(11))
1
!
+∞
?=
∫
n n ax a
n dx x e (0,>=a n 正整数) (12)
a
dx e ax π
210
2
=
∫∞
? (13) 1
21022!)!12(2
++∞
??=
∫
n n ax n a
n dx e x π
(14)
1
122!
2
+∞
?+=
∫
n ax n a
n dx e x (15)
2sin 0
2
2a
dx x
ax π∫
∞
= (16)
∫
∞
?+=
2
22)(2sin b a ab
bxdx xe ax (0>a )
∫
∞
?+?=0
2
22
2
2)(cos b a b a bxdx xe
ax
(0>a )
第一章
量子力学的诞生
1.1设质量为m 的粒子在谐振子势222
1
)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,
,2,1,
x V E m p n nh x d p ?===?∫
)(x V
解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：222
1
)(a m x V E a x ω===。 a ? 0 a x 由此得 2/2ωm E a =
， （2）
a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件
h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a
a
a
a
==?=?=?=?∫∫
∫+?+?222222222)21(22πωπ
ωωω
得ω
ωπm n
m nh a 22
=
=
（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,
==n n E n ω （4）
积分公式：
c a
u a u a u du u a ++?=?∫
arcsin 2222
22
2
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有
()∫==? ,3,2,1,
x
x x
n h n dx p
即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期）
a h n p x x 2/=∴,
同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
,3,2,1,,=z y x n n n
粒子能量
++=++=222222222
222)(21c n b n a n m
p p p m E z
y x z y x n n n z
y x π ,3,2,1,,=z y x n n n
1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用
,,2,1,20
==∫
n nh d p π
?? ?p 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2
?
=。 解：平面转子的转角（角位移）记为?。
它的角动量.
??I p =（广义动量），?p 是运动惯量。按量子化条件
,3,2,1,220
===∫
m mh p dx p ?π
?π
mh p =∴
?，
因而平面转子的能量
I m I p E m 2/2/222
==?
， ,3,2,1=m
1.4有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单
位，洛伦兹与向心力平衡条件是:
r
mv c Bev 2
=
(1) 又利用量子化条件,令=p 电荷角动量 =q 转角?
nh mrv mrvd pdq ===∫∫
π?π
220
(2)
即 nh mrv = (3) 由(1)(2)求得电荷动能=
mc
n
Be mv 2212 =
再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能
=c B r ev c c *****2π=
=场强线圈面积电流场强磁矩,v 是电荷的旋转频率, r
v
v π2=,代入前式得
运动电荷的磁势能=
mc
n
Be 2 (符号是正的) 点电荷的总能量=动能+磁势能=E=
mc
n
Be 2 ( 3,2,1=n )
1.5，1.6未找到答案
1.7（1）试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律
α
α2
2
1
1
sin sin n n =
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理∫=0pdl δ 认为mv p =则∫=0pdl δ这将导得下述折
射定律
α
α1
3
3
1
sin sin n n =
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2c
Ev
p =仍就成立，E 是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E 仍不变，仍有∫=0pdl δ
，你怎样解决矛盾？
（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A 到定点B 的
路径是两段直线：光程
QB AQ I n n 21+=
设A ，B 到界面距离是a,b(都是常量)有
αα2211sec sec b a I n n +=
又AB 沿界面的投影c 也是常数，因而
α1
，α
2
存在约束条件：
c btg atg =+αα21 （2）
求(1)的变分,而将
α1
,α
2
看作能独立变化的,有以下极值条件
0sec sec 22221111=+=ααααααδd tg b tg a I n d n (3)
再求（2）的变分 0sec sec
2221
12
==+c d b a d δααα
α
(3)与(4)消去α
1
d
和α
2
d
得
α
α2
2
1
1
sin sin n n = (5)
[乙法]见同一图,取x 为变分参数,取0为原点，则有: )(222221
x c b x a I n n
?+++=
求此式变分,令之为零,有： 0)
()(2
22
2
21
=?+??
+=
x c b x
x c x
a x
x I n n δδδ
这个式子从图中几何关系得知,就是(5).
(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v 应等于光波的群速度
v
G
光程原理作0=∫dl v G
δ
,依前题相速
v
v
G
p
c 2
=
,而
cn c v
v
p
G
==
2
,n 是折射率,n 是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度v p ,这样最小作用
量原理仍可以化成最小光程原理.
∫=0ndl δ
前一非难是将光子的传播速度v 看作相速度
v
p
的误解.
1.8对高速运动的粒子(静质量m )的能量和动量由下式给出:
2
2
21c v mc E ?=
(1)
2
2
21c v mv p ?=
(2)
试根据哈密顿量 2242p c c m E H +=
= (3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.
(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:
p
q
i
i
H ?
?=
?
,本题中
v q
i
=?
,
p p
i
=,因而
2
2
4
2
22242p
c c m p c p c c m p
v +=
+??
= (4)
从前式解出p (用v 表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度v 和它的物质波的群速度
v
G
间的关系.运用德氏的假设: k p =于(3)式右方, 又用
ω =E 于(3)式左方,遍除h :
)(2
22
42k k c c m ωω=+=
按照波包理论，波包群速度
v
G
是角频率丢波数的一阶导数：
2
22
42k c c m k
v G +??= =
2
2
4
2
22
22
4
22p
c c m p c k c c m k
c +=
+
最后一式按照（4）式等于粒子速度v ，因而v v
G
=。
又按一般的波动理论，波的相速度
v
G
是由下式规定
k
v p ωυλ=
= （υ是频率）
利用（5）式得知
c c k
c m v
p
>+=
2
2
242 （6） 故相速度（物质波的）应当超过光速。 最后找出v
G
和
v
p
的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：
v G
c v c k p E 2
2=
== ω， v v G
p c 2= （7）
补充：
1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动，
<<><∞=a
x a
x x x V 0,0,0,)( 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2
=?
=n n a λ
n a /2=∴λ （1）
又据de Broglie 关系
λ/h p = （2）
而能量
()
,3,2,12422/2/2
2222
222
22==?===n ma n a m n h m m p E πλ （3）
[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能222
1
)(x m x V ω=
] (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:∫
=nh pdq
在量子化条件中,令?
=x m p 为振子动量,x q = 为振子坐标,设总能量E
则 2
22
22x m m P E ω+
= )2(222x m E m p ω?=
代入公式得:
nh dx x m E m =?∫
)2
(22
2ω
量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅OA 的四倍,要决定振幅a ,注意在A 或B 点动能为0,222
1
a m E ω=
,(1)改写为: nh dx x a m a
a
=?∫?222ω (2)
积分得:nh a m =πω2
遍乘
π
ω
21得 ωπ
ω n h E ==2
[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间t 而不用位移x ,按题意振动角频率为ω,直接写出位移x ,用t 的项表示:
t a x q ωsin ==
求微分:tdt a dx dq ωωcos == (4) 求积分:t ma x m p ωωcos ==?
(5) 将(4)(5)代量子化条件:
nh tdt ma pdq T
==∫∫
02
22cos ωω T 是振动周期,T=
ω
π
2,求出积分,得
nh a m =πω2 ωπ
ω
n n h E ==
2 3,2,1=n 正整数 #
[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为.,,c b a
(解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个
分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如
p
p
x
x
?
→),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条
件:
p
p n q p x
a
x x
x
x
a dx h d 220
===∫
∫ (1) p
p n q p
y
b
y y y y
b
dy h d 22
===∫
∫ (2)
p p n q p z
c
z z z
z
c dz h
d 22
===∫∫
(3)
p
p p z
y
x
,,都是常数,总动量平方222z y x p p p p ++=
总能量是:
)(21222
22z y x p p p m
m p E ++==
=
])2()2()2[(21222c
h b h a h m n n n z y
x ++ =])()()[(82222
c b a
m h n n n z y x ++ 但3,2,1,,=n n n z y x 正整数.
#
[3] 平面转子的转动惯量为Ι,求能量允许值.
(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角?）决定,它的运动是一种
刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量Ιω,但
?
=?ω是角速度,能量是22
1ωΙ=E
利用量子化条件,将p 理解成为角动量,q 理解成转角?,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有
nh d pdq =Ι=Ι=∫∫
ωπ?ωπ
220
(1)
(1) 说明ω是量子化的
(2) Ι
=
Ι=
n nh πω2 (3,2,1=n ……..) (2) (3) 代入能量公式,得能量量子化公式:Ι
=ΙΙ=Ι=2)(2212
222 n n E ω (3)
#
第二章：函数与波动方程
P69 当势能)(r V 改变一常量C 时,即c r V r V +→)()(
,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?
(解)设原来的薛定谔方程式是0)]([222
2=?+ψψx V E m
dx d
将方程式左边加减相等的量ψC 得: 0]})([]{[2222=+?++ψψC x V C E m
dx d
这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解)(x ψ, 从能量本征值来说,后者比前者增加了C 。
设粒子势能的极小值是V min 证明
>E n
V
min
(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量E
x d r V m E 32
2*
)](2[∫∫∫+??=υ
ψψ 其中动能平均值一定为正:
x d m
T 32
2*
)2(∫∫∫??=ψψ
=∫∫∫??????τψψψψd m
}][{2*
*2 =∫∫∫∫∫∫??+????τψψτψψd m
d m *2*22)(2 用高斯定理:τψψψψd m s d m T B ??+???=∫∫∫∫∫*2*22)(2 =∫∫∫???τ
τψψd m *22 中间一式的第一项是零,因为ψ假定满足平方可积条件,因而0>T 因此 V V T E >+=,能让能量平均值
V V min >因此V E min >
令ψ
ψn
=
(本征态)则E
n
E =
而
V
E n
min
>得证
2.1设一维自由粒子的初态()
/00,x ip e
x =ψ， 求()t x ,ψ。
解： () /2200,
?=t m p x p i e
t x ψ
2.2对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2
),(t x ψ。
（解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是p ，能量是E ，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数： p d e
p t x i E px i
p )()(21
),(?∞
?∞
=∫=
φπψ （1）
这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令0=t 应有 p d e
p x px i p
∫∞
?∞
==
)(21
)0,(φπψ （2）
但按题意，此式等于)(x δ。但我们知道一维δ函数一种表示是：
k d e x ikx k ∫
∞
?∞
==
π
δ21)( （3）
将（2）（3）二式比较：知道
p
k =
，并且求得
πφ21)(=p ，于是（1）成为
p d e t x i E px i
p )(21
),(?∞
?∞
=∫
=
πψ （4）
这是符合初条件的波函数，但E p ,之间尚有约束条件m
p E 22
=（因为是自由粒子，总能量等于动能），代入（4）
p d e t x p i m
p px i ∫
∞
?∞
=?=
)2(221
),( πψ （5）
将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果： p d e
e
t x p i mx p m it
t
imx ∫
∞
?∞
=??
=
)2
(222
21),(
πψ
利用积分
απξαξ=
∫
∞
∞
??d e 2
： t
i m e
t x t
imx π
πψ
221),(22= 写出共轭函数（前一式i 变号）
：
t
i m e
t x t
imx ?=
?
π
πψ
221),(22 t m
t m t x πππψ22)2(1),(2
2
=
×=
本题也可以用Fresnel 积分表示，为此可将（6）式积分改为：
dp t
mx p m t i dp t mx p m t 2
2)](2[sin )](2[
cos ???∫∫
∞∞?∞
∞
?
用课本公式得t
imx
e
t
m i t x t x 2*2
)1(21),(),(ππψψ=，两者相乘，可得相同的结果。
2.2 设一维自由粒子的初态()()x x δψ=0,，求()2
,t x ψ。
提示：利用积分公式
()
()
2sin cos 2
2πξξξξ==∫
∫+∞
∞
?+∞
∞?d d 或
[][]4exp exp 2
ππξξi d i =
∫+∞
∞
?。 解：作Fourier 变换： ()()∫+∞
∞
?=
dp e p x ipx ?πψ210,， ()()
πδπ?π?21
)(210,21
=
=
=∫∫+∞
∞
??+∞
∞
??dx e x dx e x p ipx ipx ， ()()()∫
+∞
∞
??=
∴
dp e p t x Et px i
/21,?πψ （m p E 2
=） ∫
∞+∞
?
??=
dp e
px t m
p i 22
21
π ∫+∞
∞? ??=
dp t mx p m it e t
imx
2
22exp 212
π 令 2
22
?=t mx p m t ξ，则
()
?=??=?=
?+∞
∞??∫42exp 2221221,24/22222
ππππξπψπξt mx i t m
e e t m d e t m e
t x i t imx i t
imx
()t
m
t x πψ2,2
=
。
2.3 设一维自由粒子初态为()0,x ψ，证明在足够长时间后()[]
? ??=
t mx t imx i t m t x ?πψ2exp 4exp ,2
式中 ()()∫
+∞
∞
??=
dx e x k ikx
0,21ψπ
?是()0,x ψ的Fourier 变换。提示：利用 ()x e e x
i i δπ
ααπα=?∞
→2
4/lim 。 证：根据平面波的时间变化规律
()t kx i ikx e e ω?→ ， m k E 22 ==ω，
任意时刻的波函数为
()()()dk e k t x m k kx i 2/t 2
21, ?+∞
∞
?∫
=
?π
ψ
()
???=
∫∞+∞?2
2/2exp 212t mx k m t i k dk e t imx ?π （1） 当时间足够长后（所谓∞→t ） ，上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取
m t 2 =α ，
?
=t mx k u ， （2） 参照本题的解题提示，即得
()()∫+∞
∞
??
??≈
k d t mx k k e t m e t x i t imx δ?ππψπ4/2221,2
=
?t mx e
e t m t imx i ?π2/4/2 （3） ()2
2
,
≈
t mx t m t x ?ψ （4） 物理意义：在足够长时间后，各不同k 值的分波已经互相分离，波群在x 处的主要成分为t mx k =，即
m kt x =，强度()2
k ?∝，因子t m 描述整个波包的扩散，波包强度t 12
∝ψ
。
设整个波包中最强的动量成分为0k ，即0k k =时()2
k ?最大，由（4）式可见，当t 足够大以后，2
?的最大值出现在0k t mx = 处，即m t k x 0 =处，这表明波包中心处波群的主要成分为0k 。
2.4——1.7
2.5设质量为m 的粒子在势场)(r V
中运动。 （a ）证明粒子的能量平均值为 w r d E
?=
∫
3
，ψψψψV m
w **2
2+???= （能量密度）
（b ）证明能量守恒公式 0=??+??s t w ，
???+????=**22ψψψψt t m s （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）
V T r d V m E +=
+??=∫3
22*
2ψψ （1）
∫=ψψV r d V *3
()()()[]
∫∫????????=
??=ψψψψψψ*
*3222*
3
22r d m m r d T （2） 其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此
ψψ???=∫*32
2r d m
T （3） 结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度 ,2**2
ψψψψV m
w +???= （4）
且能量平均值 ∫
?=w r d E 3 。
（b ）由（4）式，得
??+??+???= +????+ +????+
???=??+??+
???+???? ???+?????=??+??+
?????+?????=???***2
2
22
*
***22*
**2*
**2t t 2t 2t
t t t t t t 2t t )t ()t (2ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψE s V m V m s V V m V V m t w
t E s ??+???=ρ
（ρ ：几率密度）
s
???= （定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）
所以
0=??+??s t
w
。 粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式：
Ψ?+Ψ??=?Ψ?222m t i **
22*2Ψ?+Ψ??=?Ψ??m t i
又设][2**2Ψ??Ψ?+Ψ???Ψ??≡t t m S 则有
S t
t t t S t W
???=?Ψ??Ψ???Ψ??Ψ?+???=??** 公式⑵得证。
2.6考虑单粒子的Schr?dinger 方程
()()()()[]()t r r iV r V t r m t r t
i ,,2,2122 ψψψ++??=?? （1）
1V 与2V 为实函数。
（a ）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b ）证明粒子在空间体积τ内的几率随时间的变化为
()
∫∫∫
∫∫∫∫∫+?????=τ
τψψψψψψψψ*
32*
**322r d V S d im r d dt d S
证：（a ）式（1）取复共轭， 得
()*21*
22*2ψψψiV V m t
i ?+??=??? （2）
×*ψ（1）-×ψ（2）,得
()()()
ψψψψψψψψψψψψψψ*2**22*
*22*2*2222iV m V i m t
i +??????=+????=??
()()()
ψψψψψψψψ*2***22
V
im t +??????
=??∴
（3） 即 022≠=??+??ρρ
V j t ，
此即几率不守恒的微分表达式。
利用高斯定理将右方第一项变形：
∫∫∫∫∫∫+??????=????
ΨΨΨΨΨΨx d V x d mi t P
32*3**2)}(2{
∫∫∫∫∫∫
+?????=??ΨΨΨΨΨΨx d V S d mi
32**
*2)(2 （3） 如果粒子的运动范围是无限的，并且符合平方可积条件，则在无限远处0→Ψ，0*
→??ΨΨ，因而（3）式
的面积分等于0。
∫∫∫=???
ΨΨx d x V t P 32*)(2
（4） 这证明总几率∫∫∫=?
ΨΨx d P 3
*不守恒，因为
0≠??t
P
。
（b ）式（3）对空间体积τ积分，得
()()()
()
ψψψψψψψψψψψψψψτ
τ
ττ*23***233
***32222rV d S d im rV d r d im r d t S ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫+?????=+??????=??
上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积τ的几率（S d j
??=∫∫ ） ，而第二项代表体积τ中“产
生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。
2.7——1.8
2.8在非定域势中粒子的薛定谔方程式是：
()()()()x d t x x x V t x m t x t i x ′′Ψ′+Ψ??=Ψ??∫322/
,2，，，
（1）
求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依赖于波函数Ψ在空间一点的几率波是否存在？
[解]按题意，是要求写出几率守恒的条件，从这个条件寻出()x x V ′，应当遵守的要求。几率守恒的条件是：
03
*=??∫∫∫x d t ?
ΨΨ 或 03
**=′
Ψ?Ψ?+?Ψ?Ψ∫∫∫?x d t t (2 )
与[13]题类似，可写出[1]的共轭方程式：
()()()()x d t x x x V t x m
t x t i x ′′Ψ′+Ψ??=Ψ???∫∫∫′3***22*2，，，，
(3 )
将[1]和[3]中的
t
?Ψ?和t ?Ψ?*
想等同的式子代入到[2]式中去，就得到如下的条件： ()
()()()()()()0123
3***3*22*
=′?
′′?′′+
????
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫′′x d x d t x x x V t x t x x x V t x i
x d mi
x x ??
ΨΨΨΨΨΨΨΨ
，，，，，，
将前式等号左方第一项变成面积分[高斯定理]，第二项变成六重积分：
()
()()()()()()0
][1
23
3*****
=′?′′?′′+
?????
∫∫∫∫∫∫∫∫′
x d x d t x x x V t x t x x x V t x i s d mi
x s
，，，，，， ?
ΨΨΨΨΨΨΨΨ
(4 )
前式等号左方第一项由于波函数平方可积条件（()时当，∞→→Ψ→Ψx x 00*）可消去，因()t x ，
Ψ和
()t x ，′Ψ
形式相同,x x',x'x x x →→′对易，对易： ()()()[](){}0''33
*
*
=′??′?∫∫∫∫∫∫
′
x d x d t x x x V x x V t x x ?ΨΨ，，，，
（5）
这积分式定积分，它等于零的可能性要求被积函数为零，即： ()()x x V x x V ′=′
，，* 因此()x x V ′ ，必须是x x ′
，实函数。
2.9设N 个粒子的哈密顿量为：
][V 2?1
212j i N
i ij i N
i r r m H ?+??=∑∑== ⑴
),(21t r r r N
Ψ是它的任一态函数，定义：
∑=),(),(t r t r i
ρρ ⑵
∑=),(),(t r j t r j i
⑶
ΨΨ=∫∫*3333311),(N r d r d r d t r
ρ
)(2),(*11*3333311Ψ?Ψ?Ψ?Ψ=∫∫N r d r d r d im
t r j 求证：0=??+??j t
ρ
⑷
[证明]按定义：
),(t r t t i
i ∑??
=??ρρ ∑∫∫ΨΨ??=+?i
N
i i t
r d r d r d r d *
3131313 ∑∫∫Ψ?Ψ?+?Ψ?Ψ=+?i N i i t t r d r d r d r d )(*
*
3
13
13
13
∑
??
=i
i t r t
),(ρ ⑸ 多粒子的体系的状态),(21t r r r N
Ψ应当满足多粒子薛定谔方程式，写出这个方程式和其共轭方程式：
∑∑+??=??jk
jk k k v m t i ΨΨΨ)2(22 （6a ）
∑∑+??=???jk
jk k k v m t i **2
2*)2(ΨΨΨ (6b)
将前二式等式右方的式子代替左方的t
?Ψ?，t ?Ψ?*
，代进式⑸
)(2*2
2*131313ΨΨΨΨρk k k
i i i im r d r d r d t ????=??∑∫∫+? )(1**
13
1313ΨΨ?ΨΨ?
+∑∫
∫+?jk jk jk
i i v v i r d r d r d
)(2*2
2*3131313Ψ?Ψ?Ψ?Ψ??=∑
∫∫+?k k k
N i i im
r d r d r d r d )(2**3131313ΨΨΨΨk k k k
N i i im
r d r d r d r d ???????=∑
∫∫+?
⑺ 又待证的公式的等号左方第二项是：
),(t r j j i i
i i i
∑∑??≡??]),(),()[(1121 ++?+?+?=t r j t r j i i i
),(),(),(222111t r j t r j t r j i i i ??+??+??=∑??=i
i i i t r j ),(
)(2**,3131313ΨΨΨΨi i i i
N i i r d r d r d r d im ?????=
∑∫∫+?
⑻ ∑∑∫∫∑?????=??=??+?i k k k k N i i i i im
r d r d r d r d t t )(2**,3131313ΨΨΨΨρ
ρ ⑼ 将⑼式两个求和合一，注意到k i ≠的项不存在，因而⑻⑼等值异号。
2.10*设在曲线坐标（3
2
1
q q q ）中线元ds 表为k
i
ik dq dq g ds =2
，写出这曲线坐标中的薛定谔方程式，写出球面坐标系中的薛定谔方程式。 （解）33
2211dq q x
dq q x dq q x dx ??+
??+??=
同样关于y,z 有类似的二式。（这里为书写方便q 的上标改成下标。） *参看Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11
2222dz dy dx ds ++=2
1112121dq q z q y q x
??+ ??+
??= 221
2
2
2
2
2
dq q z q y
q x
??+ ??+ ??+ 2
3132323dq q z q y q x
??+ ??+ ??+ 212121212dq dq q z q z q y q y q x q x ????+????+????+ 323232322dq dq q z q z q y q y q x q x ????+????+????+
131313132dq dq q z q z q y q y q x q x
????+????+????+ 令）
（
k
i xyz
ik q x
q x g ????∑=为坐标变换系数： 设沿曲线坐标等势面的单位矢量是321a a a
，，则
k z
j y i x grad
?Ψ?+?Ψ?+?Ψ?=Ψ?=Ψ
