相似三角形(含练习有答案、例题和知识点)

第27章：相似

一、基础知识

(一).比例

1.第四比例项、比例中项、比例线段；

2.比例性质：

（1）基本性质：

bc ad d c b a =?= ac b c b

b a =?=2 （2）合比定理：d d

c b b a

d c b a ±=

±?= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++?==n d b b

a

n d b m c a n m d c b a

3.黄金分割：如图，若AB PB PA ?=2

，则点P 为线段AB 的黄金分割点．

4．平行线分线段成比例定理

(二)相似

1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.

2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.

3.相似三角形的判定

● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三

角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角

形相似。

4.

相似三角形的性质

● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.

● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.

● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:

连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.

梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:

１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等

3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似:

位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.

位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

B

A

P

二、经典例题

例1.

如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？

[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.

[参考答案] ①135°，22 ②能判断△ABC 与△DEF 相似，

∵∠ABC=∠DEF=?135°，AB BC

DE EF

=

=2 【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断． 例2. 如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．

[考点透视]本例主要是考查相似的判定

[参考答案] ∠1=∠B 或∠2=∠C ，或

AD AE

AB AC

=

点评：结合判定方法补充条件．

例3. 如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD?的长为1米，继续往前走2米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的

高度等于（ ）

A ．4.5米

B ．6米

C ．7.2米

D ．8米 [考点透视]本例主要是考查相似的应用 [参考答案] B

【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“

1.5

AB

”． 例4. 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，?要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，?这个正方形零件的

边长是多少？

[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用 [参考答案] 48mm

【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，?一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．

例5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC=1，点D 、E 在直线BC 上运动，设BD=x ，CE=y ． （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y 与x 之间的函数关系式；

（2）如果∠BAC 的度数为α，∠DAE 的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y 与x?之间的函数关系式还成立，试说明理由．

[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.

[参考答案]解:在△ABC 中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=?∠ACB=75°，∠ABD=

∠ACE=105°．

又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．? 又∠DAB+?∠ADB=∠ABC=75°，

∴∠CAE=∠ADB ，∴△ADB ∽△EAC ，

∴

1,1AB BD x EC AC y ==即，∴y=1

x

． 当α1β满足β- 2

α =90°，y=1

x 仍成立．

此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，

∴∠CAE=∠ADB ．

又∵∠ABD=∠ACE ，∴△ADB ∽△EAC ，∴y=

1x

． 【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系． 例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm ×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m ×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？

解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．

[考点透视]本例主要是考查位似的性质.

[参考答案] 80

7

m

【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．

三．适时训练

（一）精心选一选

1．梯形两底分别为m 、n ，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线

段长为（ ）（A ）

mn n m + （B ）n m mn +2 （C ）n m mn + （D ）mn

n

m 2+ 2．如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AC AD ＝3

1

，AE ＝BE ，则（ ）

（A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD （C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD

题2 题4 题5

3．P 是Rt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）

（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条

4．如图，∠ABD ＝∠ACD ，图中相似三角形的对数是（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

5．如图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ）

（A ）∠APB ＝∠EPC （B ）∠APE ＝90°（C ）P 是BC 的中点（D ）BP ︰BC ＝2︰3 6．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且有下列条件： （1）∠B ＋∠DAC ＝90°；（2）∠B ＝∠DAC ；（3）

AD CD ＝AB

AC

；（4）AB 2＝BD ·BC 其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ）

（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个

题6 题7 题8

7．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论中错误的是（ ）

（A ）AE ⊥AF （B ）EF ︰AF ＝2︰1（C ）AF 2＝FH ·FE （D ）FB ︰FC ＝HB ︰EC 8．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有（ ）

（A ）△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周长 （B ）△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积 （C ）△ABE ∽△DEC （D ）△ABE ∽△EBC

9．如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，DE ︰CE ＝2︰3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ︰S △EBF ︰S △ABF 等于（ ）

（A ）4︰10︰25 （B ）4︰9︰25 （C ）2︰3︰5 （D ）2︰5︰25

题9 题10 题11

10．如图，直线a ∥b ，AF ︰FB ＝3︰5，BC ︰CD ＝3︰1，则AE ︰EC 为（ ）．

（A ）5︰12 （B ）9︰5 （C ）12︰5 （D ）3︰2 11．如图，在△ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝

4

1

AB ，连结EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC ︰CD 为（ ）

（A ）2︰1 （B ）3︰2 （C ）3︰1 （D ）5︰2

12．如图，矩形纸片ABCD 的长AD ＝9 cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为（ ）

（A ）4 cm 、10 cm （B ）5 cm 、10 cm （C ）4 cm 、23 cm （D ）5 cm 、23 cm

题12

（二）细心填一填

13．已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是_____cm ，a ＋b 与

a －

b 的比例中项是_____cm ． 14．若

c b a +＝a c b +＝b

c

a +＝－m 2，则m ＝______． 15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝27，D 在AC 上，且BD ＝BC ＝18，DE ∥BC 交AB 于E ，

则DE ＝_______．

16．如图，□ABCD 中，E 是AB 中点，F 在AD 上，且AF ＝2

1

FD ，EF 交AC 于G ，则AG ︰AC ＝______．

题16 题17 题18 17．如图，AB ∥CD ，图中共有____对相似三角形．

18．如图，已知△ABC ，P 是AB 上一点，连结CP ，要使△ACP ∽△ABC ，只需添加条件______

（只要写出一种合适的条件）．

19．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15，AF ＝4，则DE 的长等于________．

题19 题20 题21

20．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，AE ＝EC ，AD ＝18，BE ＝15，则

△ABC 的面积是______．

21．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝8，BC ＝10，则梯形ABCD

面积是_________．

22．如图，已知AD ∥EF ∥BC ，且AE ＝2EB ，AD ＝8 cm ，AD ＝8 cm ，BC ＝14 cm ，

则S 梯形AEFD ︰S 梯形BCFE ＝____________．

(三)认真答一答

23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．

24. 如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 为BC 中点，延长AC 、DE 相交于点F ，

求证

BC AC ＝DF

AF

．

25. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 至D ，使得CD ＝BC ，CE ⊥BD 交AD 于E ，连

结BE 交AC 于F ，求证AF ＝FC ．

26. 已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD ．

求证：

AB AE ＋CD

CG

＝1．

27. 如图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别

交CE 及BA 的延长线于F 、H ，求证：（1）DG 2＝BG ·CG ；（2）BG ·CG ＝GF ·GH ．

28. 如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ．

（1）当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，△ABC ∽△CDB ？

（2）过A 作BD 的垂线，与DB 的延长线交于点E ，若△ABC ∽△CDB ． 求证四边形AEDC 为矩形（自己完成图形）．

29. 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连结FC

（AB ＞AE ）．

（1）△AEF 与△EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

（2）设

BC

AB

＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF ∽△BFC ，若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由．

30. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，CA ＝8 cm ，动点P 从点C 出发，以每秒

2 cm 的 速度沿CA 、AB 运动到点B ，则从C 点出发多少秒时，可使S

△BCP ＝4

1

S △ABC ？

31. 如图，小华家（点A 处）和公路（L ）之间竖立着一块35m?长且平 行于公路的巨型广告牌（DE ）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC ．一辆以60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段BC 的时间是3s ，已知广告牌和公路的距离是40m ，求小华家到公路的距离（精确到1m ）．

32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：

如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，试问：△AOB 和△DOC 是否相似？

某学生对上题作如下解答：

答：△AOB ∽△DOC ．理由如下：

在△AOB 和△DOC 中，∵AD ∥BC ，∴

AO DO

OC OB

=

， ∵∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ． 请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．

33. 如图：四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，①过C 作对角线BD 的垂线交BD 、AD 于

点E 、F ，求证：DA DF CD ?=2；②如图：若过BD 上另一点E 作BD 的垂线交BA 、BC 延长线于F 、G ，又有什么结论呢？你会证明吗？

A

B

C

D F

E

A

B

C

D

F E

G

34. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m 宽的亮区(如图所示),

已知亮区到窗口

下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.

35. （1）如图一，等边△ABC 中，D 是AB 上的动点，以CD 为一边，向上作等边△

EDC ，连结AE 。求证：AE//BC ；

（2）如图二，将(1)中等边△ABC 的形状改成以BC 为底边的等腰三角形。所作△EDC

改成相似于△ABC 。请问：是否仍有AE//BC ？证明你的结论。

36. 如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，且⊙O 直经BD=6，连结CD 、AO 。（1）求证：CD ∥AO ；

（2）设CD=x ，AO=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB 的长。

37. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD = 1，P 、Q 分别为AD 、BC 上两点，且AP=CQ ，连结AQ 、BP 交于点E ，EF 平行BC 交PQ 于F ，AP 、BQ 分别为方程02=+-n mx x 的两根.（1）求m 的值（2）试用AP 、BQ 表示EF

PQE 8

38. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm ，OB=6cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点

A 以1cm/s 的速度移动：点Q 从点

B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（06t ≤≤），那么：

（1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式。 （2）当△POQ 的面积最大时，△ POQ 沿直线PQ 翻折 后得到△PCQ ，试判断点C 是否落在直线AB 上， 并说明理由。

（3）当t 为何值时， △POQ 与△AOB 相似？

39. 如图，矩形PQMN 内接于△ABC ，矩形周长为24，AD ⊥BC 交PN 于E ，且BC ＝10，AE ＝16，求△ABC 的面积．

40. 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．

41.(09延庆一模) 在Rt △ABC 中，∠C=90

， BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，

DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△BDE 的外接圆，交BC 于点F （1）求证:AC 是⊙O 的切线;

O

P

A

X

Y B Q A C

E

O

B F D

（第41题）

AC

42.(09东城一模) 请阅读下列材料：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如右图1,若弦AB 、CD 交于点

P 则PA ·PB=PC ·PD ．请你根据以上材料，解决下列问题.

已知⊙O 的半径为2，P 是⊙O 内一点，且OP=1，过点P 任作一弦AC ，过A 、C 两点分别作⊙O 的切线m 和n ，作PQ ⊥m 于点Q ，PR ⊥n 于点R.（如图2）

(1)若AC 恰经过圆心O ,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：

PR

PQ 11+的值； (2)若OP ⊥AC, 请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：

PR

PQ 11+的值； (3)若AC 是过点P 的任一弦（图2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想：

PR

PQ 11+的值，并给出证明．

43.(09昌平一模) .已知90AOB ∠=?，OM 是AOB ∠的平分线．将一个直角RPS 的直角顶点P 在射线OM 上移动，点P 不与点O 重合.

（1）如图，当直角RPS 的两边分别与射线OA 、OB 交于点C 、D 时，请判断PC 与PD 的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图，在（1）的条件下，设CD 与OP 的交点为点G ，且32PG PD =

，求GD OD

的值；

（3）若直角RPS 的一边与射线OB 交于点D ，另一边与直线OA 、直线OB 分别交于点C 、E ，且以P 、D 、E 为顶点的三角形与OCD ?相似，请画出示意图；当1OD =时，直接写出OP 的长.

P O （图3） P O （图4） R Q n m

C A

P

O （图2）

P

O A

B

D C

（图1）

R

B P

C

A

D

O

G S

M

44.(09昌平二模) 图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC 和C D E '''叠放在一起（C 与C '重合）．

（1）固定△ABC ，将△C D E '''绕点C 顺时针旋转30?得到△CDE ，连结AD BE 、（如图2）．此时线段BE 与AD 有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）设图2中CE 的延长线交AB 于F ，并将图2中的△CDE 在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE 设为△QRP （如图3）．设△QRP 移动（点

P Q 、在线段CF 上）的时间为x 秒，若△QRP 与△AFC 重叠部分的面积为y ，求y 与

x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）若固定图1中的△C D E '''，将△ABC 沿C E ''方向平移，使顶点C 落在C E ''的中点处，再以点C 为中心顺时针旋转一定角度，设()3090ACC αα'∠=?<

图1 图2 图3 图4

45.(09通州二模) 如图：AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5DAB ∠=，延长AB 到点C ， 使得2ACD DAB ∠=∠．

(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若22AB =，求BC 的长．

B A M F B P

C 'C C A

N (C ')

D '

E 'E B A D C (C ')Q

B A R

C E '

D '

O

E

D C

B

A

46.(09房山二模) 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A .

（1）求证： BC 是⊙O 的切线；

（2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长.

47.(09朝阳二模) 在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''（使E BC '∠＜180°），连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O.

（1）如图①，当AC=BC 时，D A ':E B '的值为 ；

（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求D A ':E B '的值；

（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值.

图① 图②

48.(09东城二模) 如图，在直角梯形ABCD 中，

AD//BC,D C ⊥BC ,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12,点E 在下底边BC 上，点F 在AB 上． （１）若EF 平分直角梯形ABCD 的周长，设BE 的长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积；

（２）是否存在线段EF 将直角梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE

O

D'

E B C A

D E'O E'

D'

E

B C

A

D

的长；若不存在，请说明理由．

（３）若线段EF 将直角梯形ABCD 的周长分为１：２两部分，将△BEF 的面积记为1S ,五边形AFECD 的面积记为2S ,且12:,S S k =求出k 的最大

值．

49.(09门头沟二模) ．在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连结BE ，且BE ＝2AE ， BD 是∠EBC 的平分线．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ．

（1）当点P 在线段ED 上时（如图①），求证：3

3

BE PD PQ =+

； （2）当点P 在线段ED 的延长线上时（如图②），请你猜想3

3

BE PD PQ 、、三者之间

的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）； （3）当点P 运动到线段ED 的中点时（如图③），连结QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足

为F ，PF 交BD 于点G ．若BC ＝12，求线段PG 的长．

图图图32

1

A B

C

D

E

Q P

G

P

Q E

D

C

B

A

P Q

E

D

C B

A F

50.(同上)．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （4，0），点B （0，3），点P 从点B

出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q 从点A 出发沿AO 方向向点O 匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ ．若设运动的时间为t 秒

C

B

A

D

F E

y x

Q P

O B

A （0＜t ＜2）．

（1）求直线AB 的解析式；

（2）设△AQP 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△AOB 的周长和面积同时平分？若存在，

请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连结PO ，并把△PQO 沿QO 翻折，得到四边形PQP O '，那么是否存在某一时刻t ，

使四边形PQP O '为菱形？若存在，请求出此时点Q 的坐标和菱形的边长；若不存

在，请说明理由．

参 考 答 案

（一）精心选一选

1．B 2.B 3.C 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B

（二）细心填一填

13． 【答案】

3

8

；42． 14．【提示】分a ＋b ＋c ≠0和a ＋b ＋c ＝0两种情况 【答案】±1． 15．【提示】由△ABC ∽△BCD ，列出比例式，求出CD ，再用△ABC ∽△AED ． 【答案】10． 16．【提示】延长FE 交CB 延长线于H 点，则AF ＝BH ，考虑△AFG ∽△CHG ． 【答案】1︰5． 17．【提示】分“”类和“”类两类． 【答案】6对． 18． 【答案】∠B ＝∠ACP ，或∠ACB ＝∠APC ，或AC 2＝AP ·AB ． 19． 【答案】6． 20．【提示】作EF ∥BC 交AD 于F ．设BE 交AD 于O 点，先求出OD 长和OB 长，最后用勾股定理求出BD 的长． 【答案】144．

21． 【提示】作AE ∥DC 交BC 于E 点，由Rt △ABE ∽Rt △CBA ，依次算出BE 、AB 的长，最后求出

AE 的长，即可求出梯形面积． 【答案】36．

(三)认真答一答

22．【提示】延长EA ，与CD 的延长线交于P 点，则△APD ∽△EPF ∽△BPC ． 【答案】

13

20

23．方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．

【提示】先任意画一个格点钝角三角形，然后三边都扩大相同的倍数，画出另一个格点钝角三角形． 24．【提示】过F 点作FG ∥CB ，只需再证GF ＝DF ．

【答案】方法一：作FG ∥BC 交AB 延长线于点G ．

∵ BC ∥GF ，

∴

BC AC ＝

GF

AF

．

又 ∠BDC ＝90°，BE ＝EC ， ∴ BE ＝DE ． ∵ BE ∥GF ， ∴

GF

DF ＝

BE

DE ＝1． ∴ DF ＝GF ． ∴

BC AC ＝

DF AF

．

方法二：作EH ∥AB 交AC 于点H ．∵ BC AC ＝

BE AH

，

DF

AF ＝

DE

AH

， ∠BDC ＝90°，BE ＝EC ，

∴ BE ＝DE ． ∴

BC AC ＝

DF

AF

．

25．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 至D ，使得CD ＝BC ，CE ⊥BD 交AD 于E ，连结BE 交AC 于F ，求证AF ＝FC ．

【提示】先证△BCF ∽△DBA ，再证

AC FC ＝2

1

． 【答案】∵ BC ＝CD ，EC ⊥BD ， ∴ BE ＝DE ，∠FBC ＝∠D ．

又 AB ＝AC ， ∴ ∠BCF ＝∠DBA ．

∴ ∠BCF ∽△DBA ． ∴ AB FC ＝DB BC

． 又 BD ＝2BC ，AB ＝AC ， ∴ AC FC ＝BC BC 2＝2

1

． ∴ FC ＝

2

1

AC ． 因此 AF ＝FC ．

26．已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD ．

求证：

AB AE ＋

CD

CG

＝1．

【提示】利用AC ＝AF ＋FC ． 【答案】∵ EF ∥BC ，FG ∥AD ，∴

AB AE ＝AC AF ，

CD

CG

＝

CA

CF

． ∴

AB AE ＋

CD

CG

＝

AC AF ＋CA CF ＝AC

AC

＝1． 27．如图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H ，求证：

（1）DG 2＝BG ·CG ；（2）BG ·CG ＝GF ·GH ．

【提示】（1）证△BCG ∽△DCG ；（2）证Rt △HBG ∽Rt △CFG ． 【答案】（1）DG 为Rt △BCD 斜边上的高，

∴ Rt △BDG ∽Rt △DCG ．∴

DG CG ＝BG

DG

，即DG 2＝BG ·CG ． （2）∵ DG ⊥BC ， ∴ ∠ABC ＋∠H ＝90°，CE ⊥AB ．

∴ ∠ABC ＋∠ECB ＝90°．∴ ∠ABC ＋∠H ＝∠ABC ＋∠ECB ．∴ ∠H ＝∠ECB ．

又 ∠HGB ＝∠FGC ＝90°，∴ Rt △HBG ∽Rt △CFG ．∴

GF BG ＝

GC

GH

，

∴ BG ·GC ＝GF ·GH ．

28．如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ．

（1）当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，△ABC ∽△CDB ？

（2）过A 作BD 的垂线，与DB 的延长线交于点E ，若△ABC ∽△CDB ． 求证四边形AEDC 为矩形（自己完成图形）．

【提示】利用三角形相似，推出BD ＝

a

b

2

．

【答案】（1）∵ ∠ABC ＝∠CDB ＝90°，∴ 当

BC AC ＝BD

BC

时，△ABC ∽△CDB ． 即

b a ＝BD

b

．∴ BD ＝a b 2．即当BD ＝a

b 2

时，△ABC ∽△CDB ．

∵ △ABC ∽△CDB ，∴ ∠ACB ＝∠CBD ．∴ AC ∥ED ．

又 ∠D ＝90°，∴ ∠ACD ＝90°．∴ ∠E ＝90°．∴ 四边形AEDC 为矩形．

29．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连结FC

（AB ＞AE ）．

（1）△AEF 与△EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

（2）设

BC

AB

＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF ∽△BFC ，若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由．

【提示】（1）如图，证明△AFE ≌△DGE ，证出∠AFE ＝∠EFC ．

（2）证明∠ECG ＝30°，∠BCF ＝30°． 【答案】如图，是相似．

【证明】延长FE ，与CD 的延长线交于点G ．

在Rt △AEF 与Rt △DEG 中，

∵ E 是AD 的中点，∴ AE ＝ED ．

∵ ∠AEF ＝∠DEG ，∴ △AFE ≌△DGE ． ∴ ∠AFE ＝∠DGE ．∴ E 为FG 的中点．

又 CE ⊥FG ，∴ FC ＝GC ．∴ ∠CFE ＝∠G ．∴ ∠AFE ＝∠EFC ．

又 △AEF 与△EFC 均为直角三角形，∴ △AEF ∽△EFC ． ① 存在．如果∠BCF ＝∠AEF ，即k ＝

BC

AB ＝23时，△AEF ∽△BCF ．

证明：当

BC AB ＝23时，

DE

DC

＝

3，∴

∠ECG ＝30°．

∴ ∠ECG ＝∠ECF ＝∠AEF ＝30°．∴ ∠BCF ＝90°－60°＝30°．

又 △AEF 和△BCF 均为直角三角形，∴ △AEF ∽△BCF ．

② 因为EF 不平行于BC ，∴ ∠BCF ≠∠AFE ．∴ 不存在第二种相似情况．

30．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，CA ＝8 cm ，动点P 从点C 出

发，以每秒2 cm 的速度沿CA 、AB 运动到点B ，则从C 点出发多少秒时，可使

S △BCP ＝

4

1S △ABC

？

【提示】先求CP ，再求DP ．

【答案】当点P 从点C 出发，运动在CA 上时，若S △BCP ＝

4

1S △ABC

，则

21·CP ·BC ＝41·2

1

AC ·BC ， ∴ CP ＝

4

1

·AC ＝2（cm ）． 故由点P 的运动速度为每秒2 cm ，它从C 点出发1秒时，有S △BCP ＝4

1S △ABC

．当点P 从点C 出

发运动到AB 上时，如图，可过点P 作PD ⊥BC 于D ．

若S △BCP ＝

4

1S △ABC

，则

21PD ·BC ＝41·2

1

AC ·BC ． ∴

PD ＝4

1

AC ＝2（cm ）．

∵ Rt △BAC ∽Rt △BPD ， ∴

AB BP ＝AC

PD

． 又 AB ＝22BC AC +＝10， 故

BP ＝8

102?＝25，AP ＝AB －BP ＝10－25＝7.5．

也就是说，点P 从C 出发共行15.5 cm ，用去7.75秒，此时S △BCP ＝

4

1

S △ABC

．

答：1秒或7.75秒．

31. BC=50m ，AM ≈133米． 32. 错误，∵

AO BO

OD OC

≠ 33. 证△DCE ∽△DBC 得DC 2=DE ·DB 再证△DEF ∽△DAB 得DE ·DB=DA ·

DF

(2)AD ·DF=DG ·DC 34. BC=4m

35. 证（1）△EAC 与△DBC 全等,得到∠EAC=∠B,而∠B=∠ACB,得∠EAC=∠ACB 故AE//BC

(2) △EAC ∽△DBC 得到∠EAC=∠B,而∠B=∠ACB,得∠EAC=∠ACB 36. （1）连接BC 交OA 于E 点 ∵AB 、AC 是⊙O 的切线，

∴AB=AC, ∠1=∠2 ∴AE ⊥BC ∴∠OEB=90O ∵BD 是⊙O 的直径 ∴∠DCB=90O ∴∠DCB=∠OEB ∴CD ∥AO … (2)∵CD ∥AO ∴∠3=∠4 ∵AB 是⊙O 的切线，DB 是直径

∴∠DCB=∠ABO=90O ∴△BDC ∽△AOB ∴

BD AO = DC

OB

∴6y = x 3 ∴y = 18

x

∴0

(3)由已知和(2)知：???==+18xy 11

y x ……………8分

把x 、y 看作方程z 2-11z+18=0的两根

解这个方程 得 z=2或z=9

∴ ???==9

y 2x 11 ???==2

y 9x 22 （舍去） ∴AB=92-32 =72 =6

37. （1）∵AP=QC ，AP+BQ=QC+BQ=BC=1

又∵AP 、BQ 分别为方程02=+-n mx x 的两根，有AP+BQ=m ，AP ·BQ=n ∴AP+BQ=m=1（2分） （2）∵EF ∥AP ∴

AQ EQ AP EF = 又∵AP ∥BQ ∴AP

BQ

AE EQ = ∴

BQ AP BQ EQ AE EQ +=+ 即BQ AP BQ AQ EQ +=

∴

BQ AP BQ AP EF +=即：BQ

AP BQ

AP EF +?= （3）连结QD ，则EP ∥QD ，得：S △AQD =2

1

，且S △AEP ∶S △AQD =AP 2∶AD 2= AP 2∶1= AP 2 ∴S △AEP = AP 2·S △AQD =

2

1AP 2

∴S △PQE ∶S △AEP =EQ ∶AE ， E

4

3D 21O

图20

C B

A