复数加减乘除练习题及答案

例计算

?； ?；

分析：根据复数加、减法运算法则进行运算。

解：???i?6?i.

???[2?]i??7?7i.

????i??11i.

确定向量所表示的复数

例如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别

表示0，3?2i，?2?4i，试求：

AO所表示的复数，BC所表示的复数.

对角线CA所表示的复数．

对角线OB所表示的复数及OB的长度．

分析：要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点。或者用向量的相等直接给出所求的结论．解：AO??OA

?AO所表示的复数为?3?2i．

?BC?AO，

?BC所表示的复数为?3?2i．

CA?OA?OC，

?CA所表示的复数为??5?2i

对角线OB?OA?AB?OA?OC，它所对应的复数为

??1?6i

|OB|??622?37

求正方形的第四个顶点对应的复数

例复数z1?1?2i，z2??2?i，z3??1?2i，它们在复平面上的对应点是一个正

方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。

分析1：利用AD?BC或者AB?DC求点D对应的复数。

解法1：设复数z1，z2，z3所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应

的复数为x?yi则

AD?OD?OA??

??i

BC?OC?OB???1?3i

∵ AD?BC，∴?i?1?3i.

?x?1?1

?y?2??3?x?2?y??1∴ ? 解得?

故点D对应的复数2?i.

分析2：利用正方形的性质，对角钱相等且互相平分，相对顶点连线段的

中点重合，即利用正方形的两条对角线交点是其对称

中心求解．

解法2：设复数z1，z2，z3所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应

的复数为x?yi

因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心．

∴ 点O也是B与D点的中点，于是由??0

∴ x?2,y??1.

故D对应的复数为2?i.

小结：解题1一定要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法，解法2利用正方形是如C对称固形，解题思路较巧．

根据条件求参数的值

例已知z1?a2?3?i，z2?a?1?i分别对应向量，

OZ1,OZ2，若向量Z2Z1对应的复数为纯虚数，求a的值．分析：Z2Z1对应的复数为纯虚数，利用复数减法先求出Z2Z1对应的复数，再

利用复数为纯虚数的条件求解即得．

解：设向量Z2Z1对应复数z ∵Z2Z1?OZ1?OZ2

∴z?z1?z2?a2?3?i?[a2?1?i]

?[?]?[?]i

??i

2???0?a?a?2?0z∵ 为纯虚数，∴ ? 即??0????a?a?6?0 ∴ a??1.

求复数的轨迹方程

例 z?r，求2z?3?4i对应的点的轨迹方程．

解：??2z?3?4i，则2z???3?4i. 又z?r，故有2z?2r.

∴ ??2r

∴ ?对应点的轨迹是以3?4i为圆心，2r为半径的圆．

小结：由减法的几何意义知z?z1表示复平面上两点z，z1间的距离．当z?z1?r，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆．当z?z1?z?z2，表示以复数z1，z2的对应点为?a href=“http:///fanwen/shuoshuodaquan/”

target=“_blank” class=“keylink”>说愕南叨蔚拇怪逼椒窒撸?/p> 求复数的最大值与最小值

例设复数满足z?4?3i?2?2?z?4?3i，求z的最大值和最小值．

分析：仔细地观察、分析等式z?4?3i?2?2?z?4?3i，实质是一实数等式，由其特点，根据实数的性质知若a??a，则a?0，因此已知等式可化为z?4?3i?2?0

解：由已知等式得z??2?0 即z??2?0，它表示的以点P 为圆心，半径R?2的圆面．如图可知z?OQ时，z有最大值OP?R?5?2?7；z?OM时z有最小值OP?R?5?2?3

小结：求复数的模的最值常常根据其几何意义，利用图形直观来解．

复数基础2

一、选择题

1．下列命题中：

①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；

②若2＋2＝0，则z1＝z2＝z3；

③x＋yi＝2＋2i?x＝y＝2；

④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．

其中正确命题的个数是

A．0 B．1 C．D．3

2．在复平面内，复数z＝sin＋icos对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．a为正实数，i为虚数单位，z＝1－ai，若|z|＝2，则a＝

A．C.D．1

4．若a，b∈R，i为虚数单位，且ai＋i2＝b＋i，则 A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1

5．复数z3＋i2对应点在复平面

A．第一象限内 B．实轴上C．虚轴上 D．第四象限内

6．设a，b为实数，若复数1＋2i＝＋i，则

A．a＝32，b1B．a＝3，b＝1C．a＝132，b2D．a＝1，b＝3

7．复数z＝1212i在复平面上对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．已知关于x的方程x2＋x＋2＋2i＝0有实根n，且z＝m＋ni，则复数z等于

A．3＋i B．3－I C．－3－i D．－3＋i

9．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于 A34i B.3334－I C．－4－ii

10．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝

A．0 B．2i C． D．6－2i

11．计算－的结果为

A．5－6i B．3－5i C．－5＋6i D．－3＋5i

12．向量OZ→对应的复数是5－4i，向量OZ→→→

12对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是 A．－10＋8i B．10－8i C．0D．10＋8i

13．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．如果一个复数与它的模的和为53i，那么这个复数是 A.5IC.1153i 11

5＋23i

15．设f＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f＝

A．1－3i B．11i－C．i－D．5＋5i

16．复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为

A． C．D.6

17．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为

A．0 B．1 C.1

2D.2

18．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值为

A．B．C．D．5

19．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则A．i∈SB．i2∈S C．i3∈SD.2

i∈S

20．把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位．若z ＝1＋i，则·z＝

2＋4i21 ?1＋i?A．2＋i B．－2＋IC．2－i D．－2－i 234i＋i＋i22．复数＝ 1－i

11111111Ai B．－＋I C.－i i2222222

2＋i23．复数的共轭复数是 1－2i

33AB.i C．－i D．i5

1＋i424．i是虚数单位，等于 1－i

A．i B．－I C．1 D．－1

25．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝

A．4＋2i B．2＋I C．2＋2i D．3＋i

26．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则 z A．iB．－i C．±1D．±i

27．对任意复数z＝x＋yi，i为虚数单位，则下列结论正确的是

A．|z－z|＝2yB．z2＝x2＋y C．|z－z|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|

二、填空题

28．在复平面内表示复数z＝＋2mi的点在直线y＝x 上，则实数m的值为________．

29．复数z＝x＋1＋i，且|z|＝3，则点Z的轨迹是________．

30．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－3－2i，z4＝32i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.

→→→31．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA与OB，则向量AB表示的复数是________．

32．已知f＝3z－2i，则f＝________.

33．已知复数z1＝＋i，z2＝a－i，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.

34．若复数z＝1－2i，则z·z＋z＝________.

35．设复数z满足i＝－3＋2i，则z的实部是________． 36．已知复数z满足|z|＝5，且z是纯虚数，则z＝________.

答案

一、选择题

1．解析：选A.在①中没有注意到z＝a＋bi中未对a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方

222与实数的平方等同，如：若z1＝1，z2＝i，则z21＋z2＝1－1＝0，从而由z1＋z2＝0?/ z1＝z2＝0，故②错误；

在③中若x，y∈R，可推出x＝y＝2，而此题未限制x，y∈R，故③不正确；④中忽视0·i＝0，故④也是错误的．故选A.

π2．解析：选D.∵0，cos2 故z＝sin＋icos对应的点在第四象限．故选D.

3．解析：选B.|z|＝|1－ai|＝ a＋1＝2，∴a＝3.

而a是正实数，∴a＝3.

4．解析：选D.ai＋i2＝－1＋ai＝b＋i，

故应有a＝1，b＝－1.

5．解析：选B.∵z＝3＋i2＝3－1∈R，

∴z对应的点在实轴上，故选B.

??a－b＝1316．解析：选A.由1＋2i＝＋i得?，解得a＝b＝.2?a＋b＝2?

11?7．解析：选A.∵复数z在复平面上对应的点为??2，2?，该点位于第一象限，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．

8．解析：选B.由题意知n2＋n＋2＋2i＝0，

即n2＋mn＋2＋i＝0.

?n2＋mn＋2＝0?m＝3??∴?，解得?，∴z＝3－i. ??2n ＋2＝0n＝－1??

9．解析：选D.设z＝x＋yi，

则x＋yi＋x＋y＝2＋i，

3??x＝4，?x＋x＋y＝2，∴?解得? ?y＝1.??y＝1.

3∴z＝＋i.

10．解析：选D.由z＋i－3＝3－i，知z＝＋＝6－2i. 11．解析：选A.－＝－i＝5－6i.

→→12．解析：选C.OZ1＋OZ2对应的复数是5－4i＋＝＋i＝0.

13．解析：选D.∵z1＋z2＝＋

＝＋i＝1－i，

∴z1＋z2对应的点为，在第四象限．

14．解析：选C.设这个复数为z＝a＋bi，

则z＋|z|＝5＋3i，即aa＋b＋bi＝53i，

??b3?b＝3∴?，解得?11. ?aa＋b＝5??a5

11∴z＝5

15．解析：选D.先找出z1－z2，再根据求函数值的方法求解．

∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，

∴z1－z2＝＋i＝5＋5i.

∵f＝z，

∴f＝z1－z2＝5＋5i.故选D.

16．解析：选D.|z1－z2|＝|＋2i|

＝ ?cosθ－sinθ?＋4

＝5－2sinθcosθ

＝5－sin2θ≤6.

17．解析：选C.|z＋1|＝|z－i|表示以、为端点的线段的垂直平分线，而|z＋i|＝|z－|表示直线

2上的点到的距离，数形结合知其最小值为.

18解析：选B.法一：设z＝x＋yi，则有|x＋yi＋2－2i|＝1，即|＋i|＝1，所以根据复数模的计算公式，得2＋2＝1，又|z－2－2i|＝|＋i|＝?x－2?＋?y－2?＝?x－2?＋1－?x＋2?＝1－8x.

而|x＋2|≤1，即－3≤x≤－1，∴当x＝－1时，|z－

2－2i|min＝3.

法二：利用数形结合法．

|z＋2－2i|＝1表示圆心为，半径为1的圆，而|z－2－2i|＝|z－|表示圆上的点与点的距离，由数形结合知，其最小值为3，故选B.

219．解析：选 B.因为i2＝－1∈S，i3＝－i∈/S，2i∈/S，故选B. i

20．解析：选A.·z＝·＝3－i.

2＋4i2＋4i1＋2i21．解析：选2－i.故选C.ii?1＋i?i2＋i3＋i4－1－i＋1－i?－i??1＋i?1－i1122．解析：选＝＝＝＝i.221－i1－i1－i?1－i??1＋i?

2＋i2＋i＋4i－22＋i23．解析：选C.法一：＝i，∴i.1－2i1－2i

2＋i－2i2＋ii法二：＝i， 1－2i1－2i1－2i

2＋i∴i. 1－2i

1＋i41＋i222i224．解析：选)＝[＝1.故选C. 1－i1－i－2i

25．解析：选A.∵z1＝1＋i，z2＝3－i，

∴z1·z2＝＝3＋3i－i－i2＝3＋2i＋1＝4＋2i.故选A.

26．解析：选D.法一：设z＝x＋yi，则z＝x－yi，由z＋z＝4，z·z＝8得，

????x＋yi＋x－yi＝4，?x＝2?x＝2???22??. ??x＋yi??x－yi?＝8.??y＝±2??x＋y＝8?

x－yix2－y2－2xyi∴＝±i. zx＋yix＋y法二：∵z ＋z＝4，

设z＝2＋bi，

又z·z＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8，

∴b2＝4，∴b＝±2，

∴z＝2±2i，z＝2?2i，∴zz±i. z

27．解析：选D.∵z＝x－yi，|z－z|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴A不正确；对于B，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；∵|z－z|＝|2y|≥2x不一定成立，∴C不正确；对于D，|z|＝x＋y≤|x|＋|y|，故D正确．

二、填空题

28．解析：复数z在复平面上对应的点为，

∴m－3＝2m，即m－2m－3＝0.

解得m＝9.

答案：9

29．解析：∵|z|＝3?x＋1?＋?y－2?＝3，即2＋2＝32.故点Z的轨迹是以O′

为圆心，以3为半径的圆．

答案：以为圆心，3为半径的圆

30．解析：|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝5，所以点A，B，

C，D5为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD对角互补，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.

→→→→31．解析：AB表示OB－OA对应的复数，由－2－5i－＝－6－8i，知AB对应的复数是－6－8i.

答案：－6－8i

32．解析：设z＝a＋bi，则

f[a＋i]＝3－2i＝3a＋i，令a＝0，b＝0，则f＝－2i.

答案：－2i

33．解析：z1－z2＝＋i＝＋i为纯虚数，∴2??a－a －2＝0，?2解得a＝－1. ?a＋a－6≠0，?

34．解析：∵z＝1－2i，∴z·z＝|z|2＝5.∴z·z＋z ＝6－2i.

答案：6－2i

35．解析：设z＝a＋bi，由i＝－3＋2i，得－b＋i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1. 答案：1

ti|t|36．解析：∵z是纯虚数，可设z＝ti，∴z＝，∴|z|＝＝5，∴|t|＝25，∴t53－4i

＝±25，

±25i∴z＝＝±i＝±，z＝±＝±．－4i

答案：±

复数练习题

1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，

则有

A．a－c＝0且b－d≠0B．a－c＝0且b＋d≠0

C．a＋c＝0且b－d≠0 D．a＋c＝0且b＋d≠0

2．[－i]－[－i]等于

A．－2b－2bi B．－2b＋2bi

的值为，下列结论正确的是

A．a＝0?a＋bi为纯虚数 B．b＝0?a＋bi为实数

C．a＋i＝3＋2i?a＝3，b＝－D．－1的平方等于i

8，若复数＋i不是纯虚数，则

A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2

C．a≠－1 D．a≠2

9，已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝

A．－3i B．3i

C．±3i D．4i

10，若sin2θ－1＋i是纯虚数，则θ的值为ππA．2kπ－ B．2kπ44

kππC．2kπ±D.＋以上k∈Z) 12131415

虚

[答案]1，A ，A3，C ，B ，C ，D ，B ，B ，B 10，B 11, 16i 12， 13，— 14， 1 15, －11i16, [解析] 所以当a＝6时，z为实数．

所以当a∈∪∪∪时，z为虚数．

所以不存在实数a使得z为纯虚数．