极坐标与参数方程高考题练习含答案

极坐标系与参数方程高考题练习

2014年

一．选择题

1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θ

θ=-+??=+?

（θ为参数）的对称中心（ B ）

.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上

2.(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线l 的参数方程是???-=+=3

,

1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的

弦长为（ D ）

（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22

3(2014江西) (2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标

系，则线段

()

101

y x x

=-≤≤的极坐标为（）

A.

1

,0

cos sin2

πρθ

θθ

=

≤≤

+

B.

1

,0

cos sin4

π

ρθ

θθ

=≤≤

+

C.cos sin,0

2

π

ρθθθ

=+≤≤ D.cos sin,0

4

π

ρθθθ

=+≤≤

【答案】A

【解析】1

y x

=-()

01

x

≤≤

∴sin1cos

ρθρθ

=-()

0cos1

ρθ

≤≤

1

sin cos2

π

ρθ

θθ

??

∴=≤≤

?

+??

所以选A。

二．填空题

1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知曲线

1

C的参数方程是

?

?

?

?

?

=

=

3

3t

y

t

x

()

为参数

t，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

2

C 的极坐标方程是2

=

ρ，则

1

C与

2

C交点的直角坐标为_______.

2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为

4

π

的直线l与曲线

2cos

1sin

x

C

y

α

α

=+

?

?

=+

?

：，（α为参数）交于A、B两点，且

2AB

=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.

3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为??

?+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，

曲线C 的极坐标方程为

)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经

=ρ____5____.

.

【答案】5 【解析】

.

5ρ,.541ρ(1,2),∴2044-y 1-x 4y .x 4y θcos ρ4θsin ρ∴0θcos 4-θsin ρ1-,3,2222222==+==?=+===?===+=+=所以交点得与联立y y x y x y t y t x

4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。

【答案】 31

【解析】

3

1

).0,31(14-3∴1)θsin 4-θcos 3(ρ所以，是交于点==y x

.C (2014陕西)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16

π

ρθ-=的距离是

C

1

|1

32

3-3|023-1,3(∴,2-312

1

os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==??=d y x x y c 的距离）到直线点即对应

直线）对应直角坐标点极坐标点

5 (2014天津)在以O 为极点的极坐标系中，圆θρ4sin =和直线a =θρsin 相交于,A B 两点.若ΔAOB 是等边三角形，则a 的值为___________. 解：3 圆的方程为2

2

2

4x

y ，直线为y a .

因为AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得3a .

6. (2014广东)（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2

sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿

2

2

1212:(1,1)

:(sin )cos ,,

:1,(1,1).

C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为

三．解答题

1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t

=+??=-?（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o

30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.

【解析】：.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θ

θ

=??

=? （θ为参数），

直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 （Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为

5

4cos 3sin 65

d θθ=

+-， 则()025

||5sin 6

sin 305

d PA θα=

=+-，其中α为锐角．且4

tan 3

α=

. 当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为

225

5

； 当()sin 1θα+=时，||PA 25

…………10分

2. (2014新课标II)（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，

0,2πθ??∈??

??

.

（Ⅰ）求C 的参数方程；

（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

3. （2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆2

2

1x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；

（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求

过线段

12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.

【答案】 （1） π∈[0,θθsin 2,θcos ，==y x （2） 03θsin ρ4-cos θ 2ρ=+ 【解析】

（1）]π∈[0,θθsin 2,θcos ，的参数方程：曲线==y x C （2）

3θsin ρ4-cos θ 2ρ,23-4)2

1

-(211-∴).

1,2

1(),2,0(),0,1(.2π0θ.1)4πθsin(20,2-θsin 2θcos 2θ)sin 2θ,(cos =+====+=+是所求直线的极坐标方程所以即的中垂线方程是垂直中点所以，，或即解得在直线上，则上的点设曲线x y x y AB AB B A P C

4（2014福建）（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程 已知直线l 的参数方程为?

?

?-=-=t y t

a x 42，（t 为参数），圆C 的参数方程为

??

?==θ

θ

sin 4cos 4y x ，（θ为常数）.

（I ）求直线l 和圆C 的普通方程；

（II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.

解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝5

2a -≤4，

解得－25≤a ≤2 5.

2007--2013年高考 极坐标与参数方程

（2013安徽数学（理））在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ B ）

A ．=0()cos=2R θρρ∈和

B ．=

()cos=22

R π

θρρ∈和

C ．=()cos=12

R π

θρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和

（2013天津数学（理））已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π??

??

?

,

则|CP | = 23 .

1（2013上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为

_____

15

2

+_____ 解析：

2（2013北京卷（理））在极坐标系中,点(2,

6

π

)到直线ρsin θ=2的距离等于____1_____.

3（2013重庆数学（理））在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线2

3

x t

y t

?=??=??(为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 【答案】16

4（2013广东（理））(坐标系与参数方程选讲选做题)

已知曲线C

的参数方程为x t y t ?=??

=?

?(为参数),C 在点()1,1处的切线为 ， 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则切线的极坐标方程为 .

【答案】x+y=2 ；

sin 4πρθ?

?

+

= ??

?

5（2013陕西（理））C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆

220y x x +-=的参数方程为______ .

x

【答案】R y x ∈????==θθ

θθ

,sin cos cos 2

6（2013江西（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2

x t

y t =??=?

(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________ 【答案】2cos sin 0ρθθ-=

7（2013湖南卷（理））在平面直角坐标系xoy 中,若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ??==????

=-=??为参数过椭圆

()?为参数的右顶点,则常数a 的值为________. 【答案】3

8（2013湖北（理））在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=??=?

()0a b ?>>为参数，.在

极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直

线与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ?

?+= ???()m 为非零常数与b ρ=.若直线经过椭圆C

的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为___________.

（2013新课标（理））已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y β

β=??

=?

(β为参数上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.

(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;

(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 【答案】

9（2013辽宁（理））在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的

极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ?

?==-= ???.

(I)求1C 与2C 交点的极坐标;

(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为

()3312

x t a

t R b y t ?=+?∈?=+??为参数,求,a b 的值 【答案】

10（2013福建（理））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为

极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为(2,)4π,直线的极坐标方程为cos()4a π

ρθ-=,且点A 在

直线上.

(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;

(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y α

α=+??=?

,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.

【答案】解:(Ⅰ)由点(2,)4A π在直线cos()4a π

ρθ-=上,可得2a =

所以直线的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线的直角坐标方程为20x y +-=

(Ⅱ)由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0),半径1r = 以为圆心到直线的距离2

1d =<,所以直线与圆相交