初中数学《相似三角形》教案演示教学

初中数学《相似三角形》教案演示教学
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相似三角形

一、知识概述

(一)相似三角形

1、对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.

温馨提示:

①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个(或几个)三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件,缺一不可;

②相似三角形的特征:形状一样,但大小不一定相等;

③相似三角形的定义,可得相似三角形的基本性质:对应角相等,对应边成比例,其应用广泛.

2、相似三角形对应边的比叫做相似比.

温馨提示:

①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.

②相似比具有顺序性.例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即相似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的相似比,当且仅当它们全等时,才有k=k′=1.

③相似比是一个重要概念,后继学习时出现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出.

3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.

4、相似三角形的预备定理:如果一条直线平行于三角形的一条边,且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交,那么所构成的三角形与原三角形相似.

①定理的基本图形有三种情况,如图其符号语言:

∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE;

②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的应用,同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础,故把它称为“预备定理”;

③有了预备定理后,在解题时不但要想到上一节“见平行,想比例”,还要想到“见平行,想相似”.

(二)相似三角形的判定

1、相似三角形的判定:

判定定理(1):两角对应相等,两三角形相似.

判定定理(2):两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.

判定定理(3):三边对应成比例,两三角形相似.

温馨提示:

①有平行线时,用上节学习的预备定理;

②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时,可考虑利用判定定理(1)或判定定理(2);

③已有两边对应成比例时,可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是,在选择利用判定定理2时,一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.

2、直角三角形相似的判定:斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.

①由于直角三角形有一个角为直角,因此,在判定两个直角三角形相似时,只需再找一对对应角相等,用判定定理1,或两条直角边对应成比例,用判定定理2,一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似;

②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形,图中的三角形,可称为“母子相似三角形”,其应用较为广泛.

③如图,可简单记为:在Rt△ABC中,CD⊥AB,则△ABC∽△CBD∽△ACD.

(三)三角形的重心

1、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.

2、三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍.

二、重点难点疑点突破

1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧

正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功.通常有以下几种方法:

(1)相似三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最明显的对应角;相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角;相似三角形中,一对相等的角是对应角,对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边;

(2)相似三角形中,一对最长的边(或最短的边)一定是对应边;对应边所对的角是对应角;对应边所夹的角是对应角.

2、常见的相似三角形的基本图形:

学习三角形相似的判定,要与三角形全等的判定相比较,把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来;对一些出现频率较高的图形,要善于归纳和记忆;对相似三角形的判定思路要善于总结,形成一整套完整的判定方法.如:

(1)“平行线型”相似三角形,基本图形见上节图.“见平行,想相似”是解这类题的基本思路;

(2)“相交线型”相似三角形,如上图.其中各图中都有一个公共角或对顶角.“见一对等角,找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路;

(3)“旋转型”相似三角形,如图.若图中∠1=∠2,∠B=∠D(或∠C=∠E),则△ADE∽△ABC,该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的.

温馨提示:

从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法,能帮助我们尽快地找到添加的辅助线.以上“平行线型”是常见的,这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序,“相交线型”识图较困难,解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形.

三、解题方法技巧点拨

1、寻找相似三角形的个数

例1、(吉林)将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子,假设图形中所有点、线都在同一平面内,回答下列问题:

(1)图中共有多少个三角形?把它们一一写出来;

(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗?如果有,就把它们一一写出来.

分析:(1)在△ABC内,有五个三角形,加上△ABC与△AFG,共有七个三角形.

(2)这是依据相似三角形判定定理来解决的计数问题.由于“不包括全等”,图中还剩五个非直角三角形,考虑到题设中两个三角形摆放的随意性,∠1不一定等于∠2,而∠B=∠C=45°,∠3、∠4都为钝角,又排除△ABD与△ACE相似,还剩三个三角形,这三个三角形相似.

解:(1)共有七个三角形,它们是△ABD、△ABE、△ADE、△ADC、△AEC、△ABC与△AFG.

(2)有相似三角形,它们是△ABE∽△DAE,△DAE∽△DCA,△ABE∽△DCA(或△ABE ∽△DAE∽△DCA).

点拨:①解决这类计数问题,一定要依据图形与定理,全面、周密思考,做到不重不漏,这类题有利于发散思维的培养和创新意识的形成;

②有兴趣的同学可继续探索一下本题中BD、DE、EC三条线段有何关系?

2、画符合要求的相似三角形

例2、(上海)在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上,请在图中画出一个△A1B1C1,使得△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1),且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上.

(1)(2)

分析:

设单位正方形的边长为1,则△ABC的三边为

,从而根据相似三角形判定定理2或3可画△

A1B1C1,易得

点拨:在4×4的正方形方格中,满足题设的△A1B1C1只能画出以上三个,若正方形方格数不加限制,则和△ABC相似且不全等的三角形可以画无数个.

3、相似三角形的判定

例3、(1)如图,O是△ABC内任一点,D、E、F分别是OA、OB、OC的中点,求证:△DEF∽△ABC;

(2)如图,正方形ABCD中,E是BC的中点,DF=3CF,写出图中所有相似三角形,并证明.

分析:

(1)根据题设,观察图形易见,DE、EF、FD分别是△AOB、△BOC、△COA的中位线,利用三角形的中位线性质可证△DEF与△ABC的三边对应成比例;

(2)由于正方形的四条边相等,且BE=CE,DF=3CF,设出正方形边长后,图中所有线段都能求出,故可从三边是否成比例判定哪些三角形相似.

点拨:①第(1)题,若点O在△ABC外,其他条件不变,结论仍成立;

②第(2)题也可用判定定理2,先证△ABE∽△ECF,得出∠AEF=90°后,再证其中任意三角形与△AEF相似,显然,以上证法较简便.

4、直角三角形相似的判定

例4、求证:若一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高与另一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高成比例,那么这两个直角三角形相似.

已知:如图,Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,CD、C′D′分别是两个三角形斜边上的高,且CD︰C′D′=AC︰A′C′.

求证:△ABC∽△A′B′C′.

分析:

判定直角三角形相似的方法除使用一般三角形的判定方法外,还可使用“斜边和一直角边对应成比例的两直角三角形相似”这一定理.证明△ABC∽△A′B′C′,只要再证一锐角对应相等即可.

证明:

∵CD、C′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高,

∴△ACD、△A′C′D′是直角三角形.

5、三角形重心问题

例5、已知△ABC的重心G到BC边上的距离为5,那么BC边上的高为()

A.5B.12

C.10D.15

解析:

因为G为△ABC的重心,所以DG︰DA=1︰3,因为GE⊥BC,AF⊥BC,所以GE∥AF,所以GE︰AF=DG︰DA=1︰3,因为GE=5,所以AF=15.

6、相似三角形的综合运用

例6、如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,过点D垂直于AB的直线交BC于E,交AC延长线于F.

求证:(1)△ADF∽△EDB;(2)CD2=DE·DF.

分析:

(1)△ADF与△EDB都是直角三角形,要证它们相似,只要再找一个角对应相等即可;

(2)注意到CD是斜边AB的中线,AD=BD=CD,由结论(1)不难得出结论(2).

证明:

(1)∵DF⊥AB,∴∠ADF=∠BDE=90°,又∵∠F+∠A=∠B+∠A,∴∠F=∠B,∴△ADF∽△EDB.

(2)由(1)得,∴AD·BD=DE·DF.又∵CD是Rt△ABC斜边上的中线,∴AD=BD=CD.故CD2=DE·DF.

点拨:本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等.这是一道阶梯型问题,第(2)题根据(1)得出有关比例式,然后使用“等线代换”使问题简捷获证.其实第(2)题也可这样思考:把它转化为比例式,证明这三条线段所在的△CDE∽△FDC.请同学们完成这一证明.

例7、如图,AD是△ABC的角平分线,BE⊥AD于E,CF⊥AD于F.

求证:.

分析:

待证式中的四条线段不是在两个三角形中,无法直接根据两个三角形相似得出,需要插入一个“中间比”,由题设易证△ABE∽△ACF,△BDE∽△CDF,从中不难找到这个中间比.

证明:

∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2.

∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠3=∠4=90°,

∴△ABE∽△ACF,

点拨:①当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时,一般可寻找“中间比”

帮忙;

例8、如图,在正方形ABCD中,M、N分别是AB、BC上的点,BM=BN,BP⊥MC于点P.

求证:(1)△PBN∽△PCD;(2)PN⊥PD.

分析:

要证PN⊥PD,即证∠DPN=90°,由已知∠BPC=90°,而∠BPC与∠DPN有公共部分∠CPN,因此只要证明∠4=∠5即可.这就必须先证明出结论(1).在△PBN与△PCD中,易证∠1=∠3,以下只要证明夹∠1、∠3的两边对应成比例.

证明:

(1)在正方形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°.∵BP⊥MC,∴△PBM∽△PCB.

点拨:要注意观察出图中存在的“母子相似三角形”基本图形,从而充分利用它得出∠1=∠2及△PBM∽△PCB等重要结论

一、本章的两套定理

第一套(比例的有关性质):

涉及概念:①第四比例项②比例中项③比的前项、后项,比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点:

1.相似三角形定义:

对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法:用符号“∽”表示,读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比:

相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理:

平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理:

(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:

类型 斜三角形 直角三角形

全等三角形的判

定 SAS

SSS

AAS (ASA )

HL

相似三角形 的判定

两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应

相等

一条直角边

与斜边对应

成比例

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为

“对应边

成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似:

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相

c

d

a b = d

b

c a a c b

d ==或 合比性质:d

d

c b b a ±=± ?=?=bc a

d d c b a (比例基本定理) b

a n d

b m

c a n

d b n m d c b a =++++++?≠+++===ΛΛΛΛ:)0(等比性质

似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性

如果△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,那么△ABC ∽A 2B 2C 2

三、注意

1、相似三角形的基本定理,它是相似三角形的一个判定定理,也是后面学习的相似三

角形的判定定理的基础,这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和

“ 8 ”型。在利用定理证明时要注意A 型图的比例AD AB DE BC AE

AC

==

,每个比的前项是同一个三 角形的三条边,而比的后项是另一个三角形的三条对应边,它们的位置不能写错,尤其是要防止写成AD DB DE BC AE

EC

==的错误。 2、相似三角形的基本图形

Ⅰ.平行线型:即A 型和X 型。

Ⅰ.相交线型

3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明

三角形相似及比例式或等积式。

4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

5、对比例问题,常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k 。

6、对于复杂的几何图形,采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理。

E D B A

B. C

B

D E

A

《二元一次方程》教学设计 一、教材的地位与作用 《二元一次方程》是九年义务教育人教版教材七年级下册第四章《二元一次方程组》的第一节。在此之前学生已经学习了一元一次方程,这为本节的学习起了铺垫的作用。本节内容是二元一次方程的起始部分,因此,在本章的教学中,起着承上启下的地位。 二、教学目标 (一)知识与技能: 1.了解二元一次方程概念; 2.了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性; 3.会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 (二)数学思考: 体会学习二元一次方程的必要性,学会独立思考,体会数学的转化思想和主元思想。 (三)问题解决: 初步学会利用二元一次方程来解决实际问题,感受二元一次方程解的不唯一性。获得求二元一次方程解的思路方法。 (四)情感态度: 培养学生发现意识和能力,使其具有强烈的好奇心和求知欲。 三、教学重点与难点 教学重点:二元一次方程及其解的概念。 教学难点:二元一次方程的概念里“含未知数的项的次数”的理解;把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。

四、教法与学法分析 教法:情境教学法、比较教学法、阅读教学法。 学法:阅读、比较、探究的学习方式。 五、教学过程 1.创设情境,引入新课 从学生熟悉的姚明受伤事件引入。 师:火箭队最近取得了20连胜,姚明参加了前面的12场比赛,是球队的顶梁柱。 (1)连胜的第12场,火箭对公牛,在这场比赛中,姚明得了12分,其中罚球得了2分,你知道姚明投中了几个两分球?(本场比赛姚明没投中三分球) 师:能用方程解决吗?列出来的方程是什么方程? (2)连胜的第1场,火箭对勇士,在这场比赛中,姚明得了36分,你知道姚明投中了几个两分球,罚进了几个球吗?(罚进1球得1分,本场比赛姚明没投中三分球) 师:这个问题能用一元一次方程解决吗?,你能列出方程吗? 设姚明投进了G个两分球,罚进了y个球,可列出方程______。 (3)在雄鹿队与火箭队的比赛中易建联全场总共得了19分,其中罚球得了3分。你知道他分别投进几个两分球、几个三分球吗? 设易建联投进了G个两分球,y个三分球,可列出方程______。 师:对于所列出来的三个方程,后面两个你觉的是一元一次方程吗?那这两个方程有什么相同点吗?你能给它们命一个名称吗? 从而揭示课题。 (设计意图:第一个问题主要是让学生体会一元一次方程是解决实际问题的数学模型,从而回顾一元一次方程的概念;第二、三问题设置的主要目的是让学生体

初中数学教学案例与反思 一、教学目标: 1、知道一次函数与正比例函数的定义. 2、理解掌握一次函数的图象的特征和相关的性质;体会数形结合思想。 3、弄清一次函数与正比例函数的区别与联系. 4、掌握直线的平移法则简单应用. 5、能应用本章的基础知识熟练地解决数学问题。 二、教学重、难点: 重点:初步构建比较系统的函数知识体系,能应用本章的基础知识熟练地解决数学问题。 难点:对直线的平移法则的理解,体会数形结合思想。 三、教学设计简介: 因为这是初三总复习节段的复习课,在这之前已经复习了变量、函数的定义、表示法及图象,而本节的教学任务是一次函数的基础知识及其简单的应用,没有涉及实际应用。为了节约学生的时间,打造高效课堂,我开门见山,直接向学生展示教学目标,然后让学生根据本节课的复习目标进行联想回顾,变被动学习为主动学习。例如,在“图象及其性质”环节中,老师让学生自己说出一次函数图象的形状、位置及增减性,不完整的可让其他学生补充纠正。这样,使无味的复习课变得活跃一些,增强学习气氛。随后教师就用大屏幕展示出标准答案,然后教师组织学生以比赛的形式做一些针对性的练习。为了巩固知识点,学生解 决每一个问题时都要求其说出所运用的知识点。 四、教学过程: 1、一次函数与正比例函数的定义: 一次函数:一般地,若y=kx+b(其中k,b为常数且k≠0),那么y是一次函数 正比例函数:对于 y=kx+b,当b=0, k≠0时,有y=kx,此时称y是x的正比例函数,k为正比例系数。 2. 一次函数与正比例函数的区别与联系: (1)从解析式看:y=kx+b(k≠0,b是常数)是一次函数;而y=kx(k≠0,b=0)是正比例函数,显然正比例函数是一次函数的特例,一次函数是正比例函数的推广。 (2)从图象看:正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过原点(0,0)的一条直线;而一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)且与y=kx平行的一条直线。 基础训练一: (1)、指出下列函数中的正比例函数和一次函数:①y = x +1;②y = - x/5; ③y = 3/x ;④y = 4x;⑤y =x(3x+1)-3x ;⑥y=3(x-2);⑦y=x/5-1/2。 (2)、下列给出的两个变量中,成正比例函数关系的是: A、少年儿童的身高和年龄; B、长方形的面积一定,它的长与宽; C、圆的面积和它的半径; D、匀速运动中速度固定时,路程与时间的关系。

《二元一次方程组》教学设计 一、教学目标 1.知识与技能目标: (1)理解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义; (2)会检验一对数是不是二元一次方程组的解,会利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解; (3)通过对实际问题的分析,使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,同时培养学生观察、归纳、概括能力。 2.过程与方法目标 从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组的概念,并通过“辩一辩”“填一填”“试一试”“做一做”,加深学生对“二元一次方程组”和“二元一次方程组的解”的概念的理解;并使学生初步了解用列表尝试的方法求二元一次方程组的解,并使学生在解决问题的过程中经历知识的产生过程。 3.情感与态度目标 从学生的生活实际提出问题,既体现知识的学习过程,又体现知识的应用过程,同时还有利于激发学生的学习兴趣,有利于学生养成关注身边的事例、关心他人,培养一种社会的责任感。 二、教学重点、难点 重点是二元一次方程组的意义和二元一次方程组解的概念。 难点是利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。 三、教学准备 多媒体、实物投影仪。 四、教学方法和手段 基于本节课内容的特点和七年级学生的心理及思维发展的特征,在教学中选择激趣法、讨论法和总结法相结合。与学生建立平等融洽的互动关系,营造合作交流的学习氛围。在引导学生进行观察分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示,增强直观性,提高教学效率,激发学生的学习兴趣。 五、教学过程 环节一创设情境,探索新知

问题1:假设你们每人手上有一根长20cm的铁丝,将这根铁丝首尾相连围成一个正方形,围出来的正方形都完全一样吗? 问题2:同样用这根20厘米长的铁丝,首尾相连围成的长方形都完全一样吗?你能用二元一次方程来表示吗? 【设计意图】 ①通过问题情境复习旧知,真正理解二元一次方程的意义; ②为探索新知做好铺垫。 问题3:前面两个问题中都存在二元一次方程10 = +y x,为何围成的长方形有无数种情况,而围成的正方形只有一种情况? 【设计意图】 通过两个问题的对比,让学生感受到10 = +y x与y x=同时满足时,存在解的唯一性的过程,为二元一次方程组的形成做铺垫。 问题4:你能否通过增加一个条件,使同学们围成的长方形都完全一样吗?希望大家能增加更多不同类型的条件。 【设计意图】 ①开放性问题的设置不仅激发学生的求知欲,而且通过该开放性问题让学生真正感受二元一次方程组的形成; ②培养学生的合作意识以及团队精神; ③通过此问题引出二元一次方程组的概念。 【操作形式】 ①学生先思考,再分组合作,小组汇报; ②根据学生的汇报,教师引导,从而引出二元一次方程组的概念; ③教师备用: 10101010 ,,, 6223 x y x y x y x y x y x y x y +=+=+=+= ???? ???? ==-== ???? 。 巩固概念 请在下列方程中选出两个方程,组成二元一次方程组。 2 23,4,2,3,10 x y x y x y x y z -====++=。 问题5:你怎么能肯定,你所增加的一个条件就一定使长方形确定下来了

初中数学公开课教学反思 怎么写初中数学公开课教学反思?将教学作为一种技术,按照既定的程序和一定的练习使之自动化。它使教师的教学决策是反应的而非反思的、直觉的而非理性的,例行的而非自觉的。下面是我为大家整理的初中数学公开课教学反思,希望对大家能有所帮助。 初中数学公开课教学反思篇一 思之不慎,行而失当”反思意识人类早就有之。“反求诸己,扪心自问”、“吾日三省吾身”等至理名言就是佐证。而当今社会反思已成为人们的自觉行为,何况作为教师,在教学中也应适时反思教育的得与失,消去弊端,得教益。 今年,我担任初中数学教学工作,目前学期工作已基本结束,就此,我作了以下反思。 一、课堂教学中存在的问题。 1、由于新教材数学教学的特殊性,我的讲解基本上还拘泥于教材的信息,而开放型的、能激发学生想象力与创造力和发散学生思维的课堂比例还较小。在课堂教学中,有时缺乏积极有效的师生互动,部分课时过于注重讲授,没有以精讲精练的要求正确处理好讲与练的关系,导致教与学不合拍,忽视对学生的基础、能力的关注。 2、课堂教学不能针对学生实际,缺乏“备学生”、“备学案”这一必要环节;对教材的处理和把握仍然拘泥于教材,没有进行有效地取舍、组合、拓展、加深;课堂教学没有真正做到对学生进行基础知识点、中考热点和中考难点的渗透,学生原有的知识不能得到及时、适时地活化;课堂密度要求不足,学生参与

机会少、参与面小;课堂留给学生自疑、自悟、自学、自练、自得的时间十分有限。 3、对中考的研究不够,对中考的考试范围、要求、形式、出题的特点及规律的了解不够明确,在课堂教学中依赖于复习资料,缺乏对资料的精选与整合,忽视教师自身对知识框架的主动构建,从而课堂教学缺乏对学生英语知识体系的方法指导和能力培养。 4、课堂设计缺乏适当适时的教学评价,不能及时获悉学生在课堂上有没有收获,有多大收获等学情;课前设计“想教学生什么”,课堂反馈“学生学到什么”和课后反思“学生还想学什么”三个环节没有得到最大程度上的统一。 二、学生数学学习存在的问题。 由于课堂教学中以上问题的存在,学生的数学学习与复习出现了许多问题。 1.学生对数学学习缺乏兴趣、自信心和学习动力;在数学课堂上不积极参与,缺少主动发言的热情或根本不愿意发言;另外,相当一部分学生在听新课时跟不上老师的节奏或不能理解教师相对较快的指示语。 2.学生对数学课堂知识的掌握不实在、理解不全面,课外花的冤枉时间多;而大部分学生对书本知识不够重视,找不到数学学科复习的有效载体,不能有效的利用课本,适时地回归课本,数学复习缺乏系统性,数学学习缺乏主动性。 3.部分学生缺少教师明确的指导,在复习时缺乏系统安排和科学计划,或者学习和复习没有个性化特点,导致学习效果不明显。 4.基于以上情况,我认为作为学生中考的把关者,初中数学教师首先要有正确地意识,应充分认识到:一节课有没有效益,并不是指教师有没有教完内容或教得认真不认真,而是指学生有没有学到什么或学生学得好不好。如果学生不想

课题:二元一次方程 一、教学目标: 1.理解二元一次方程及二元一次方程的解的概念; 2.学会求出某二元一次方程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程的解; 3.学会把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的一次式来表示; 4.在解决问题的过程中,渗透类比的思想方法,并渗透德育教育. 二、教学重点、难点: 重点:二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念. 难点:把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式,其实质是解一个含有字母系数的方程. 三、教学方法与教学手段: 通过与一元一次方程的比较,加强学生的类比的思想方法; 通过“合作学习”,使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点. 四、教学过程: 1.情景导入: 新闻链接:桐乡70岁以上老人可领取生活补助, 得到方程:80a+150b=902 880. 2.新课教学: 引导学生观察方程80a+150b=902 880与一元一次方程有异同? 得出二元一次方程的概念:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程. 做一做: (1)根据题意列出方程: ①小明去看望奶奶,买了5 kg苹果和3 kg梨共花去23元,分别求苹果和梨的单价.设苹果的单价x元/kg , 梨的单价y元/kg ; ②在高速公路上,一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米,如果设轿车的速度是a千米/小时,卡车的速度是b千米/小时,可得方程: . (2)课本P80练习2. 判定哪些式子是二元一次方程方程. 合作学习: 活动背景爱心满人间——记求是中学“学雷锋、关爱老人”志愿者活动. 问题:参加活动的36名志愿者,分为劳动组和文艺组,其中劳动组每组3人,文艺组每组6人. 团支书拟安排8个劳动组,2个文艺组,单从人数上考虑,此方案是否可行? 为什么? 把x=8,y=2代入二元一次方程3x+6y=36,看看左右两边有没有相等? 由学生检验得出代入方程后,能使方程两边相等. 得出二元一次方程的解的概念:使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解. 并提出注意二元一次方程解的书写方法.

初中数学教学案例及反思 篇一:初中数学课堂教学案例分析 初中数学课堂教学案例分析 一、教学案例实录 教学过程 : 1. 习旧引新 ⑴ 在 ⊙O 上 , 任到三个点 A 、 B 、 C, 然后顺次连接 , 得到的是什么图形 ? 这个 图形与 ⊙O 有什么关系 ? ⑵ 由圆内接三角形的概念 , 能否得出什么叫圆的内接四边形呢 ( 类比 )? 2. 概念学习 ⑴ 什么叫圆的内接四边形 ? ⑵ 如图 1, 说明四边形 ABCD 与 ⊙O 的关系。 3. 探讨性质 ⑴ 前面我们已经学习了一类特殊四边形 ---- 平行四边形 , 矩形 , 菱形 , 正方形 , 等 腰梯形的性质 , 那么要探讨圆内接四边形的性质 , 一般要从哪几个方面入手 ? ⑵ 打开《几 何画板》 , 让学生动手任意画 ⊙O 和 ⊙O 的内接四边形 ABCD 。 ( 教师适当指导 ) ⑶ 量出可试题的所有值 ( 圆的半径和四边形的边 , 内角 , 对角线 , 周长 , 面积 ), 并观察这些量之间的关系。 ⑷ 改变圆的半径大小 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? ⑸ 移动四边形的一个顶点 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? 移动四边形的四个顶点呢 ? 移动三个顶点呢 ? ⑹ 如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢 ?( 让学生回答 ) 4. 性质的证明及巩固练习 ⑴ 证明猜想 已 知 : 如 图 1, 四 边 形 ABCD 内 接 于 ⊙O 。 求 证 :∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180° 。 ⑵ 完善性质 ① 若将线段 BC 延长到 E( 如图 2), 那么 ,∠DCE 与 ∠BAD 又有什么关系呢 ? ② 圆的内接四边形的性质定理 : 圆内接四边形的对角互补 , 并且任何一个外角都等 于它的内对角。 ⑶ 练习 ① 已知 : 在圆内接四边形 ABCD 中 , 已知 ∠A=50°,∠D-∠B=40°, 求 ∠B,∠C,∠D 的 度数。 ② 已知 : 如图 3, 以等腰 △ ABC 的底边 BC 为直径的 ⊙O 分别交两腰 AB,AC 于点 E,D, 连结 DE,

第十四章一次函数 §14.1.1变量巩海波 教学过程设计

活动2:提出问题 问题(1)加油站加油片断 1.在以上这个过程中,变化的量是. 没变化的量是. 引出定义 变量、常量。 2.试用含Q的式子表示W . 问题(2) 每张电影票售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出票205张,晚场售出310张. 三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售票x张,票房收入y元。怎样用含x的式子表示y ? 问题(3) 在一根弹簧的下端悬挂重物,改变 并记录重物的质量,观察并记录弹 簧长度的变化,探索它们的变化规 律。(实验中用钩码代替重物,每个 钩码的质量为50克) 小组内共同探讨,交流: ⑴重物质量每增加50g,弹簧伸长多少? 重物质量每增加1g,弹簧伸长多少? 若重物质量为300g,此时的弹簧长度是 多少? ⑵若用m表示重物质量,L表示受力后的弹簧长度,你能用含m的式子表示L吗? 独立思考: ⑴你能指出上述变化过程中的常量和变量吗? ⑵重物质量能否无限增加? 问题(4) 用20m长的绳子围成长方形,试改变长方形的长、宽,观察长方形的面积怎样变化,试举出6组长、宽的值,计算相应长方形的面积的值,然后探索它们的变化规律. ⑴能用含x的式子表示S吗? ⑵当x取定一个值时,面积S能随之确定 吗?是否是唯一的? ⑶这个变化过程中,x能任意取值吗?教师展示问题(1) 学生完成相关问题。 师生结合问题,给出定义。 教师展示问题(2) 学生完成相关问题 教师展示问题(3) 师生共同明确实验目的,做好实验分 工,进行通力合作实验。 学生在教师引导下,由特殊到一般进 行探究。 教师展示问题(4) 教师利用几何画板动画演示。 学生完成填表 来自学生身边的事例, 尤其是常量与变量在 这个情境中能较好的 让学生直观感知。 变量与常量是本节课 重点。在教学过程中引 导学生去发现变化的 量与没变化的量。 学生完成此问题较易。 弹簧称在学生生活中 可见,但不多。教师给 予图片展示或实物展 示。 学生对弹簧的伸缩原 理有一定理解。通过由 特殊到一般的探究,最 后学生可以写出关系 式。 在明确的活动目标指 引下,组织学生经历数 学思考的过程,进行有 效的数学活动。 通过教师动画演示和 学生探究,使学生更好 的认知变化规律。

题。其实,这两个问题本质是一样的,就是用数形结合的方法解决问题。为了训练学生领会并运用数形结合的思想方法解决问题,我在完成课本内容之后,我又着重安排三个训练学生数形结合思想的题型,通过训练使学生进一步理解数形结合的思想,掌握运用的方法。 例1:当x为何值时,不等式x2+5x6>0 成立 先让学生自己解,多数学生试图类比解方程的方法去解解不等式,得出错误结果。 引导学生分析错误原因之后,提示学生,这个问题与我们正在学习的二次函数有什么联系能否借助函数图象解决这个问题 仅这一句话,就让学生恍然大悟。 教师点评:此题最好的方法是利用二次函数图象解决,先求出抛物线y= x2+5x6与x轴的两个交点,画出抛物线草图,很易在图像上观察出当x<-6或x>1时不等式成立。 例2:已知二次函数 y= x2+2mx+m-7与x轴的两个交点在点(1,0)两侧,判断关于x的方程1/4x2+(m+1)x+m2+5=0的根情况。 此题有一定的难度,学生能想到解决此题的关键是由y= x2+2mx+m-7判断m的范围,但是怎样求m 的范围成了难点。个别学生想到利用根与系数关系,因为与x轴的两个交点在点(1,0)两侧,所以一个根大于1,一个根小于1,由此得知m必须满足不等式(x1-1)(x2-1)<0.由此解不等式可求m的范围,虽说能求,但是确实不易想到,并且还要用到许多方程的知识。 教师提示:利用数形结合的方法,根据已知条件画出抛物线y= x2+2mx+m-7的草图,再结合图象去观察,你能有什么发现呢 学生结合图象发现,y= x2+2mx+m-7的开口向上,两个交点在点(1,0)两侧,说明x=1时y<0,即1+2m+m-7<0,则m<2。那么,关于x的一元二次方程的判别式:△=(m+1)2-(m2+5)=2(m-2) <0,方程无实根。 简便的方法使学生对数形结合的数学思想更感兴趣。我又给出第三题。 例3:判断方程–x2+5x-2=2/x的正根的个数 这时,那些思维快的同学很快得出结论:如果按一般的方法去分母,将会出现一元三次方程,解起来非常困难,如果运用函数的思想,把它们看作是求二次函数图像与反比例函数图像的交点问题,利用函数图象解就非常轻松了。 把左边的二次函数y=–x2+5x-2,可知顶点在第一象限,右边看做反比例函数y=2/x图象也在第一、三象限,并且两个图象在第一象限有两个交点,所以方程有两个正根。 感悟:数形结合是初中数学的一个重要方法,通过一定训练使学生领会其中的思想并能根据问题的特点灵活、巧妙地运用,对提高学生综合能力非常有益。 15 通过例题引申培养探究能力 文登二中毕建永 六年级上册第五章一元一次方程第三节“月历中的方程”中,有这样一道题,原题如下:在某张月历上圈出一个竖列上相邻的三个日期,如果三个数的和是60,请说出这三天分别是几号 思考: (1)如果小颖说出三个数的和是75,你能求出这三天分别是几号 (2)如果小颖说出三个数的和是21,你能求出这三天分别是几号

初中数学教学案例 ——探索平行线的性质 习水县回龙镇中学王发德 一、教材分析 本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学下册。 二、主题分析与设计 平行线的性质,它是直线平行的继续,是后面研究平移等内容的基础,是“空间与图形”的重要组成部分。数学教学是数学活动的教学,是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程;动手实践,自主探索,合作交流是孩子学习数学的重要方式;合作交流的学习形式是培养孩子积极参与、自主学习的有效途径。本节课将以学生看得到、感受得到的基本素材创设问题情境,引导学生活动,并在活动中激发学生认真思考、积极探索,主动获取数学知识,从而促进学生研究性学习方式的形成,同时通过小组内学生相互协作研究,培养学生合作性学习精神。 三、教学目标 1.知识与技能:掌握平行线的性质,能应用性质解决相关问题。 2 .数学思考:在平行线的性质的探究过程中,让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。 3.解决问题:通过探究平行线的性质,使学生形成数形结合的数学思想方法,以及建模能力、创新意识和创新精神。 4.情感态度与价值观:在探究活动中,让学生获得亲自参与研究的情感体验,从而增强学生学习数学的热情和团结合作、勇于探索、锲而不舍的精神。 四、教学重、难点 1.重点:对平行线性质的掌握与应用。 2.难点:对平行线性质1的探究。 五、教学用具 1.教具:多媒体平台及多媒体课件。 2.学具:三角尺、量角器、剪刀。 六、教学过程 1.创设情境,设疑激思 ⑴播放一组幻灯片。 内容:①供火车行驶的铁轨上;②游泳池中的泳道隔栏;③横格纸中的线。 ⑵提问温故:日常生活中我们经常会遇到平行线,你能说出直线平行的条件吗? ⑶学生活动:针对问题,学生思考后回答——①同位角相等两直线平行;②内错角相等两直线平行;③同旁内角互补两直线平行。 ⑷教师肯定学生的回答并提出新问题:若两直线平行,那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?从而引出课题:7.2探索平行线的性质(板书)。

2.2一元二次方程的解法(3) 【教学目标】 ◆知识教学点:理解一元二次方程求根公式的推导,会运用公式法解一元二次方程. ◆能力训练点:1.通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性. 2.培养学生快速而准确的计算能力. ◆德育渗透点:1.通过公式的引入,培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识. 2.让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解,形成全面解决问题的积极情感,感受公式的对称美、简洁美,产生热爱数学的情感. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:求根公式的推导及用公式法解一元二次方程. ◆教学难点:对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解. 【教学过程】 (一)复习引入 1.用配方法解下列方程. (1)x2+15=10x,(2)3x2-12x+1/3=0 (通过两题练习,使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤,为本节课求根公式的推导做第一次铺垫.)

2.用配方法解关于x的方程 x2+2px+q=0. 解:移项,得x2+2px=-q 配方,得x2+2px+p2=-q+p2 即(x+p)2=p2-q. (教师板书,学生回答,此题为求根公式的推导做第二次铺垫.)3.用配方法推导 (二)探究新知:用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)解:因为a≠0,所以方程的两边同除以a, ∵a≠0,∴4a2>0 当b2-4ac≥0时. 从上面的结论可以发现: (1)一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的.

(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b 2-4ac≥0的前提下,把a 、b 、c 的值代入上式中,可求得方程的两个根. 的求根公式,用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法. (二)师生互动,应用新知 互动1 师:一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的求根公式中,要求b 2-4ac ≥0 ,?那么b 2-4ac<0时会怎样呢? 生:当b 2-4ac<024b ac -ax 2+bx+c=0(a≠0)无实数解. 明确: b 2-4ac≥0是公式的一个重要组成部分,是求根公式成立的前提条件,这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件.当b 2-4ac<0时,此方程无解,?也是判断一元二次方程无解的一个前提条件. 互动2.填一填: 解:a= ,b= ,c= . 035x 2x (1)2=+-_____ __________=-4ac b 2_________________=-±-=∴2a 4ac b b x 2

初中数学教学案例与反 思 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

初中数学教学案例与反思:《用函数的观点看一 元二次方程》 者海二中傅锜

一、教学目标: 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根. 3.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 二、教学重点、难点: 教学重点: 1.体会方程与函数之间的联系。 2.能够利用二次函数的图象求一元二次方

程的近似根。 教学难点: 1.探索方程与函数之间关系的过程。2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 三、教学方法:启发引导合作交流 四:教具、学具:课件 五、教学媒体:计算机、实物投影。 六、教学过程: [活动1] 检查预习引出课题 预习作业: 1.解方程:(1)x2+x-2=0; (2) x2- 6x+9=0; (3) x2-x+1=0; (4) x2-2x-

2=0. 2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系,利用函数的图象求方程3x-4=0的解. 师生行为:教师展示预习作业的内容,指名回答,师生共同回顾旧知,教师做出适当总结和评价。 教师重点关注:学生回答问题结论准确性,能否把前后知识联系起来,2题的格式要规范。 设计意图:这两道预习题目是对旧知识的回顾,为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式,这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来,让学生回顾二次

初中数学教学案例——探索平行线的性质初中案例——探索平行线的性质 者海二中傅锜 一、案例实施背景 ⑴播放一组幻灯片。 内容:①供火车行驶的铁轨上;②游泳池中的泳道隔栏;③横格纸中的线。 ⑵提问温故:日常生活中我们经常会遇到平行线,你能说出直线平行的条件吗? ⑶学生活动:针对问题,学生思考后回答——①同位角相等两直线平行;②内错角相等两直线平行;③同旁内角互补两直线平行。 ⑷教师肯定学生的回答并提出新问题:若两直线平行,那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?从而引出课题:探索平行线的性质(板书)。 2.数形结合,探究性质 ⑴画图探究,归纳猜想。

教师提要求,学生实践操作:任意画出两条平行线(a∥b),画一条截线c 与这两条平行线相交,标出8个角。(统一采用阿拉伯数字标角) 教师提出研究性问题一: 指出图中的同位角,并度量这些角,填写结果: 第一组:同位角()()角的度数()()数量关系() 第二组:同位角()()角的度数()()数量关系() 第三组:同位角()()角的度数()()数量关系() 第四组:同位角()()角的度数()()数量关系() 教师提出研究性问题二: 将图中的同位角任先一组剪下后叠合。学生活动一:画图—剪图—叠合—猜想学生活动二:画图—剪图—叠合—猜想让学生根据活动得出的数据与操作得出的结果归纳猜想:两直线平行,同位角相等。 教师提出研究性问题三: 再画出一条截线d,看你的猜想结论是否仍然成立?

学生活动:探究、按小组讨论,最后得出结论:仍然成立。 ⑵教师用《几何画板》课件验证猜想,让学生直观感受猜想 ⑶教师展示平行线性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。(两直线平行,同位角相等) 3.引申思考,培养创新 教师提出研究性问题四: 请判断两条平行线被第三条直线所截,内错角、同旁内角各有什么关系?学生活动:独立探究——小组讨论——成果展示。 教师活动:评价学生的研究成果,并引导学生说理 因为a∥b(已知)所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等) 又∠1=∠3(对顶角相等)∠1+∠4=180°(邻补角的定义) 所以∠2=∠3(等量代换)∠2+∠4=180°(等量代换)

初中数学公开课教案 授课人侯新民时间地点186 教室 科目数学年级九年级课题一元二次方程的应用 知识目标:使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题. 能力目标:通过列方程解应用问题,进一步提高分析问题、解决问题的能力. 教 学情感目标:通过列方程解应用问题,进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性.进一步目 标培养学生的数学创新能力, 教 学会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题. 重 点 教 学 根据数与数字关系找等量关系 难 点 学 情通过前面的学习,学生已经掌握一元二次方程应用基本的解题思路、方法,会分析解决 简简单的实际问题,但整个知识掌握不系统、不全面,解题正确率不高。 析 教 发现法、练习法、讨论法教具多媒体课件 法 教学过程 教教学 学 教学内容师生 环活活节动动创问题 1:引思设用一根长 60 厘米的铁线围成一个长方形 . 导考问(1)、使长方形的宽是长的三分之二,求这个长方形的长。观回题(2)、使长方形的宽比长少 4 厘米,求这个长方形的面积。察答情(3)、比较( 1)(2)中所得的两个长方形的面积的大小,还能围出面积更大的提 境长方形吗?问温故知新 1、长方形的面积如何计算?

2.列方程解应用题的一般步骤: 3.如何设未知数?在( 2)中能不能直接设面积为X 平方厘米? 探索: 将(2)题中的宽比长少 4 厘米改为 3 厘米、 2 厘米、 1 厘米、 0 厘米,长方形的 面积有什么变化。 回例 1 两个连续奇数的积是323,求这两个数. 顾分析:两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2,设元(几种设法). 1、设较小的旧奇数为 x,则另一奇数为x+2, 2、设较小的奇数为x-1 ,则另一奇数为x+1;3、设较小的奇数为 2x-1 ,则另一个奇数 2x+1. 知 以上分析是在教师的引导下,学生回答,有三种设法,就有三种列法,找三位学生使用三 种方法,然后进行比较、鉴别,选出最简单解法. 引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题: 1.三种不同的设元,列出三种不同的方程,得出不同的x 值,影响最后的结果吗? 2.解题中的 x 出现了负值,为什么不舍去? 答:奇数、偶数是在整数范围内讨论,而整数包括正整数、零、负整数.3.选出三种方法中最简单的一种. 练习 1.两个连续整数的积是210,求这两个数. 2.三个连续奇数的和是321,求这三个数. 3.已知两个数的和是12,积为 23,求这两个数. 学生板书,练习,回答,评价,深刻体会方程的思想方法. 例 2 有一个两位数等于其数字之积的 3 倍,其十位数字比个位数字小2,求这两位数.分析:数与数字的关系是: 例两位数 =十位数字×10+个位数字. 三位数 =百位数字×100+十位数字× 10+个位数字. 题 解:设个位数字为 x,则十位数字为 x-2 ,这个两位数是10(x-2 ) +x. 赏据题意,得10( x-2 ) +x=3x( x-2 ), 析整理,得 3x 2-17x+20=0 ,解这个方程得:X=4 , X=5/3 当 x=4 时, x-2=2 , 10(x-2 ) +x=24. 答:这个两位数是 24. 以上分析,解答,教师引导,板书,学生回答,体会,评价. 注意:在求得解之后,要进行实际题意的检验. 练习 1有一个两位数,它们的十位数字与个位数字之和为8,如果把十位数字与个位数字调换后,所得的两位数乘以原来的两位数就得1855,求原来的两位数.(35, 53) 2.一个两位数,其两位数字的差为5,把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积 为 976,求这个两位数. 教师引导,启发,学生笔答,板书,评价,体 会.(四)总结,扩展 1.列一元二次方程解应用题,步骤与以前列方程解应用题一样,其中审题是解决问题的 基础,找等量关系列方程是关键,恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易,它可 以为正确合理的答案提供有利的条件.方程的解必须进行实际题意的检验. 2.奇数的表示方法为2n+1 , 2n-1 ,( n 为整数)偶数的表示方法是2n(n 是整数),巩连续奇数(偶数)中,较大的与较小的差为2,偶数、奇数可以是正数,也可以是负数.提 出 问 题 教 师 指 导 计讲算解 分 析 个 别 指观导察 思 考反

——一次课堂中的教学意外 “新课程标准”强调,教学过程是师生围绕教学内容积极的、有效的、动态生成的过程。数学教学是数学活动的教学,是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的活动,教学预设与生成是教学中一个永恒的课题。每一位教师,为了上好每一堂课,课前总要认真的备课,钻研教材,分析学生的情况,考虑教法。但是课堂教学,并非时时处处都会按照自己设计的程序一步一步顺利进行。因为在教育教学过程中,各种因素都不是一成不变的。所以这就要求教师必须具有教学机智这一基本能力素质,把这种生成性内容看作新的教学资源,及时调整教学预设,形成新的教学方法,妥善处理课程中的突发事件。 (一)事件回放: 记得是在七年级的一节用一元一次方程解决应用题的新授课上,有一道是关于日历中的数学问题,在已经学习了用字母表示连续自然数这一知识点后,这道题对学生来说,真是小菜一碟,无非是温故一下。却想不到其间出现了两次意外。 问题如下:小阳的爸爸跟旅行社外出旅游5天,回家后一次撕下这5天的日历,这五天日期相加的和是90,小阳的爸爸回家这天是几号?不少学生都设中间这天为x号,则其余四天可分别表示为(x-2),(x-1),(x+1),(x+2)号,则可得方程(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)=90,求得x=18,进而可求得5天日期分别为16,17,18,19,20号,所以可给出答案:小阳爸爸回家这天是20号。 到这里我想应该是可以让这一道题过去的时候了,此时,一个声音打破了课堂的节奏。“老师,我觉得小阳的爸爸应该是21号回家的。”我示意他站起来解释一下,为什么是21号回家的。 “因为外出旅行5天,所以回来应该是第6天,”我一愣,但随即回想以往跟团外出旅游时,第5天就是回家之日,所以我向学生解释这一现实生活的真实情况,学生在理解的基础上加深了印象,我心想,幸好跟团出去旅行过,要不然,就要“卡壳”了。 正在暗自庆幸时,又一个意外冒了出来,另一个学生提出:“老师,这5天会不会是月底和月初的5天呢?”我一怔,是啊,也有这种可能性啊!连续的这五天,但日期数不是连续的自然数。平常我们老师在出这类题时都是基于连续的自然数考虑的,怎么办呢?权衡一下,我决定请同学们讨论讨论,于是说:“你真会动脑,发现了一个老师们都没注意到的问题,怎么求出来呢?请大家一起合作解决一下。” …… 没有学生能解决。 “日期数不是连续的自然数,有什么办法可以使它变成连续的自然数?”例如:28、29、30、1、2.。反应快的学生兴奋起来。“把1、2加上30就行了。”“现在5个连续自然数之和就是150”“所以,小阳的爸爸是2号那天回家的。” 我接着问:“5天中一定是上月底3天,下月底2天吗?……请有兴趣的同学课后去讨论研究。”

初中数学教学案例分析 【案例】“有理数运算”应用题教学 【案例简述】 案例呈现问题情境:某股民在上星期五以每股27元的价格买进某股票1000股。该股票的涨跌情况如下表(单位:元)。 星期一二三四五 -6 -2.5 -1 +4 +4.5每股涨跌 师:星期四收盘时,每股多少元? 提问生1、2:(疑惑不解状)。 生3:27-2.5=25.5(元)。 师:星期四收盘价实际上就是求有理数的和,应该为:(元)。 师:周二收盘价最高为35.5元;周五最低为26元。 师:已知该股民买进股票时付出了3‰的交易税,卖出股票时需付成效额3‰的手续费和2‰的交易税,如果该股民在星期五收盘前将全部股票卖出,他的收益情况如何? 提问生4、5(困惑状)。 生6:买入:27×1000×(1+3‰)= 27081(元); 卖出:26×1000×(1+3‰+2‰)=26130(元); 收益:26130-27081=-951(元)。 师:生6的解答错了,正确解答为: 买入股票所化费的资金总额为:27×1000×(1+3‰)= 27081(元); 卖出股票时所得资金总额为:26×1000×(1-3‰-2‰)=25870(元);

上周交易的收益为:25870-27081=-1211(元),实际亏损了1211元。 师:请听明白的同学举手。 此时课堂上约有三、四个学生举起了手,绝大部分学生眼中闪烁着疑惑之意。有些学生在窃窃私语,有一学生轻声道:“老师,我听不懂!”……少部分学生烦燥之意露于言表。 【案例分析】 1、《新课程标准》要求教师在教学时更关注学生的体验,要求问题的创设揭示数 学与生活实际密切相关,让学生认识到数学就在自己身边,数学与人们的生活密不可分,从而激发学生学习数学的深感兴趣。本案例教师力图贯彻新课程理念,试图联系生活,尝试在提出问题时逐步深入的基础上培养学生用数学的意识,但实际上是“东施效颦”,形式上的一串串问题及解答让新课程理念远离了课堂教学实际,教师虽对本题求解准确,但学生的接受与沟通的效率低下,仅仅是教师用了自己在生活实践经验体会去审视数学问题。教师感觉容易理解,而事实恰好相反,教师的讲述没有激化学生的思维活动,一些在教师眼里显而易见的问题,对于学生来说很难。新课程理念倡导的是改变教学内容机械化的呈现方式,应放手让学生自主探求,真正让学生在课堂上的主体地位得到落实,教师的主导作用表现在组织者和引导者。 的困惑”视界“、案例中学生数学2. 学生没有感知现实生活中的股票买进卖出,对教师在处理数学信息时认为“自然”和“显然”的合情合理的推断存在的“症结”如下: 〈1〉表格中有理数正负号的实际意义如:+4表示每股涨了4元;-1表示每股跌了1元。教师没有交待分析,学生理解较为困难。 〈2〉周四收盘时的股价是(元),如何理解27元的概念?为什么不能理解为:27-2.5=24.5(元),周四的股票与前三天的股票涨跌存在什么关系? 〈3〉股票卖出时的26元数据是哪里来的? 〈4〉买入交易时交易税是付出3‰,卖出时付出的成交额的3‰和手续费2‰,同是“付出了”,为什么理解的数学意义截然相反? 〈5〉如何理解一周股票收益的-1211元的实际意义? 3、案例启示 (1)关注课堂,走近学生 教师在授课时,不能照本宣科,每个学生的家庭背景、生活经验、数学思维方

初中数学课堂教学案例分析 一、教学案例实录 教学过程: (一).导入新课师:同学们好,我们已经学过用一元一次方程 来解决实际问题,你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗?生:审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程,最后答题.师:同一元一次方程、二元一次方程(组)等一样,一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型。这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题。 (二).探索新知 问题情境:有一人患了流感,经过两轮传染后,有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析:(1)本题中有哪些数量关系?(2)如何理解“两轮传染”?(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?(4)能否把方程列得更简单,怎样理解?(5)解方程并得出结论,对比几种方 法各有什么特点? 解答:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则依题意第一轮 传染后有x+1人患了流感,第二轮传染后有x(1+x)人患了流感。 于是可列方程:1+x+x(1+x)=121 解方程得x1=10,x2=-12(不合题意舍去) 因此每轮传染中平均一个人传染了10个人。 思考:如果按这样的传播速度,三轮传染后有多少人患了流感? 活动方略:教师提出问题学生分组,分别按问题(3)中所列的 方程来解答,选代表展示解答过程,并讲解解题过程和应注意问题。 设计意图:使学生通过多种方法解传播问题,验证多种方法的正确性;通过解题过程的对比,体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响,丰富解题经验。 (三).当堂训练及分析 1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支、主干,如果支干和小分支的总数是91,每个支干长出 多少小分支? 解:设每个支干长出x个小分支, 则1+x+x2=91,即x2+x-90=0。 解得x1=9,x2=-10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支。

初中数学教学典型案例分析 我仅从四个方面,借助教学案例分析的形式,向老师们汇报一下我个人数学教学的体会,这四个方面是: 1.在多样化学习活动中实现三维目标的整合; 2.课堂教学过程中的预设和生成的动态调整; 3.对数学习题课的思考; 4.对课堂提问的思考。 首先,结合《勾股定理》一课的教学为例,谈谈如何在多样化学习活动中实现三维目标的整合 案例1:《勾股定理》一课的课堂教学 第一个环节:探索勾股定理的教学 师(出示4幅图形和表格):观察、计算各图中正方形A、B、C的面积,完成表格,你有什么发现? A的面积B的面积C的面积 图1 图2 图3 图4 生:从表中可以看出A、B两个正方形的面积之和等于正方形C的面积。并且,从图中可以看出正方形A、B的边就是直角三角形的两条直角边,正方形C的边就是直角三角形的斜边,根据上面的结果,可以得出结论:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 这里,教师设计问题情境,让学生探索发现“数”与“形”的密切关联,形成猜想,主动探索结论,训练了学生的归纳推理的能力,数形结合的思想自然得到运用和渗透,“面积法”也为后面定理的证明做好了铺垫,双基教学寓于学习情境之中。 第二个环节:证明勾股定理的教学 教师给各小组奋发制作好的直角三角形和正方形纸片,先分组拼图探究,在交流、展示,让学生在实践探究活动中形成新的能力 (试图发现拼图和证明的规律:同一个图形面积用不同的方法表示)。 学生展示略 通过小组探究、展示证明方法,让学生把已有的面积计算知识与要证明的代数式联系起来,并试图通过几何意义的理解构造图形,让学生在探求证明方法的过程中深刻理解数学思想方法,提升创新思维能力。 第三个环节:运用勾股定理的教学 师(出示右图):右图是由两个正方形 组成的图形,能否剪拼为一个面积不变的新 的正方形,若能,看谁剪的次数最少。 生(出示右图):可以剪拼成一个面积 不变的新的正方形,设原来的两个正方形的 边长分别是a、b,那么它们的面积和就是 a2+ b2,由于面积不变,所以新正方形的面积 应该是a2+ b2,所以只要是能剪出两个以a、b 为直角边的直角三角形,把它们重新拼成一个 边长为 a2+ b2 的正方形就行了。

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