(完整版)无穷级数总结.docx
无穷级数总结
一、概念与性质
1.定义：对数列 u1, u2 ,L,u n L ，u n称为无穷级数， u n称为一般项；若部分和
n 1
数列 { S n} 有极限S，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散 .
n
2.性质
①设常数 c0 ，则u n与cu n有相同的敛散性；
n 1n 1
②设有两个级数u n与v n，若u n s ，v n，则(u n v n ) s；
n1n 1n1n 1n 1若u n收敛，v n发散，则(u n v n ) 发散；
n 1n 1n 1
若u n，v n均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；
n 1n 1n 1
③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；
④设级数u n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．
n 1
注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；
②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．
⑤级数u n收敛的必要条件： lim u n0 ；
n
n 1
注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；
②若 lim u n 0 ，则u n未必收敛；
n n 1
③若u n发散，
则
n 1
二、常数项级数审敛法
1.正项级数及其审敛法lim u n0 未必成立．n
①定义：若 u n0 ，则u n称为正项级数.
n 1
② 审敛法：
（ i）充要条件：正项级数u n收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.
n 1
（ ii ）
比较审敛法：设 u n ①与v n ②都是正项级数， 且 u n
v n (n
1,2,L ) ，
n 1
n 1
则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散 .
A. 若②收敛，且存在自然数 N ，使得当 n
N 时有 u n
kv n (k 0) 成立，则①收
敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当 n
N 时有 u n kv n (k
0) 成立，则
①发散；
B. 设
u n 为正项级数，若有
p 1 使得 u
1 (n 1,2,L ) ，则
u n
收敛；若
n 1
n
n
p
n
1
u n
1
u n 发散 .
(n 1,2,L ) ，则
n
n 1
C. 极限形式：设
u n ①与
v n ②都是正项级数，若 lim
u n
l (0 l
) ，则
n 1
n 1
n
v n
u n 与
v n 有相同的敛散性 .
n 1
n 1
注：常用的比较级数：
ar n 1
a
r 1 ；
①几何级数：
1 r
n 1
发散
r
1
1
收敛
p
时
② p 级数：
1 ；
n 1 n p
发散 p
1时
③ 调和级数：
1
1
1
1 发散．
1
n
2
n
n
（ iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设
a n 是正项级数，若
n 1
①
注：若
lim
a n 1
r
1，则 a n 收敛；② lim
a n 1
r 1
，则
a n 发散．
n
a n
n 1
n
a n
n 1
a
n 1
n
1
1
lim
1
，或 lim a n
1 ，推不出级数的敛散 .例
与
，虽然
a n
n 1
n n 1
n 2
n
n
lim
a
n 1
1， lim n a
n 1 ，但
1 发散，而 1 收敛 .
n
a n
n
n 1
n
n 1
n 2
（ iv ）根值判别法（柯西判别法）设
n
a n 是正项级数， lim a
n
，若 1 ，
n 1
n
级数收敛，若1则级数发散．
（ v）极限审敛法：设u n0 ，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l0 且 p 1 ，则级
n n
数u n发散；②如果 p 1 ，而 lim n p u n l (0l) ,则其收
n1n
敛．（书上 P317-2-（1））
注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．
2.交错级数及其审敛法
①定义：设 u n 0(n 1,2,L ) ，则( 1)n 1u n称为交错级数.
n 1
②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数( 1)n 1u n，若 u n u
n 1且 lim u n0 ，
n 1n
则( 1)n 1 u n收敛.
n 1
注：比较 u n与 u n 1的大小的方法有三种：
①比值法，即考察u n 1
是否小于 1；
u n
②差值法，即考察 u n u n 1是否大于0；
③由 u n找出一个连续可导函数 f ( x) ，使 u n f (n), (n 1,2, ) 考察 f ( x) 是否小于0．
3.一般项级数的判别法：
①若u n绝对收敛，则u n收敛 .
n 1n1
②若用比值法或根值法判定| u n |发散，则u n必发散.
n1n1
三、幂级数
1.定义：a n x n称为幂级数.
n 0
2.收敛性
① 阿贝尔定理：设幂级数a n x n在 x00处收敛，则其在满足 x x0的所
n 0
有 x 处绝对收敛．反之，若幂级数 a n x n在 x1处发散，则其在满足 xx1
n 0
的所有 x 处发散．
② 收敛半径
（i）定义：若幂级数在x x0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数 R ，使得①当x x0R 时，幂级数收敛；②当
x x0R 时，幂级数发散；R称为幂级数的收敛半径.
（ii ）求法：设幂级数 a n x n的收敛半径为R，其系数满足条件 lim a
n 1l ，
n 0
n a n
或 lim n a n l
，则当 0 l时， R
1
；当 l 0 时， R，
n l
当l时，R 0．
注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．（i ii ）收敛半径的类型
A.R 0 ，此时收敛域仅为一点；
B.R，此时收敛域为( , )；
C. R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间．
3.幂级数的运算（略）
4.幂级数的性质
①若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x n
n 0
②若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x n
n 0在收敛区间
在收敛区间
( R, R) 内连续．
( R, R) 内可导，
且可逐项求导，即 S ( x) (a n x n )(a n x n )na n x n 1，收敛半径不变．
n 0n 0n 1
③若幂级数的收敛半径 R 0 ，则和函数S( x) a n x n在收敛区间 ( R, R) 内可积，
n0
x x
a n t n )dt x
且可逐项积分，即S(t )dt(a n t n dt ( x ( R, R)) ，收敛半径不
00
n 0n 00
变．
5.函数展开成幂级数
①若 f ( x) 在含有点 x 0 的某个区间 I 内有任意阶导数， f ( x) 在 x 0 点的 n 阶泰勒公式
为 f ( x)
f ( x 0 ) f (x 0 )( x x 0 )
f (x 0 )
2 f (n) ( x 0 )
2! (x x 0 )
( x x 0 )
n!
f (n
1) (
)
( x x 0 )
( n 1)
，记 R n ( x) f (n
1) (
)
x 0
) ( n 1) ， 介于 x, x 0 之间，则 f ( x) 在 ( n 1)!
(n 1)! ( x
I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为
lim R n ( x) 0,
x I .
n
②初等函数的泰勒级数 ( x 0 0)
（ i ） e x
x n , x (
,
) ；
n 0 n!
（ ii ） sin x
(
1) n 1 x 2n 1 , x
( ,
) ；
n 1
(2n 1)!
（ iii ） cos x
( 1) n
x 2n
( ,
) ；
( 2n)! , x
n 0
（ iv ） ln(1 x)
( 1) n x n 1
( 1, 1] ；
n 1, x
n 0
（ v ） (1 x)
1
(
1) ( n 1) x n , x
( 1, 1), (
R) ；
n 1
n!
（ vi ）
1
x
x n , x
1 ；
1 x
( 1) n x n , x 1.
1 n 0
1 n 0
6.
级数求和
①幂级数求和函数解题程序
（ i ）求出给定级数的收敛域；
（ ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看
出其假设和函数 s( x) 与其导数 s ( x) 的关系），从而得到新级数的和函数；
注：系数为若干项代数和的幂级数， 求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数
和，然后分别求出它们的和函数， 最后对和函数求代数和， 即得所求级数的和函数．
②数项级数求和
（ i ）利用级数和的定义求和，即 lim S n s ，则
u n s ，其中
n
n 1
n
s n u 1 u 2u n
u k ．根据 s n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递
k
1
推法．
A. 直接法：适用于
u k 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；
k 1
B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求
n 项和时，除首尾两项外其余各项对
消掉．
（ ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）a n
lim
a n x n ，其中幂级数
a n x n ，可通
n 0
x 1 n 0
n 0
过逐项微分或积分求得和函数 S(x) ．因此a n
lim s(x) ．
n 0
x 1
四、傅里叶级数 1. 定义
①定义 1：设 f (x) 是以 2
为周期的函数，且在 [ , ] 或 [ 0, 2 ] 上可积，则
1
1
a n
f ( x) cos nxdx
1
1
b n
f ( x) sin nxdx
2 0, 1, 2 ) ，
f (x) cosnxdx, (n 0
2 1, 2, ) ，
f (x) sin nxdx,( n 0
称为函数 f (x) 的傅立叶系数．
②定义 2：以 f (x) 的傅立叶系数为系数的三角级数
1 a 0(a n cos nx b n sin nx) ．
2
n 1
称为函数 f ( x) 的傅立叶级数，表示为
f ( x)～
1
a 0
(a n cos nx b n sin nx) ．
2
n 1
③定义 3：设 f (x) 是以 2l 为周期的函数，且在 [
l , l ] 上可积，则以
1
l f (x) cos
n xdx, (n 0, 1, 2 ) ，
a n
l
l l
1
l
f (x) sin
n
xdx, (n 1, 2
) 为系数的三角级数 b n
l
l l
1
a 0
( a n cos
n
x b n sin
n
x)
称为 f ( x) 的傅立叶级数，表示为
2
n 1
l
l
f ( x)～ 1
a 0
(a n cos
n
x b n sin n
x) ．
2
l l
n 1
2. 收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数
f ( x) 在区间 [ , ] 上满足条件
①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，
则 f ( x) 的傅立叶级数在 [ ,
] 上收敛，且有
f x ), x 是 f x 的连续点 ；
( ( )
1
[ f ( x 0 0) f ( x 0 0)],
a 0
2 .
( a n cos nx b n sin nx)
2
x 是 f x 的第一类间断点 ；
n 1
( )
1
[ f (
0)
f (
0)], x
2
3. 函数展开成傅氏级数①周期函数
（ i ）以 2 为周期的函数 f ( x) ： f ( x)～ a
a n cos nx
b n sin nx
2
n 1
1
f ( x) cos nxdx(n 0, 1, 2, ) ， b n 1
f ( x) sin nxdx(n
1, 2,
) ；
a n
注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～
b n sin nx (正弦级数 )， a n 0 (n
0, 1, 2, )
n 1
b n
2
f ( x)sin nxdx
(n
1, 2, ) ；
②若 f ( x) 为偶函数，则
f x ～
a 0
a n cos nx (余弦级数 )，
( )
2
n 1
a n
2
f ( x)cos nxdx (n
0,1, 2, ) ， b n 0
(n 1, 2, ) .
（ ii ）以 2l 为周期的函数 f ( x) ： f x ～
a
a n
n
n x)
( )
2 cos
x + bn sin
n 1
l l
1
l
n
xdx(n
0, 1, 2,
1
l n xdx(n 1, 2, ) ；
a n
f (x) cos
) ， b n
f (x) sin
l
l
l
l
l
l
注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～
b n sin
n
0 (n
0,1, 2, )
x (正弦级数 )， a n
n 1
l
2 b n
l
l 0
f ( x)sin n
xdx
(n 1, 2, ) ；
l
②若 f ( x) 为偶函数，则
f x ～
a
a n
n ( )
cosx ， (余弦级数 )
2
n 1
l
2
a n
l
l
f ( x)cos n
xdx (n 0, 1, 2, ) ， b n 0
(n 1, 2, ) .
l
②非周期函数
（ i ）奇延拓：
f ( x), 0 x
，则 F ( x) 除 x 0 外在
A. f (x) 为 [0, ] 上的非周期函数，令 F ( x)
x),
x
f (
[
, ] 上 为 奇 函 数 ， f ( x)～ b n sin nx ( 正 弦 级 数 ) ， b n
2
f (x)sin nxdx
n 1
(n
1, 2, ) ；
B.
f (x), 0 x l
f (x) 为 [0, l ] 上的非周期函数，则令 F (x)
f ( x), l
，则 F (x) 除 x 0 外
x 0
在 [,] 上为奇函数，～n2
f ( x)b n sin x (正弦级数)，b n
n 1l l (n1, 2,) .
l
n
f ( x)sin xdx l
（ ii ）偶延拓：
A. f (x)为[0,] 上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x，
f ( x),x0
则 F (x) 除x0 外在[ ,] 上为偶函数， f (x)～a0
a n cosnx (余2
n 1
弦级数 )，a n 2
0, 1, 2,) .
f ( x)cos nxdx (n
B. f (x)为[0, l ]上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x l，则
f ( x),l x0
f ( x)～a0
a n cos
n
x (余弦级数)，a n2
2
n 1l l
l
f ( x)cos
n
xdx (n 0,1, 2, ).
l
注：解题步骤：
①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性；
②求出傅氏系数；
③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于 f ( x) ．