行程问题专题讲义

专题突破讲义行程专题

行程问题专题

一、前

言 ..................................................................... ....................... 2 1、学习行程问题的意

义 ..................................................................... ......... 2 2、学习行程问题的障

碍 ..................................................................... ......... 2 3、学习行程问题的方

法 ..................................................................... ......... 2 4、基础知识列

表 ..................................................................... ............... 2 二、基础模型化行程问

题 ..................................................................... ......... 3 1、相遇问

题 ..................................................................... ................... 3 2、追及问

题 ..................................................................... ................... 5 3、流水行程问

题 ..................................................................... ............... 7 4、火车行程问

题 ..................................................................... ............... 9 三、拓展性行程问

题 ..................................................................... ............ 11 1、环形跑道行程问

题 ..................................................................... .......... 11 2、多次相遇行程问

题 ..................................................................... .......... 14 3、时钟问

题 ..................................................................... .................. 15 4、牛吃草问

题 ..................................................................... ................ 16 5、电梯问

题 ..................................................................... .................. 17 6、接送问

题 ..................................................................... .................. 18 7、狗追兔子问

题 ..................................................................... .............. 19 8、图形行程问

题 ..................................................................... .............. 19 四、小升初行程问

题 ..................................................................... ............ 20 1、五升六考试

题 ..................................................................... .............. 20 2、小升初考试

题 ..................................................................... .............. 24 五、竞赛训

练 ..................................................................... .................. 38 1、希望

杯 ..................................................................... .................... 38 2、华杯

赛 ..................................................................... .. (40)

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一、前言

1、学习行程问题的意义

我们任意翻开一套试卷，只要是一套综合的测试，大概就会发现少则一道多则三五道的行程问题。统计以往成

1都市“小升初”试卷和华奥赛试卷，行程问题一般占试卷分值的左右，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱5

的题型。所以学习好这个专题很重要。

2、学习行程问题的障碍

小学生“行程问题”的学习障碍，主要源于以下几个的原因:

1) 行程分类较细，变化较多。

行程问题一般分为:基础模型化行程问题(如相遇问题、追及问题、流水问题、火车过桥问题、环形路线问题等等);复合型行程问题(如多人同行、走走停停、不断往返等等);拓展性行程问题(如牛吃草问题、爬电梯问题、最短路线问题、最长路线问题、效率问题);特殊行程问题等等。同时行程跟工程不一样，工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大部分问题，但是行程则没有一个关键点可以抓住，

因为每一个类型重点都不一样。比如相遇问题关键要抓住速度和，追击问题则要抓住速度差。

2) 行程问题是动态过程进行演绎和推理。

奥数中静态的知识学生很容易学会。比如:

例 1:数线段，一段线段被均分成 4 部分，请问一共有多少条线段。

教给学生方法，学生知道了:1+2+3+4=10 段。如果你把题目变化一下一段线段被均分成 100 部分，学生会依葫芦画瓢，1+2+3…+100=5050 段。

所以静态的奥数知识可以公式化，学生只要理解了，套公式就很容易做出来。

行程的分析是动态的，简单问题，还好办，但稍复杂的问题，理解题意就是第一个难关，弄清楚变化的量之间的关系就更难，建立思考和解题的数学模型就更更难了。最后得出一个结论:行程太可怕了～

3)行程是一个壳，可以将许多奥数知识和方法溶含到里面，使得没有学过奥数的同学一筹莫展。

3、学习行程问题的方法

如何把行程问题学好,

首先要有决心:学好行程问题，参加考试时，你就在用你的长处和别人短处相比，显然您是高人;

其次要有信心:我们这次的综合练习，将涵盖所有题型和思路，认真学完，理解、练习熟练，您就OK～;

再次要有细心:听讲要听老师的分析，读题要逐字逐句，思考要严谨，做题更要逐步写出步骤和答语。

更次要有恒心:数学都是需要多练的，熟才能生巧。

当然，高效的学习是要有方法的，好的方法总是能事半功倍。比如:从简单去发现，用规律去解题;能表达就能解题;比加方程，双剑合一，天下无敌;动态分析极端化;不要得意忘形;…….等等。

有了这些，你就是行程问题高手了。

4、基础知识列表

行程问题数量关系:路程=速度×时间

基本数量关系:1、相遇问题:速度和×相遇时间,相遇路程;

2、追及问题:速度差×追及时间,路程差;

衍生数量关系:1、流水问题:顺水速度,船速，水速逆水速度,船速,水速

静水速度,(顺水速度，逆水速度)?2

水速,(顺水速度,逆水速度)?2

关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响;

2、环形路线:相遇:速度和×时间=周长; 追及:速度差×时间=周长

3、火车问题:错车:速度和×时间=两车长的和; 超车:速度差×时间=两车长的和

(火车过桥，过电杆，追、超人属同一问题)

4、牛吃草问题:生长:(牛头数-草生速)×时间=原有草

消失:(牛头数+草生速)×时间=原有草

5、爬电梯问题:与电梯同向:(人速+电梯速)×时间=电梯阶数

与电梯反向:(人速-电梯速)×时间=电梯阶数

比的应用:速度比×时间比=路程比 (运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单)

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二、基础模型化行程问题

【学习提示1】相遇追及的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.

【学习提示2】一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢,对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.

】不要得意忘形。画出路线图，就是很好地用图形语言表达题意，“能表达，就能解题”，图形【学习提示3

会给你理解题意最直观的形式，也会给你最简单的解题思路。

1、相遇问题

路程和=速度和×相遇时间速度和=路程和?相遇时间相遇时间=路程和?速度和

两人是从哪里出发的,两地,，，,是不是同时出发的,同时,，，相遇问题, 他们走的方向是怎样,相向，，,

,，，运动最后的结果怎样,相遇,

1. 李明从甲地到乙地，每小时行5千米，王勇从乙地到甲地每小时行4千米，两人同时出发，在离甲乙两地中点

1千米的地方相遇，求甲乙两地相距多少千米,

2. A、B两地相距259千米，甲车从A地开往B地，每小时行38千米;半小时后，乙车从B地开往A地，每小时

行42千米。乙车开出几小时后和甲车相遇,

3. 甲乙两人上午8时于东村到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12时甲到西村后立即原路返回，在距西村

15千米处遇见乙，求东西两村相距多少千米,

4. 甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，两车第一次是在离A站50千米处

相遇，相遇后两车各自以原来速度继

续行驶，到达B、A站后立即原路返回，第二次是在离B站30千米处相遇。问:如此下去，甲、乙两车第三次

相遇在何处,

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5. 有人提出这样一个问题,甲、乙两人同时相对而行,距离为100千米,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米.总

有一个时间会碰面.甲带着一只狗,每小时走10千米,狗走得比人快,同甲一起

出发,碰到乙时,它往甲方向走,

碰到甲它又往乙方向走.问:这只狗一共走了多少千米?

6. 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12

分钟.他们同时出发，几分钟后两人

相遇,

7. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5

千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米;

如果乙车速度不变，甲车每小时多

行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离。

8. 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米D A 上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时。

B C 问:(1)小张和小王分别从 A， D 同时出发，相向而行，问多少时

间后他们相遇,

(2)相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米,

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2、追及问题

路程差=速度差×追及时间速度差=路程差?追及时间追及时间=路程差?速度差 1. 中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车由同一个车库出发。已知道中巴车先开出，30分钟

后小轿车顺着中巴车的路线出发，小轿车经过多少时间能追上中巴车,

2. 甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米。途中甲车因故障修

车用了3小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地。两地间的路程是多少千米,

3. 小华、小丽个小霞三人都要从甲地到乙地，早上6时小华和小丽两人一起从甲地出发，小华每小时走5千米，

小丽每小时走4千米。小霞上午8时才从甲地出发。傍晚6时，小华和小霞同到到达乙地。小霞是在什么时间

追上小丽的,

4. 一支队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一个战士因事需从排尾赶到排头，并立即返回排尾。如果他的

速度是每秒3米，那么，这位战士往返共需多少时间,

5. 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上;如

果速度是35千米/小时，要40分钟才能追上.问自行车的速度是多少,

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6. 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远,

7. 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他. 然后

爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分,

8. 甲、乙两地相距60千米.小王骑车以每小时行10千米的速度上午8点钟从甲地出发去乙地.过了一会儿,小李

骑车以每小时15千米的速度也从甲地去乙地,小李在途中M地追上小王,通知小王立即返回甲地.小李继续骑车

去乙地.各自分别到达甲、乙两地后都马上返回,两人再次见面时,恰好还在M 地.问小李是什么时刻出发的?

9. 一辆客车和一辆货车同时从相距600千米的两地出发，客车每小时行35千米，货车每小时行50千米，5小时

后两车相距多少千米,

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3、流水行程问题

V,V，VV,V-V顺船水逆船水

，，，，V,V，V,2V,V,V,2顺顺船逆水逆 1. 甲乙两码头相距560千米,一只船从甲码头顺水航行20小时到达乙码头,已知船在静水中每小时行驶24千米, 问这船返回甲码头需几小时?

2. 轮船以同一速度往返于两码头之间。它顺流而下，行了8小时;逆流而上，行了10小时。如果水流速度是每小

时3千米，求两码头之间的距离。

3. 一只小船从甲地到乙地往返一次共用2时，回来时顺水，比去时每时多行驶8千米，因此第2时比第1时多行驶6

千米。求甲、乙两地的距离。

4. 一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时;顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。

求水流的速度。

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5. 某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船

从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可与此物

相遇。

6. 甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站顺水向下游的B站驶去，与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶

来。7.2时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。已知甲轮船与自漂水流测试仪2.5时后相距31.25千米，甲、乙

两船航速相等，求A，B两站的距离。

7. 江上有甲、乙两码头，相距15千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出

发向下游行驶，5小时后货船追上游船。又行驶了1小时，货船上有一物品落入江中(该物品可以浮在水面上)，

6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多

少千米,

8. 某人乘船逆流而上，在A处不小心将一只水壶掉入水中，船又前行了15分钟后他才发现，立即返回寻找，结果

在离A处3千米的地方找到水壶。返回寻找水壶一共用了多少分钟,

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4、火车行程问题

通常，在行程中的运动物体(人或车)是不考虑本身的长度的，但火车的长度不能忽略不计。A火车从“追上”到“超过”B火车，A的车头比B的车头要多步的距离是:B车身长+A车身长，因此整个过程所需时间是:

超车时间=(A车身长+B车身长)?(A车速度-B车速度)

对于“相遇”的两列火车，从“相遇”到“错过”所需时间是:

错车时间=(A车身长+B车身长)?(A车速度+B车速度)

1. 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米，两车错车时，甲车上一乘客发现:从乙车

车头经过他的车窗时开始到乙车车尾离开他的车窗时共用了14秒，求:乙车的车长,

2. 有两列火车，一车长130米，每秒行23米;另一列火车长250米，每秒行15米。现在两车相向而行，从相遇

到离开需要几秒钟,

3. 慢车车身长125米，车速每秒17米，快车车身长140米，车速每秒22米，慢车在前，快车在后面从追上到完

全超过需要多少秒,

4. 长150米的的火车以每秒18米的速度穿越一条长300米的隧道，问:火车穿越这条隧道(从入隧道开始到完

全离开)需要多少秒,

5. 某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，客车长105米，每小时速

度为28.8千米.求步行人每小时行多少千米,

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6. 一人以每分钟60米的速度沿铁路边步行，一列长144米的客车从他身后开来，从他身边通过用了8秒钟，求列车

的速度。

7. 甲列车每秒行20米，乙列车每秒行14米，若两列车齐头并进，则甲车行40秒超过乙车;若两列车齐尾并进，则

甲车行30秒超过乙车。甲列车和乙列车各长多少米,

8. 两人沿着铁路线边的小道，从两地出发，两人都以每秒1米的速度相对而行。一列火车开来，全列车从甲身边

开过用了10秒。3分后，乙遇到火车，全列火车从乙身边开过只用了9秒。火车离开乙多少时间后两人相遇,

9. 甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开

过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇, (提示:设步行速度为每秒1米)

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5、行程中比的应用路程=速度×时间

知识点:

1.正比: 时间一定,则路程与速度成正比;速度一定,则路程与时间成正比。(两数的商一定,则这两数成正比)

2、反比:路程一定,速度与时间成反比。(函数的积一定,则这两数成反比)

两物运动:

3.时间相同, 速度比=路程比。路程相同, 时间比=速度之反比。

比+方程双剑合一

1: 从学校到公园，甲走40分钟，乙走30分钟，丙骑车行20分钟。照这样的速度计算，三人先后在相同地点出发同向而行，甲在9:00出发，乙在9:06出发，丙在什么时候出发，正好他们三人相遇,

2.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是3:2，他们第一次相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高30%，这样，当甲到达B地后，乙离A地还有14千米，求A、B两地相距多少千米,

3. A，B两地相距1800米，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行。相遇后甲又走了8分到达B地，乙又走了18分到达A地。甲、乙二人每分钟各走多少米,

三、拓展性行程问题

、环形跑道行程问题 1

在环行道路上的行程问题本质上讲就是追及问题或相遇问题。当二人(或物)反向运动时就是相遇问题，相遇问题是二人从出发到相遇所行路程和。当二人(或物)同向运动时就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环行道路之长的倍数和。甲乙甲

乙

背向出发同向出发相遇问题追及问题

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1. 两名运动员在沿湖的环行跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，

45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇, 乙

甲

2. 如图，A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A，明明在点B，相向而行。他们

在C点第一次相遇，C点离A点100

米;在D点第二次相遇，D点离B点80米。求圆的周长。

100米

A B

80米

D 3. 在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分

两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分,

B A 乙

甲

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A D 甲 4. 如图，一个边长为100米的正方形跑道。甲从A点出发，乙从C点

出发

都逆时针同时起跑，甲的速度每秒7米，乙的速度每秒5米。他们拐弯

处都要停留5秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米,

乙 C B

5.在400米的跑道上有A、B两点相距170米，甲乙同时分别从A、B两点出

发，逆时针方向跑步。每秒钟甲跑5米，乙跑4米，两人每跑100米，都要休息

10秒。甲需多少秒才能追上乙,

6.运动场的跑道一圈长400米，甲骑自行车每分钟490米;乙跑步平均每分钟

跑250米。两人从同一地点同时同向出发，至少经过多少分钟两人又同时到达起点,

7. 一个圆的周长为1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相

向爬行。1分钟后它们都调头而行，经过3分钟，它们又调头爬行，依次按照1、

3、5、7、……(连续奇数)分钟调头爬行。这两只蚂蚁每分钟分别爬行5.5厘米和

3.5厘米，那么，经过多少时间，它们初次相遇,

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8. 甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形ABCD，其

中米，AB,80米，已知AD,100

A水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从处同时出发，甲沿顺时针

方向划行，乙沿逆时针方向划行，

CDCDP已知甲比乙的静水速度每秒快1米，(AB、边上视为静水)，两人第一次

相遇在边上的点，4CPCD,，

那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次,

B C

A D

2、多次相遇行程问题

AB1. 甲、乙二人分别从、两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们的第四次相遇点

AB与第五次相遇点的距离是150米，求、两点间的距离为多少米,

2007ABAB50%2. 电子玩具车与在一条轨道的两端同时出发，相向而行。已知比的速度快，根据推算，第20072008次相遇点与第2008次相遇点相距58厘米，这条轨道长多少厘米,

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3、时钟问题

时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。

(1)我们知道钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度的

15?60= 12

(2)分针每分钟转3600?60=6?，时针每分钟转3600?12?60=0.5?

时钟问题经常围绕着两针(指时针与分针，下同)重合、两针垂直、两针垂直、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。

1. 现在时间是2点，问:什么时间时针与分针第一次重合,

2. 在5点10分时，时针和分针的夹角是多少度,

3. 问:在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直,

04. 某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110，七时前回家时又看手表，发

0现时针和分针的夹角仍是110(那么此人外出多少分钟?

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4、牛吃草问题

1. 快、中、慢三辆车同时从同,地点出发，沿同,公路追赶前面的,个骑车人，这三辆车分别用6小时，10小

时，12小时追上骑车人，现在知道快车速度是每小时24千米，中车速度是每小时20千米，问慢车速度是多

少?

2. 牧场上长满牧草，每天牧草都均匀生长，这片牧场可供lO头牛吃20天，可供15头牛吃10天(供25头牛可

吃几天?

3. 牧场上的牧草每天均匀生长，这片草地可供17头牛吃6天，可供13头牛吃12天(问多少头牛4天把草地的

草吃完?

4. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不增加，反而以固定的速度在减少，已知某块草地上的草可供20头牛

吃5天或可供15头牛吃6天，照此计算，可供多少头牛吃10天,

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5、电梯问题

在日常生活中，我们去商场的时候，一般都会有电梯乘坐，近年来，在行测数算中常出现关于电梯的问题，在小学奥数中，电梯问题也作为一个专题来讨论研究。

电梯问题就是船在顺水逆水中的问题，与一般行程中的相遇追及问题类似，只是比一般的行程问题理解起来有点难而已。电梯问题大体上可以分2类:

1) 人沿着扶梯运动的方向行走，当然也可以不动，不管动与不动，此时扶梯都是帮助人在行走，共同走过了扶梯

的总级数:(V+V)×时间=扶梯级数人梯

2) 人与扶梯运动方向相反，此时人必须要走，而且速度要大于电梯的速度才能走到电梯的另一端。这种情况人走

过的级数大于电梯的总级数，电梯帮倒忙，抵消掉一部分人走的级数:(V—V)×时间=扶梯级数人梯