弹簧的动量和能量问题

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一、知识清单

1．弹性势能的三种处理方法

弹性势能E P=?kx2，高考对此公式不作要求，因此在高中阶段出现弹性势能问题时，除非题目明确告诉了此公式，否则不需要此公式即可解决，其处理方法常有以下三种：

①功能法：根据弹簧弹力做的功等于弹性势能的变化量计算；或根据能量守恒定律计算出弹性势能；

②等值法：压缩量和伸长量相同时，弹簧对应的弹性势能相等，在此过程中弹性势能的变化量为零；

③“设而不求”法：如果两次弹簧变化量相同，则这两次弹性势能变化量相同，两次作差即可消去。

二、例题精讲

2．（2006年·天津理综）如图所示，坡道顶端距水平面高度为h，质量为m1的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，一端与质量为m2的档板B相连，弹簧处于原长时，B恰位于滑道的末端O点．A与B碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM段A、B与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：（1）物块A在与挡板B碰撞前瞬间速度v的大小；

（2）弹簧最大压缩量为d时的弹性势能E p（设弹簧处于原长时弹性势能为零）．

3．如图所示，在竖直方向上，A、B两物体通过劲度系数为k＝16 N/m的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在倾角α＝30°的固定光滑斜面上. 用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m＝0.2 kg，重力加速度取g＝10 m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放C后，C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，求：

(1)从释放C到物体A刚离开地面时，物体C沿斜面下滑的距离；

(2)物体C的质量；

(3)释放C到A刚离开地面的过程中细线的拉力对物体C做的功．

4．（2014?珠海二模）如图甲，光滑的水平面上有三个滑块a、b、c；a、b的质量均等于1kg；b、c被一根轻质弹簧连接在一起，处于静止状态；在t=0时，滑块a突然以水平向右的速度与b正碰，并瞬间粘合成一个物体（记为d）；此后运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，d的速度随时间做周期性变化，如图乙．则：（1）求滑块a的初速度大小以及a、b正碰中损失的机械能△E；

（2）求滑块c的质量；

（3）当滑块c的速度变为v x瞬间，突然向左猛击一下它，使之突变为﹣v x，求此后弹簧弹性势能最大值E p 的表达式，并讨论v x取何值时，E p的最大值E pm．

5．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端固定，下端挂一个质量为m的物体。现用一块木板将物体托起，使弹簧恢复原长，然后让木板由静止开始以加速度a(a＜g)向下做匀加速运动。试求：

(1)木板开始运动时，物体对木板的压力为多少?

(2)木板运动至与物体刚分离时经历的时间为多少?

6．（2016·全国卷Ⅰ）如图1-，一轻弹簧原长为2R ，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC 的底端A

处，另一端位于直轨道上B 处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为5

6R 的光滑圆弧轨道相切于

C 点，AC

＝7R ，A 、B 、C 、D 均在同一竖直平面内．质量为m 的小物块P 自C 点由静止开始下滑，最低到达E 点(未画

出)，随后P 沿轨道被弹回，最高到达F 点，AF ＝4R ，已知P 与直轨道间的动摩擦因数μ＝1

，重力加速度大

小为g .(取sin 37°＝35，cos 37°＝4

(1)求P 第一次运动到B 点时速度的大小． (2)求P 运动到E 点时弹簧的弹性势能．

(3)改变物块P 的质量，将P 推至E 点，从静止开始释放．已知P 自圆弧轨道的最高点D 处水平飞出后，恰好

通过G 点．G 点在C 点左下方，与C 点水平相距7

2R 、竖直相距R ，求P 运动到D 点时速度的大小和改变后P

的质量．

37°

7R/2G

图1-

7．如图2所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A 点，自然状态时其右端位于B 点．D 点位于水平桌面最右端，水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP ，其形状为半径R ＝0.8 m 的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN 为其竖直直径，P 点到桌面的竖直距离也是R .用质量m 1＝0.4 kg 的物块a 将弹簧缓慢压缩到C 点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B 点．用同种材料、质量为m 2＝0.2 kg 的物块b 将弹簧缓慢压缩到C 点释放，物块过B 点后其位移与时间的关系式为x ＝6t －2t 2，物块飞离桌面后由P 点沿切线落入圆弧轨道．g 取10 m/s 2，求：

图2

(1)B 、P 间的水平距离；

(2)通过计算，判断物块b 能否沿圆弧轨道到达M 点； (3)物块b 释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功．

8．如图5－2－9所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端点在O位置。质量为m的物块A(可视为质点)以初速度v0从距O点右方x0的P点处向左运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O′点位置后，A又被弹簧弹回。A离开弹簧后，恰好回到P点。物块A与水平面间的动摩擦因数为μ。求：

图5－2－9

(1)物块A从P点出发又回到P点的过程，克服摩擦力所做的功。

(2)O点和O′点间的距离x1。

(3)若将另一个与A完全相同的物块B(可视为质点)与弹簧右端拴接，将A放在B右边，向左压A、B，使弹簧右端压缩到O′点位置，然后从静止释放，A、B共同滑行一段距离后分离。分离后物块A向右滑行的最大距离x2是多少？

9．(2016·乐山市三诊)利用弹簧弹射和皮带传动装置可以将工件运送至高处。如图4所示，已知传送轨道平面与水平方向成37°角，倾角也是37°的光滑斜面轨道固定于地面且与传送轨道良好对接，弹簧下端固定在斜面底端，工件与皮带间的动摩擦因数μ＝0.25。皮带传动装置顺时针匀速转动的速度v＝4 m/s，两轮轴心相距L＝5 m，B、C分别是传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑。现将质量m＝1 kg的工件放在弹簧上，用力将弹簧压缩至A点后由静止释放，工件离开斜面顶端滑到皮带上的B点时速度v0＝8 m/s，A、B间的距离x＝1 m。工件可视为质点，g取10 m/s2。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：

(1)弹簧的最大弹性势能；

(2)工件沿传送带上滑的时间。

图4

10．如图所示，固定斜面的倾角θ=30°，物体A 与斜面之间的动摩擦因数为μ=43

，轻弹簧下端固定在斜面底

端，弹簧处于原长时上端位于C 点．用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A 和B ，滑轮右侧绳子与斜面平行，A 的质量为m A =4kg ，B 的质量为m B =2kg ，初始时物体A 到C 点的距离为L=1m ．现给A 、B 一初速度v 0=3m/s 使A 开始沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C 点．已知重力加速度为g=10m/s 2，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求此过程中：（1）物体A 沿斜面向下运动时的加速度大小；（2）物体A 向下运动刚到C 点时的速度大小；（3）弹簧的最大压缩量和弹簧中的最大弹性势能．

11．(2015·江苏卷)一转动装置如图所示，四根轻杆OA 、OC 、AB 和CB 与两小球及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l ，球和环的质量均为m ，O 端固定在竖直的轻质转轴上．套在转轴上的轻质弹簧连接在O 与小环之

间，原长为L.装置静止时，弹簧长为3

2L.转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升．弹簧始终在弹性限度内，

忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g.求： (1)弹簧的劲度系数k ；

(2)AB 杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω0；

(3)弹簧长度从32L 缓慢缩短为1

L 的过程中，外界对转动装置所做的功W.

13．如图所示，A、B两个矩形木块用轻弹簧相接静止在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，木块A和木块B的质量均为m．

（1）若用力将木块A缓慢地竖直向上提起，木块A向上提起多大高度时，木块B将离开水平地面．

（2）若弹簧的劲度系数k是未知的，将一物体C从A的正上方某位置处无初速释放，C与A相碰后立即粘在一起（不再分离）向下运动，它们到达最低点后又向上运动．已知C的质量为m时，把它从距A高为H处释