《数值分析》习题解答1东南大学
习题1
1． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
（1）*
1x ＝451.023， 1x ＝451.01；
（2）*
2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18；
（3）*
3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4；
（4）*4x
＝
3
1
， 4x ＝0.333 3； （5）*
5x ＝23.496， 5x ＝23.494； （6）*
6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510； （7）*
7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-； （8）*
8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。
解：(1) =*
1x 451.023 =1x 451.01
=-1*1
x x 0.0131102
1
-?≤，1x 具有4位有效数字。→1x 451.0
(2) -=*
2x 0.045 113 -=2x 0.045 18
=-
1x x 0.045 18045113.0-=0.000 06731021-?<
2x 具有2位有效数字，045.02-→x
(3)=*
3x 23.4213 =3x 23.4604
=-3*3
x x =-4604.234213.23=-4213.234604.231102
1
0391.0-?≤
3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5)
(4) =
*
4x 3
1
，=4x 0.3333
=-4*4x x 4102
1
000033.0-?< ,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333
(5) =*
5
x 23.496，=5x 23.494 =-5*
5x x =-494.23496.232102
1002.0-?<
5x 具有4位有效数字， →5x 23.50 (不能写为23.49)
(6) =*
6
x 51096?71096.0?= =6x 5101.96?710961.0?= =-6*
6x x 710001.0-?7210102
1--??≤
6x 具有2位有效数字，57610961096.0?=?=x
(7) =*
7
x 0.00096 371096.0-?=x 3*71096.0-?=x =-7*
7x x 0 7x 精确 (8) 8700*
8
-=x 8x 3.8700-= 8*
8
x x -0102
1
3.0?≤= 8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确
2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83;
(2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么？ 解：(1) 1x =0.1062，2x =0.947，1x +2x =1.0532
)(1x e 4
1021-?≤，)(2x e 3102
1-?≤
)()()(2121x e x e x x e +≈+≤
+≤)()(21x e x e 34102
1
1021--?+? =0.00055
*2*1x x +∈[1.053200055.0-，1.0532+0.00055]=[1.05265，1.05375]
(2) 1x =23.46， -=2x 12.753 =-21x x 10.707
)(1x e 2
1021-?≤，)
(2x e 3102
1-?≤ )()()(2121x e x e x x e -≈-≤)()(21x e x e +
32
102
11021--?+?≤=0.0055 ∈-*
2*1x x [10.7070055.0-, 10.707+0.0055]=[10.7015,10.7125]
(3) =1x 2.747 =2x 6.83 =21x x 18.76201,
≤)(1x e 3
1021-?, )(2x e 2102
1-?≤
)()()()()(2112211221x e x x e x x e x x e x x x e +≤+≈
??=??+??≤---223102
1
1021747.2102183.6(0.683+2.747)=0.01715
]77916.18,74486.18[]01715.076201.18,01715.076201.18[*
2*1=+-∈x x
(4) =1x 1.473 , =2x 0.064 , =21x x 23.015625
)(1x e 31021-?≤, )(2x e 31021-?≤ )()(1)(22211221x e x x x e x x x
e -≈ =+≤
)()(1)(22211221x e x x x e x x x e 3
231021064
.0473.11021064.01--??+?? =0.187622
∈*2
*
1
x x [23.015625187622.0-, 23.015625+0.187622]
=[22.828003 , 23.203247]
3.对一元2次方程01402=+-x x ，如果≈39919.975具有5位有效数字，求其具有5位有效数字的根。
解：01402=+-x x
399400402=+-x x
=*1x 39920+ , =*2x 399
20139920+=
-
记 =*x 399 ,=x 19.975 )(x e 3102
1
-?≤
=1x 20x +=20+19.975=39.975 )()(21x e x e =3102
1
-?≤
∴
1x 具有5位有效数字。
=2x 025*******.0975.391
975.19201201==+=+x
-
≈)(2x e 2
)
20()(x x e + ，
≤+≈22)20()()(x x e x e 6623102110313.0975.391021---?
121x x 025*******.0975
.391
= 21
12)
()(x x e x e -≈ 2
62112975.391021)()(-?≤≈x x e x e 4.若937.01≈x 具有3位有效数字，问1x 的相对误差限是多？设
x x f -=1)(，求)(1x f 的绝对误差限和相对误差限。
解：=1x 0.937 )(1x e 3102
1
-?≤
≤=111)()(x x e x e r 33
10534.0937
.0102
1
--?=?
x x f -=1)( ,x
x f --=
'121
)(
='≈)()()(x e x f f e 21-
)(11x e x
-? , ≈
))((1x f e 21)(1111x e x -?3310996.0102
1937.01121--?=??-?≤ -≈=f
f e f e r )()()(11
21x e x -?
， ≈
))((1x f e r 21≤-?)(1111x e x 3102
1937.01121-??-? =31097.300397.0-?= 5.取
42.101.2≈，41.100.2≈试按00.201.2-=A 和
)00.201.2(01.0+=A 两种算法求A 的值，并分别求出两种算法所得A 的近似值的绝对误差限和相对误差限，问两种结果各至少具有几位有效
数字？
解：1) 记 =*1x 01.2 ，=1x 1.42 ，*2x =00.2 ，=2x 1.41
则 ≤
)(1x e 21021-? ，)(2x e 2102
1
-?≤ *A 01.041.142.100.201.2=-≈-= 1A 01.041.142.1=-=
)()()()(21211x e x e x x e A e -≈-=
)()()()()(21211x e x e x e x e A e +≤-≈22210102
1
1021---=?+?=
≤
=1
11)()(A A e A e r 101.0102
=- 不能肯定所得结果具有一位有效数字。 2 ) *A =)00.201.2(01.0+， =2A 00353356.083.201.0)41.142.1(01.0==+ )()
(101.0))
(01
.0()(212
21212x x e x x x x e A e ++?
-=+=
)10211021()
41.142.1(1
01.0)(2
222--?+??+?
≤A e 44
102
1
10
12486.0--?
∴ 具有2位有效数字。
≤
=2
22)()(A A e A e r 24
103533547.000353356.01012486.0--?=? 3) 2*121*A A A A A A -+-=- 2*121*A A A A A A ---≥-
24102
1
006.0102101.000353356.0--?>=?--=
∴ 1A 无有效位数。
6.计算球的体积所产生的相对误差为1%。若根据所得体积的值推算球的半径，问相对误差为多少？
解： π3
4
=V 3R ,π4=dV dR R 2
323
44R dR R V dV ππ==3R dR
)(3
1
)(V e R e r r ≈
由 )(V e r =210- 知 2103
1
)(-?≤R e r
7.有一圆柱，高为25.00 cm ，半径为20.00±0.05 cm 。试求按所给数据计算这个圆柱的体积和圆柱的侧面积所产生的相对误差限。 解：1) h R R V 2)(π=
)(2)(2)()()(2R e R e h
R R
hR R e V R R V V e r r r r =?=?
'≈ππ ≤≈)(2)(R e V e r r 005.02001
2005.02==?
2) π2)(=R S Rh
)()(22)()()(R e R e Rh R h R e S R R S S e r r r r =?=?
'≈ππ )()(R e S e r r ≈0025.020
05
.0=≤
答 计算体积的相对误差限为0.005，计算侧面积的相对误差限为0.0025 9.试改变下列表达式，使计算结果比较精确：
(1) 2
1
cos 1cos 1??
? ??+-x x , 当1< (2) x x -+1, 当1>>x 时； (3) x x x +--+11211, 当1< x x sin cos 1-, 当1< 解 : (1) 22cos 22sin 2cos 1cos 12 1222 1 x tg x x x x =????? ? ??=? ? ? ??+- (2) x x x x ++= -+11 1 (3) )1)(21() 21()1()1)(21()21)(1()1(112112x x x x x x x x x x x x x ++-+-+=+++--+=+--+ =) 1)(21(22x x x ++ (4) 22 cos 2sin 22 sin 2sin cos 12 x tg x x x x x ==- 10.若1个计算机的字长3=n ，基数10=β，阶码22≤≤-p ，问这台计算机能精确表示几个实数。 解：3=n , 0=β, 2-=L , 2=U 所能精确表示的实数个数为 9001)122(10921)1()1(2121=++???+=+--+-L U n ββ 11.给定规格化的浮点数系F:2=β，3=n ,1-=L ,1=U ,求F 中规格化的浮点数的个数，并把所有的浮点数在数轴上表示出来。 解：2=β, 4=n , 1-=L , 1=U 所有规格化浮点数个数为 49)111(2121)1()1(2131=++???+=+--+-L U n ββ 机器零 0 p=1 121000.0?±, 121001.0?±, 121010.0?±, 121011.0?± 121100.0?±, 121101.0?±, 121110.0?±, 121111.0?± p=0 021000.0?±, 021001.0?±, 021010.0?±, 021011.0?± 021100.0?±, 021101.0?±, 021110.0?±, 021111.0?± p=1- 121000.0-?±, 121001.0-?±, 121010.0-?±, 121011.0-?± 121100.0-?±, 121101.0-?±, 121110.0-?±, 121111.0-?± 12.设有1计算机：3=n ，2==-U L ,10=β,试求下列各数的机器近似值（计算机舍入装置）： (1) 41.92; (2) 328.7 (3) 0.0483 (4) 0.918; (5)0.007 845; (6)98 740; (7) 1.82310?; (8) 4.71610-?; (9)6.644 52110?; (10) 3.8791010-?; (11) 3.19610010-?; (12) 13.6549910? 。 解：3=n , 2-=L , 2=U , 10=β (1) 41.92 (2) 328.7 (3) 0.0483 (4) 0.918 (5) 0.007845 (6) 98740 (7) 1.82310? (8) 4.71610-? (9) 6.64452110? (10) 3.8791010-? (11) 3.19610010-? (12) 13.6549910? 210419.0)92.41(?=fl )7.328(fl 溢出 110483.0)0483.0(-?=fl 010918.0)918.0(?=fl 210785.0)007845.0(-?=fl )98740(fl 溢出 )1082.1(3?fl 溢出 )1071.4(6-?fl 溢出 )106445.6(21?fl 溢出 )10879.3(10-?fl 溢出 )10196.3(100-?fl 溢出 )10654.13(99?fl 溢出 13.考虑数列1，31，91，271 ，81 1， 。设10=p ，则用递推公式 13 1 -=n n p p (n =2，3， ) 可以生成上述序列。试考察计算n p 的算法的稳定性。 解：13 1 -= n n p p , ,3,2,1=n 。若0p 有误差，则实际按如下递推 1~ ~ 3 1-=n p p n 1~1~ 3131---=-n n n p p p n p =)(3 1 1~1---n n p p 记 ~ n n n p p e -=, 则有 013 1 31e e e n n n ===- 03 1e e n n = 13 1 -=n n e e ,误差逐步缩小，数值稳定 14.考虑数列1，31，91，271，811， 。设10=p ，3 1 1=p ，则用递推公式 213 10 ---=n n n p p p (n =2，3， ) 可以生成上述序列。试问计算的上述公式是稳定的吗？ 解：213 10 ---= n n n p p p , ,3,2=n 。若0p 和1p 有误差，则实际按如下 递推： ,3 102~1~ ~ ---=n n n p p p ,3,2=n 。 记 ~ n n n p p e -= ,则有 213 10 ---= n n n e e e ， ,3,2=n )3 1 (3)31(333101121211e e e e e e e e n n n n n n n -=-=-=------- (A) )3(31 )3(3131301121211e e e e e e e e n n n n n n n -=-=-=------- (B) 9(A)-(B) 得 ?? ? ???---=-+)3(31)31(381011011e e e e e n n n 只需 03 1 01≠-e e , 则 ∞=∞ →n n e lim 因而递推过程不稳定 18.已知47311230125)(2 3 5 -+-+=x x x x x p ，用秦九韶法求)5(p 。 解： 125 0 230 11- 3 47- 5 625 3125 16775 83820 419115 125 625 3355 16764 83823 419068 419068)5(=p 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 4、工程项目管理组织 项目组织是实现有效的项目管理的前提和保障。项目组织管理是项目管理的首要职能，其他各项管理职能都要依托组织机构去执行，管理的效果以组织为保障。 工程项目组织主要是指项目管理的组织结构模式和组织分工，以及工作流程组织。 组织结构模式反映了一个组织系统中各子系统之间或各元素（工作部门或管理人员）之间的指令关系；（静态） 组织分工反映了一个组织系统中各子系统、各元素的工作任务分工和管理职能分工（静）工作组织流程则反映一个组织系统中各项工作之间的逻辑关系（动态） 1、简述组织设计的主要内容 组织结构是指组织内部各构成部分和各部分间所确立的较为稳定的相互关系和联系方式。 组织结构的主要作用有： （1）组织结构是一切协调活动的前提和基础。 （2）组织结构确定了正式关系与职责的形式，形成了组织的责任体系。 （3）组织结构确定了一定的权力系统。 （4）组织结构形成信息沟通体系。 项目组织结构设计的程序： 1、确定项目管理目标 2、确定工作内容 3、选择组织结构形式、确定岗位职责、职权 4、设计组织运行的工作程序和信息沟通的方式 5、人员配备 2、简述项目组织结构的构成要素和设计原则 组织结构的构成因素： （1）合理的管理层次：管理层次是指从最高管理者到最底层操作者的等级层次的数量，合理的层次结构是形成合力的去啊你结构的基础，也是合理分工的重要方面。 （2）合理的管理跨度：是指一个上级管理者能够直接管理的下属的人数。管理跨度与管理层次相互联系、相互制约，两者成反比例关系，即管理跨度越大，管理层次越少。确定管理跨度的最基本原则是最终是管理人员能有效地领导、协调其下属的活动。 （3）部门的划分：把性质相似或具有密切关系的具体工作合并归类，并建立负 东南大学土木工程专业毕业要求及指标点分解 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 东南大学土木工程专业毕业要求及指标点分解 《土力学与工程地质》课程大纲 “土力学与工程地质”是土木工程类专业的大类学科基础课程，是一门研究土体的物理、力学性质、研究人类工程活动与地质环境之间相互关系的学科，最低学时要求56。 本课程的基本任务是使学生了解土体的成因和分类方法；熟悉土体的基本物理力学性质；掌握地基沉降、土压力和土坡稳定、地基承载力等与土木工程密切相关的问题的分析方法；掌握一般土工实验方法；了解工程建设中经常遇到的工程地质现象和问题，以及对工程设计、工程施工和工程运营的影响，并能正确合理地利用自然地质条件，了解工程地质勘察的要求和方法，能够正确布置勘察任务、合理利用勘察成果解决设计和施工问题。达到能应用土力学基本原理和方法解决实际工程中 稳定、变形和渗流等问题的目的。为《基础工程》、《地基处理》等后续课程的学习打好基础。 二本课程所支撑的毕业要求 1 本课程内容与毕业要求指标点的对应关系 （1）通过对岩土类材料成因及其物理、力学、水理性质；岩体与土的工程分类原则及其工程特性；工程地质作用及物理地质作用；岩土体的取样及原位测试手段等知识的学习，从而为解决土木工程领域涉及地基基础、边坡、抗震等复杂工程问题提供工程基础和专业知识储备，以达到毕业要求指标点指标点1.3的要求。 （2）通过对土的颗粒级配及其三相比例指标的换算；土中应力计算、地基沉降计算，了解地基沉降与时间的关系；作用于挡土墙上的土压力计算；边坡稳定性分析方法；地基承载力的确定方法等知识的学习，从而达到能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，通过文献研究，分析土木工程领域的复杂工程问题，以获得有效结论，以达到毕业要求指标点3.1的要求。 （3）通过对土的物理力学性质指标的测定及其换算；土的渗透系数的测定及渗流计算；土的压缩性指标的确定方法；土的抗剪强度指标测定方法及选用原则；地基承载力的试验确定方法；各种原位测试技术等知识的学习，从而达到能够基于科学原理并采用科学方法针对复杂工程问题进行实验装置的设计或选用，开展实验工作，采集实验数据并对实验数据和实验现象进行整理和分析，并通过信息综合得到合理有效的结论，以达到毕业要求指标点4.1和4.2的要求。 （4）通过对人类工程活动与自然环境之间的相互制约及影响关系；地下水对人类工程活动的影响；各种物理地质作用产生的原因、影响因素，以及各种物理地质作用对工程不利影响的防治原则等知识的学习，达到能够理解和评价针对土木工程项目前期阶段的复杂工程问题对环境、社会可持续发展的影响，以达到毕业要求指标点7.1的要求。 三教学基本内容 土力学 第一章绪论（2学时）（支撑毕业要求指标点1.3、7.1） 1 本章基本要求 第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 中国最好的10所土木工程系: 1.清华大学 2.同济大学 3.天津大学4.东南大学 5.浙江大学 6.哈尔滨工业大学（哈尔滨建筑工程大学并入）7.华南理工大学8.湖南大学9.重庆大学（重庆建筑大学并入）10.西安建筑工程大学英国建筑师协会承认上述十所大学的土木工程系本科毕业文凭,这些十所大学的土木工程系毕业生可在英国申请工程师职称。 1. 清华大学学校名气就不用说了。今年清华土木系的招生可能又是令人失望。2001年我知道土木系的结构工程和防震减灾工程的录取最低分只有310分。2002年的情况呢？据现在的情况来看估计录取分大约335左右。专业课没有同济的相关专业难。有北京钢铁学院、北方交大、石家庄铁道学院等等学校报，可能是名气大的缘故，很多牛的同学不敢报。建议有实力的同学不必观望，下定决心，上的机会极大，考上后留学机会多多，前途大好。 2. 同济大学专业名气好，学校名气不是很强。处于上海，全国顶尖高手报名的热点，特别是结构工程，报名人数极多，危险系数大。专业课出得为同类高校最难，总分却不低于他们，特别是同济的结构力学和钢结构、材料力学、混凝土难。复试为差额，淘汰多。建议没有绝对实力和足够复习时间和把握的同学慎报。很牛的同学例外。建议报者六级80以上，数学基础好，力学有天赋。总分380以上有机会公费（还要看复试表现）。机会多，前途大好。 3. 天津大学 4. 东南大学这两所学校也是建筑业一流的学府。名气很响。也是报名比较多的学校。专业课并不很难。名气与同济大学旗鼓相当。竟争较激烈。建议报者有一定的把握和实力。是报清华、同济大学没绝对把握的同学的最佳选择。考上后，机会多，前途大好。 5. 浙江大学 6. 哈尔滨工业大学这两所学校也是建筑业名气较好的学府。浙江大学好环境。他们是全国十大名校。学校名气好。竟争比较激烈。建议报者有一定的把握和实力。是土木同学的好选择。考上后，机会多，前途大好。 7.华南理工大学位置好，处于广州。学校名气不错，土木专业好。在广东一带好找工作，工资较高。有一定实力同学的好选择。公费多，自费好象3000元。考上后，机会多，前途好。8. 湖南大学专业可排前5，但位置相对不太好，报人相对少。9. 重庆大学10. 西安建筑工程大学不敢考名校的同学的选择。还有上海交通大学、西安交大、华中科大等名校难度不大。上海交通大学好象招不满。中国最好的建筑系: 1.清华大学2.天津大学 3.东南大学 4.同济大学这四所大学的建筑系被我国建筑称为"老四所",实力不相上下,为我国的建筑界培养了大批优秀的人才泥会惊诧故宫的宏伟、布达拉宫的雄壮、赵州桥的精致，你会为上海外滩的52 幢风格迥异的大厦而倾倒，也会为拥有10个“世界第一”的东方明珠广播电视塔而自豪。是的，建筑无处不在，建筑无奇不有。而要领略建筑的精髓，把握建筑学的真谛，就不得不探询土木工程专业。目前国内开设土木工程专业的高校很多，而英国建筑师协会承认的土木工程本科文凭的仅有10所，即清华大学、同济大学、天津大学、浙江大学、东南大学、哈尔滨建筑工程大学、西安建筑工程大学、重庆大学、华南理工大学、湖南大学。这10所大学的土木工程系毕业生才可在英国申请工程师职称。无疑，拥有这种身份的土木工程专业，不敢说是真的“全国十强”，但起码也是榜上有名了。即使这样，各个高校土木工程专业的倾向还是有所不同，在此点评一二，与大家共同管窥一斑。清华大学武林盟主君临天下清华在当今武林的地位，相信不用在下多说，大家都很清楚。除了这几年在江湖声名鹊起的后生华中理工大学偶尔在喝多酒后不满意“小华工”的称呼欲改清华为“小清华”而外，其他的如西安交通大学、南京大学、浙江大学等武林巨擎等都很 知趣地只去争“武林第二”位置。一举一动都倍引起武林注目的“武林盟主”下设的得意机 ) 2(选择题(5)选择题(7)选择题单元一 质点运动学（一） 一、选择题 1. 下列两句话是否正确： (1) 质点作直线运动，位置矢量的方向一定不变； 【 ? 】 (2) 质点作园周运动位置矢量大小一定不变。 【 ? 】 2. 一物体在1秒内沿半径R=1m 的圆周上从A 点运动到B 点，如图 所示，则物体的平均速度是： 【 A 】 (A) 大小为2m/s ，方向由A 指向B ； (B) 大小为2m/s ，方向由B 指向A ； (C) 大小为3.14m/s ，方向为A 点切线方向； (D) 大小为3.14m/s ，方向为B 点切线方向。 3. 某 质 点 的 运 动 方 程 为 x=3t-5t 3+6(SI) ，则该质点作 【 D 】 (A) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴负方向; (C) 变加速直线运动，加速度沿X 轴正方向; (D)变加速直线运动，加速度沿X 轴负方向 4. 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2 m/s ，瞬时加速率a=2 m/s 2则一秒钟后质点的速度: 【 D 】 (A) 等于零 (B) 等于-2m/s (C) 等于2m/s (D) 不能确定。 5. 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处 的定滑轮拉湖中的船向边运动。设该人以匀速度V 0 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 【 C 】 (A)匀加速运动; (B) 匀减速运动; (C) 变加速运动; (D) 变减速运动; (E) 匀速直线运动。 6. 一质点沿x 轴作直线运动，其v-t 曲线如图所示， 如t=0时， 质点位于坐标原点，则t=4.5s 时，质点在x 轴上的位置为 【 C 】 (A) 0； (B) 5m ； (C) 2m ； (D) -2m ； (E) -5m *7. 某物体的运动规律为 t kv dt dv 2-=， 式中的k 为大于零的常 数。当t=0时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数 关系是 【 C 】 数值分析典型习题 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 作业1 质点运动学力 1-1 有一物体做直线运动，它的运动方程式为x = 6t2 -2t3，x单位为米，t单位为秒．则 ⑴第2秒内的平均速度为4m/s； ⑵第3秒末的速度为-18m/s； ⑶第1秒末的加速度为0m/s2； ⑷这物体所做运动的类型为加速度减小的加速直线运动． 原题1-1 1-2 一质点在xOy平面内运动，其运动方程为以下五种可能： ⑴x=t，y = 19 -2/t；⑵x = 2t，y = 19 - 3t；⑶x = 3t，y = 17- 4t2； ⑷x = 4sin5t，y = 4cos5t；⑸x = 5cos6t，y = 6sin6t， 那么表示质点作直线运动的方程是⑵，作圆周运动的方程是⑷，作椭圆运动的方程是⑸，作抛物线运动的方程是⑶，作双曲线运动的方程是⑴．原题1-2 1-3 质点在xOy平面内运动，其运动方程为：x = 10-2t2，y = 2t，⑴计算什么时刻，其速度与位矢正好垂直？⑵什么时刻，加速度与速度间夹角为 45？ 原题1-4 1-4 两辆车A、B在同一公路上作直线运动，方程分别为x A = 4t + t2，x B = 2t2 + 2t3,若同时发车，则刚离开出发点（t = 0）时，哪辆车行驶的速度快？出发后什么时刻两车行驶距离相等，什么时候B车相对A车速度为零？ 原题1-5 1-5在与速率成正比的阻力影响下，一个质点具有加速度a =-0.2υ，求需多长时间才能使质点的速率减小到原来速率的一半． 原题1-7 υ（式中的c为常数，1-6半径为R作圆周运动的质点，速率与时间的关系为2 = ct t以秒计），求：⑴t = 0到t时刻质点走过的路程．⑵t时刻质点加速度的大小．原题1-8 第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。 样题 一、填空题 1 《建筑地基基础设计规范》（GB50007－2002）根据地基复杂程度、建筑物规模和功能特征以及由于地基问题可能造成建筑物破坏或影响正常使用的程度，将地基基础设计分为甲级、 乙级和丙级。 2 按地基承载力确定基础底面积及埋深时，传至基础或承台底面上的荷载效应应按正常使用极限状态下荷载效应的标准组合，相应的抗力采用地基承载力特征值。 3 一般砌体承重结构房屋的长高比不太大，变形特征以局部倾斜为主，应以该变形特征作为地基的主要变形特征。 4 当考虑上部结构、基础和地基的共同工作时，三者不但要满足 静力平衡条件，还应满足变形协调条件。 5 文克尔地基上梁按l 可划分为短梁、有限长梁（或有限刚度梁）和长梁（柔性梁）。 6 目前较为常用的三种线性地基模型为弹性半空间模型、文克 尔地基模型 和 有限压缩层地基模型 。 7 桩基础一般由 桩 和 承台 两部分组成。 8 按施工方法不同，桩可分为 预制桩 和 灌注桩 两大类。 9 垫层设计内容包括垫层材料的选择、 垫层宽度确定 、 垫层厚度 和 软弱下卧层验算 。 10 按垫层在地基中的作用可分为 换土垫层 、 排水垫层 和 加筋土垫层 。 11 挡土墙按结构类型可分为 重力式 、 悬臂式 、 扶壁式 和板桩式。 二、选择题 1、有一基础，上部结构和基础自重传至基底的压力p ＝70kPa ，若地 基的天然重度3 18kN/m γ=，饱和重度3sat 19.8kN /m γ=，地下水位 在地表下0.8m 处，当基础埋置在 A 深度时，基底附加压力正好为零。 A 、d ＝6.47m B 、d ＝7.67m 大学物理简明教程（上册）习题选解 第1章 质点运动学 1-1 一质点在平面上运动，其坐标由下式给出)m 0.40.3(2 t t x -=，m )0.6(3 2 t t y +-=。求：（1）在s 0.3=t 时质点的位置矢量； （2）从0=t 到s 0.3=t 时质点的位移；（3）前3s 内质点的平均速度；（4）在s 0.3=t 时质点的瞬时速度； （5）前3s 内质点的平均加速度；（6）在s 0.3=t 时质点的瞬时加速度。 解：（1）m )0.6()0.40.3(322j i r t t t t +-+-= 将s 0.3=t 代入，即可得到 )m (273j i r +-= （2）03r r r -=?，代入数据即可。 （3）注意：0 30 3--=r r v =)m/s 99(j i +- （4）dt d r =v =)m/s 921(j i +-。 （5）注意：0 30 3--=v v a =2)m/s 38(j i +- （6）dt d v a ==2)m/s 68(j -i -，代入数据而得。 1-2 某物体的速度为)25125(0j i +=v m/s ，3.0s 以后它的速度为)5100(j 7-i =v m/s 。 在这段时间内它的平均加速度是多少？ 解：0 30 3--= v v a =2)m/s 3.3333.8(j i +- 1-3 质点的运动方程为) 4(2k j i r t t ++=m 。（1）写出其速度作为时间的函数；（2）加速度作为时间的函数； （3）质点的轨道参数方程。 解：（1）dt d r =v =)m/s 8(k j +t （2）dt d v a = =2m/s 8j ； （3）1=x ；2 4z y =。 1-4 质点的运动方程为t x 2=，22t y -=（所有物理量均采用国际单位制）。求：（1）质点的运动轨迹；（2）从0=t 到2=t s 时间间隔内质点的位移r ?及位矢的径向增量。 解：（1）由t x 2=，得2 x t = ，代入22t y -=，得质点的运动轨道方程为 225.00.2x y -=； （2）位移 02r r r -=?=)m (4j i - 位矢的径向增量 02r r r -=?=2.47m 。 （3）删除。 1-6 一质点做平面运动，已知其运动学方程为t πcos 3=x ，t πsin =y 。试求： （1）运动方程的矢量表示式；（2）运动轨道方程；（3）质点的速度与加速度。 解：（1）j i r t t πsin πcos 3+=； （2）19 2 =+y x （3）j i t t πcos πsin 3π+-=v ； )πsin πcos 3(π2j i t t a +-= *1-6 质点A 以恒 定的速率m/s 0.3=v 沿 直线m 0.30=y 朝x +方 向运动。在质点A 通过y 轴的瞬间，质点B 以恒 定的加速度从坐标原点 出发，已知加速度2m/s 400.a =，其初速度为零。试求：欲使这两个质点相遇，a 与y 轴的夹角θ应为多大？ 解：提示：两质点相遇时有，B A x x =，B A y y =。因此只要求出质点A 、B 的运动学方程即可。或根据 222)2 1 (at y =+2(vt)可解得： 60=θ。 1-77 质点做半径为R 的圆周运动，运动方程为 2021 bt t s -=v ，其中，s 为弧长，0v 为初速度，b 为正 的常数。求：（1）任意时刻质点的法向加速度、切向加速度和总加速度；（2）当t 为何值时，质点的总加速度在数值上等于b ？这时质点已沿圆周运行了多少圈？ 题1-6图 数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0(数值分析典型习题
东南大学 工程项目管理 陆惠民 第四章 工程项目管理组织(课后习题答案)
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