精品高一数学必修4课时练：两角差的余弦公式

第三章三角恒等变换

§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1 两角差的余弦公式

课时目标

1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.

2.掌握两角差的余弦公式．

两角差的余弦公式

C (α－β)：cos(α－β)＝____________________________，其中α、β为任意角．

一、选择题

1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝( )

A ．－12 B.12

C ．0

D ．1 2．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )

A ．cos α

B ．cos β

C ．cos(2α＋β)

D ．sin(2α＋β)

3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( )

A.12 B ．－12 C.32 D ．－32

4．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010

，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6

5．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ????π2＋φ＝－255

，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )

A ．－

55 B.55 C.11525

D. 5 6．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12

，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B ．－3 C.3 D ．1

二、填空题

7．cos 15°的值是________．

8．若cos(α－β)＝13

，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．

10．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010

，则α－β的值为________．

三、解答题

11．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114

，α、β均为锐角，求cos β的值．

12．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2

<α＋β<2π，求β的值．

能力提升

13．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos α＋β2

的值．

14．已知α、β、γ∈???

?0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．

1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另

外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．

2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：

①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值． 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．

§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3．1.1 两角差的余弦公式

答案

知识梳理

cos αcos β＋sin αsin β 作业设计

1．C 2.B

3．A [原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝

cos(－60°)＝12

.] 4．C [sin(α－β)＝－255(－π2<α－β<0)．sin 2α＝31010

， ∴cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010·55

＋????31010·???

?－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4

.] 5．B [∵sin(π＋θ)＝－35

，

∴sin θ＝35

，θ是第二象限角， ∴cos θ＝－45

. ∵sin ????π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255

， φ是第三象限角，

∴sin φ＝－55

. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝????－45×????－255＋35×????－55＝55.]

6．B [由题意知??? sin α＋sin β＝1－32 ①cos α＋cos β＝12

②

①2＋②2?cos(α－β)＝－

32.] 7.2＋64 8.83

解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83

. 9．－12

解析 由?

????

sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ② ①2＋②2?2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1?cos(α－β)＝－12

. 10．－π4

解析 ∵α、β∈???

?0，π2， ∴cos α＝255，sin β＝31010

， ∵sin α

?－π2，0. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255·1010＋55·31010＝22

， ∴α－β＝－π4

. 11．解 ∵α∈???

?0，π2，tan α＝43， ∴sin α＝437，cos α＝17

. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114

， ∴sin(α＋β)＝5314

. ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝????－1114×17＋5314×437＝12.

12．解 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45

， ∴sin(α－β)＝35

. ∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35

， ∴cos(α＋β)＝45

. ∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×????－45＋???

?－35×35＝－1.∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π，∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2

. 13．解 ∵π2<α<π，∴π4<α2<π2

. ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0，－π4<－β2

<0. ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2

. 又cos(α－β2)＝－19

<0， sin(α2－β)＝23

>0， ∴π2<α－β2<π，0<α2－β<π2

. ∴sin(α－β2)＝1－cos 2(α－β2)＝459

. cos(α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝53

. ∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝(－19)×53＋459×23＝7527

. 14．解 由已知，得

sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.

平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.

∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12

， ∴β－α＝±π3

. ∵sin γ＝sin β－sin α>0，

∴β>α，∴β－α＝π3

.