缝宽之后，试列出在光屏上实际呈现的全部谱线级数。

解：（1）设相邻主最大的衍射级数分别为：j 、j+1。

有： dsin θ1=j λ d sin θ2=（j+1）λ 两式相比：1

sin sin 21+=j j θθ 解出：j=2

再代入：dsin θ1=j λ 得到光栅常数：d=6×10-6m=6×10-3mm

（2）因第四级缺级，说明：d ：b = 4：1 所以光栅缝的宽度：b=d/4=1.5×10-3mm

（3）在光屏上呈现的谱线的最大级数为j ，对应的衍射角为900， 由：dsin θ =j λ 解出谱线的最大级数：j=10

因：4、8级谱线缺级，不能被观察到，另外衍射角为900的第十级谱线也不能观察到，所以呈现在光屏上的有：

0、±1、±2、±3、±5、±6、±7、±9级谱线，共15条。 19 NaCl 的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5，密度ρ=2.17g/cm 3。（1）试证相邻两分子间的平均距离为：

nm N M

A 2819.023

=ρ

其中N A =6.02×1023/mol 为阿伏加德罗常数。（2）用X 射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为10的方向上出现，计算该X 射线的波长。

解：在图中所示的晶体结构中，设计晶胞的棱边长为d ，两离子间的平均距离为d/2，每个晶胞含有四个NaCl 分子，那么其密度：

3

4d

m V M NaCl ==

ρ NaCl 的质量：N M m NaCl /= 上两式联立解出：34ρN M d =

相邻两离子间的平均距离：

3

022

ρ

N M

d d ==

代入数据：nm d 2819.00=

20 波长为0.00147nm 的平行X 射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm ，问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱？

解：根据布喇格方程：λθj d =sin 2

代入数据：nm d 28.0= nm 00147.0=λ

解出： 14310'=θ

21 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b ，缝间距分别为d 和2d ，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：

解：设单缝衍射传播到观察屏上P 的光振幅为a ，三束衍射光的实际光程差如图为θsin d 和

θsin 2d ，相位差为φ?和φ?2，可做出通过三缝光矢量的矢量图，将三矢量分解：

φφ?+?+=3cos cos a a a A x φφ?+?+=3sin sin 0a a A y

三缝衍射的光强度为： )]3cos 2cos (cos 23[222φφφ?+?+?+=+=a A A I y x

其中： λ

θπλθ

πsin sin sin

b b a a = θλ

πφsin 2d =

? 即有：)]6cos 4cos 2(cos 23[sin 20v v v cu I I +++= 式中：λ

θπsin b u =

λθ

πsin d v =

22 一宽度为2cm 的衍射光栅上刻有12000条刻痕，如图所示，以波长λ=500nm 的单色光垂直投射，将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一端由1mm 均匀变薄到0.5mm ，试问第一级主最大的方向改变了多少？

解：玻璃片的劈尖角A ： 025.020

5.01=-≈

tgA 0

43.1=A 平行光经过劈尖后的偏向角： rad A n 0125.0)1(0=-=θ