北师大版数学高一3.1 随机事件的概率 学案

1 随机事件的概率

基础自测

1.下列说法正确的是

（ ）

A.某事件发生的频率为P (A )=1.1

B .不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1

C .小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件

D .某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 答案 B

2.在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为n m ，当n 很大时，P (A )与n

m

的关系是 （ ）

A . P (A )≈n m

B . P (A )＜n

m

C . P (A )＞n

m

D . P (A )=

n

m

答案

A

3.给出下列三个命题，其中正确命题有 ( )

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是7

3

；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A .0个

B .1个

C .2个

D .3个

答案

A

4.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为 ， . 答案 0.97 0.03

5.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是21,乙获胜的概率是3

1

，则乙不输的概率是 . 答案

6

5 6.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P （A ）=

2

1

，P （B ） =

6

1

，则出现奇数点或2点的概率之和为 .

答案 3

2

例1 盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？

（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？

解 （1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0. （2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是

9

4. （3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1. 例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：

射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中10环次数m 8 19 44 93 178 453 击中10环频率

n

m

（1）计算表中击中10环的各个频率；

（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？

解 （1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906. （2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.

例3 （12分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：

命中环数 10环 9环 8环 7环 概率

0.32

0.28

0.18

0.12

求该射击队员射击一次 （1）射中9环或10环的概率； （2）至少命中8环的概率； （3）命中不足8环的概率.

解 记事件“射击一次，命中k 环”为A k （k ∈N ，k ≤10），则事件A k 彼此互斥.

2分

（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事

件的加法公式得

P （A ）=P （A 9）+P （A 10）=0.32+0.28=0.60.

5分

（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生.由互斥事

件概率的加法公式得

P （B ）=P （A 8）+P （A 9）+P （A 10） =0.18+0.28+0.32=0.78.

9分

（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即B 表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 P （B ）=1-P （B ）=1-0.78=0.22.

12

分

1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件. （1）“3件都是二级品”是什么事件？ （2）“3件都是一级品”是什么事件？ （3）“至少有一件是一级品”是什么事件？

解 （1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.

（2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.

（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品. 2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：

抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率

n

m

（1）计算表中乒乓球优等品的频率；

（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位） 解 （1）依据公式p =n

m

，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.

（2）由（1）知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950. 3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球. 求：（1）红或黑的概率； （2）红或黑或白的概率.

解 方法一 记事件A 1：从12只球中任取1球得红球； A 2：从12只球中任取1球得黑球； A 3：从12只球中任取1球得白球； A 4：从12只球中任取1球得绿球，则 P （A 1）=

125，P （A 2）=124，P （A 3）=122，P （A 4）=12

1. 根据题意，A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥， 由互斥事件概率加法公式得 （1）取出红球或黑球的概率为 P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=

125+124=4

3. （2）取出红或黑或白球的概率为 P （A 1+A 2+A 3）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3） =

125+124+122=12

11. 方法二 （1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A 1+A 2的对立事件为A 3+A 4， ∴取出红球或黑球的概率为

P （A 1+A 2）=1-P （A 3+A 4）=1-P （A 3）-P （A 4） =1-122-121=129=4

3.

（2）A 1+A 2+A 3的对立事件为A 4. P （A 1+A 2+A 3）=1-P （A 4）=1-121=12

11.

一、选择题

1.已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是

（ ）

A .合格产品少于9件

B .合格产品多于9件

C .合格产品正好是9件

D .合格产品可能是9件

答案

D

2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是

（ ）

A .至多有1次中靶

B .2次都中靶

C .2次都不中靶

D .只有1次中靶

答案

C

3.甲:A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么

（ ）.

A .甲是乙的充分条件但不是必要条件

B .甲是乙的必要条件但不是充分条件

C .甲是乙的充要条件

D .甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

答案

B

4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）

A .216

5

B .

216

25

C .

216

31

D .

216

91

答案 D

5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是

（ ）

A .0.8

B .0.2

C .0.5

D .0.3

答案

B

6.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为 （ ） A .0.20 B .0.60 C .0.80 D .0.12

答案

C

二、填空题

7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为7

3

，乙夺得冠军的概率为41

，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 答案

28

19 8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 . 答案 50% 三、解答题

9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）不够7环的概率.

解 （1）设“射中10环”为事件A ，“射中9环”为事件B ，由于A ，B 互斥，则 P （A +B ）=P （A ）+P （B ）=0.21+0.23=0.44. （2）设“少于7环”为事件C ，则

P （C ）=1-P （C ）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03. 10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：

医生 人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率

0.1

0.16

0.3

0.2

0.2

0.04

求：（1）派出医生至多2人的概率； （2）派出医生至少2人的概率. 解 记事件A ：“不派出医生”， 事件B ：“派出1名医生”， 事件C ：“派出2名医生”， 事件D ：“派出3名医生”， 事件E ：“派出4名医生”， 事件F ：“派出不少于5名医生”. ∵事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥， 且P （A ）=0.1，P （B ）=0.16，P （C ）=0.3， P （D ）=0.2，P （E ）=0.2，P （F ）=0.04. （1）“派出医生至多2人”的概率为 P （A +B +C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ） =0.1+0.16+0.3=0.56.

（2）“派出医生至少2人”的概率为 P （C +D +E +F ）=P （C ）+P （D ）+P （E ）+P （F ） =0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. 或1-P （A +B ）=1-0.1-0.16=0.74.

11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A 表示“朝上一面的数是

奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P （A +B ）.

解 方法一 因为A +B 的意义是事件A 发生或事件B 发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时，A +B 就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P （A +B ）=64=3

2

. 方法二 记事件C 为“朝上一面的数为2”，则A +B =A +C ，且A 与C 互斥. 又因为P （C ）=

61，P （A ）=21，所以P （A +B ）=P （A +C ）=P （A ）+P （C ）=21+61=3

2. 方法三 记事件D 为“朝上一面的数为4或6”，则事件D 发生时，事件A 和事件B 都不发生，即事件A +B 不发生.又事件A +B 发生即事件A 发生或事件B 发生时，事件D 不发生，所以事件A +B 与事件D 为对立事件. 因为P （D ）=

62=3

1，

所以P （A +B ）=1-P （D ）=1-

31=3

2. 12.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为4

1

，得到黑球或黄球的概率是

125，得到黄球或绿球的概率是2

1

，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ 解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到

?????????=+=

+=+++21)()(125)()(1)()()(41D P C P C P B P D P C P B P 解得???

??

?

???

===31)(61)(41)(D P C P B P . ∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是

41，61，3

1

.