(完整版)圆锥曲线秒杀法
圆锥曲线秒杀法
吴磊
研究高考作文之余，本人也研究高考数学的秒杀方法，主要包括隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线
一、圆锥曲线部分小题用到的方法
1、椭圆C：x2/8+y2/2=1与斜率K=1/2的直线l相切，则切点坐标为________
注:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法
法一、隐函数求导
直接对C：x2/8+y2/2=1求关于X导数可得x/4+y y'=0，带入K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很容易解出切点为(-2,1)和(2,-1)；
法二、缩放坐标
将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将X轴压缩为原来的1/2，即x=2x'(这里不是导数，只表示一个未知数)；斜率K'=2K=1，椭圆化为圆C':x'2+y'2=2;很容易求得I'与C'相切于(-1,1)和(1,-1)，还原，可知I与C相切于(-2,1)和 (2,-1)
2、椭圆C：x2/4+y2/3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:______
法一、直接用柯西不等式
椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离，
l'=x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(x2/4+y2/3)（4+12）≥(x-2y)2;-4≤b≤4;把4和-4代入l'；再利用平行线距离公式求I和l'距离，最大距离为√5所以0≤d≤√5
法二、缩放坐标系
椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离。
l'= x-2y+b=0；缩放y=√3/2 y'；椭圆C缩放后方程C'为: x2+y2=4；l'缩放后表达式为l''=x-√3y+b=0,C'与l''相切，利用点到直线距离为半径，容易求的b=4和-4；再利用平行线距离公式很容易求得范围为0≤d≤√5
3、过定点(
4、0)的直线l与椭圆C：x2/4+y2=1有公共点，则直线l 斜率K取值范围为:______
法一、直接用柯西不等式
l:my=x-4,则x-my=4;构造柯西不等式，(x2/4+y2)（22+ m2）≥(x-my)2
可得，m2≥12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为-√3/6≤k≤√3/6
法二、缩放坐标
l:my=x-4， x=2x' C': x' 2+ y' 2 =1; I':m y'=2 x'-4, 用点到直线距离公式，d=4/√(4+ m2)≤1；可解的m2≥12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为
-√3/6≤k≤√3/6
二、柯西不等式
柯西不等式在高中数学提升中非常重要，是高中数学研究内容之一，是求某些
函数最值中和证明某些不等式时经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。 柯西不等
柯西不等式---[方和 积不小于积和 方] 1212120当且仅当或
时取等n n n a a a b b b b b b =======L L 柯西不等式的主要变形公式
变形公式
1
11221122n n n n a b a b a b a b a b a b ?+?++?≤?+?++?≤L L 取等条件同
变形公式
2
()()21212n n a a a b b b +++≤++++++L L g L
++=≤L L 变形公式
3
≥不等式三角公式
变形公式4
()2
22212121212n n n n a a a a a a b b b b b b ++++++≥+++L L L 取等条件同 变形公式5
()2
1212121122n n n n n
a a a a a a
b b b a b a b a b ++++++≥?+?++?L L L 取等条件同
()()()
222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b +++?+++≥?+?++?L L L
三、仿射
四、参数方程
椭圆参数方程吴磊
一、没吃过猪肉，你还没见过猪跑
x=acosθ；y=bsinθ是一组我们熟悉而又陌生的方程，可问题是你真懂他们的含义吗?θ究竟是个什么东东，和圆参数方程和极坐标方程中θ是一个意思吗?
1、从一道百分之九十以上人都做错的简单题展开
例1、P是椭圆C上一点: x= 4cosθ; y=2√3sinθ且在第一象限 O （ O为原点）P的倾斜角为π/3，则P点的坐标为_________
经典错法:
因为倾斜角为π/3，x= 4cosθ; y=2√3sinθ，所以
x= 4cosπ/3=2; y=2√3sinπ/3 =3 求得P坐标（2、3）
正解:
因为 OP的倾斜角为π/3，故OP的斜率K= tanπ/3=√3；
√3=y/x 2√3sinθ/4cosθ=√3 (1)
sinθ2+cosaθ2=1 (2) 联立二式，P在第一象限，可解cosθ=√5/5 sinθ=2√5/5 P点坐标为(4√5/5 、4√15/5 )
2、椭圆参数方程的推导和含义解释
3、椭圆参数方程的设法
可能有的同学会按照焦点在X轴:x=acosθ；y=bsinθ
焦点在Y轴:x=b cosθ；y=a sinθ去记忆，老师告诉你别这么理解，你只要记住cosθ对应的系数是a和b中大的，cos和扩大谐音，参数方程还原主要看cosθ前的系数，它一定是大的，焦点在哪个轴，他在哪个下面。
二、椭圆参数方程妙用
1、椭圆内内接面积问题
例1:
解:
可设A( 10cosθ； 8sinθ )，利用对称性可知 B( 10cosθ；- 8sinθ ) C( -10cosθ；- 8sinθ )；D( -10cosθ；8sinθ )
AB长度为16sinθ；AD长度为20cosθ，矩形面积S=160 sin2θ，由三角函数知识可知，面积最大为160
例2：
解:要使S OAPB最大，由图可知S OAB为定值，需求出P到直线AB距离，距离最大时S BPA最大，从而S OAPB最大，用椭圆参数方程设P为x=acosθ；y=bsinθ
直线AB的方程为:x/a+y/b=1 用P到AB的距离公式可以求得距离最大为ab(√2-1)2, S OAPB= ab√2/2