高考含绝对值不等式的解法
高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法
类型一:形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式
解法:根据a 的符号,准确的去掉绝对值符号,再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.
1、当0>a 时,
a x f a a x f <<-?<)()(
a x f a x f >?>)()(或a x f -<)(
2、当0=a
a x f <)(,无解
?>a x f )(使0)(≠x f 的解集
3、当0 a x f <)(,无解 ?>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 (2008年四川高考文科卷)不等式22<-x x 的解集为( ) A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解: 因为 22<-x x , 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x , 解得: ? ??<<-∈21x R x , 所以 )2,1(-∈x ,故选A. 类型二:形如)0()(>>< 解法:将原不等式转化为以下不等式进行求解: b x f a a b b x f a <>><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是,该类型的不等式容易错解为: b x f a a b b x f a <>><<)()0()( 例2 (2004年高考全国卷)不等式311<+ A .)2,0( B.)4,2()0,2( - C .)0,4(- D.)2,0()2,4( -- 解: 311311<+<+ 20<型不等式,这类不等式如果用分类讨论的方法求解,显得比较繁琐,其简洁解法如下 解法:把)(x g 看成一个大于零的常数a 进行求解,即: )()()()()(x g x f x g x g x f <<-?<, )()()()(x g x f x g x f >?>或)()(x g x f -< 例3 (2007年广东高考卷)设函数312)(++-=x x x f ,若5)(≤x f ,则x 的取值范围是 解: 53125)(≤++-?≤x x x f 2122212+-≤-≤-?+-≤-?x x x x x ???+-≤--≥-?2 12212x x x x 111 1≤≤-????≤-≥?x x x ,故填:[]1,1-. 类型四:形如)()(x g x f <型不等式 解法:可以利用两边平方,通过移项,使其转化为:“两式和”与“两式差”的积的方法进行,即: 22 )()()()(x g x f x g x f < 0)]()()][()([0)]([)]([22<-+?<-?x g x f x g x f x g x f 例4 (2009年山东高考理科卷)不等式0212<---x x 的解集为 解: 2120212-<-?<---x x x x 0)2()12(212222 2<---?-<-?x x x x 0)]2()12)][(2()12[(<----+-?x x x x 11<<-?x 所以原不等式的解集为{}11<<-x x 类型五:形如)()(),()(x f x f x f x f ><型不等式 解法:先利用绝对值的定义进行判断,再进一步求解,即: )()(x f x f <,无解 0)()()(>x f x f x f 例5 (2004年海南卷)解关于x 的不等式 a x x a x x +-->+--1111 解: 011 1111<+--?+-->+--a x x a x x a x x a x a x -<-?<+-?1 1011 (1) 当0=a 时,原不等式等价于: 101 1<-x x (2) 当0>a 时,原不等式等价于: 111011<<-?<-<-x a x a (3) 当0 01<-x 或a x 11->- 1 x 11- > 综上所述 (1) 当0=a 时,原不等式的解集为: {}1 (2) 当0>a 时,原不等式的解集为: ? ?????<<-111x a x (3) 当0 ????