2019-2020学年高二数学第一章 空间几何体单元测试(B卷基础篇解析版)

第一章空间几何体单元测试(B卷提升篇)

（浙江专用）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1.(山东省日照市一模)三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正（主）视图（如图所示）的面积为8，则侧（左）视图的面积为（）

A.8

B.4

C.43

D.3

【答案】C

【解析】由图可知该几何体是直三棱柱,直三棱柱的棱长为4,底面等边三角形的高为3，所以其左视图的

面积为43.故选C.

2．(浙北四校2019届高三12月模拟)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是( )

A．8 B．C．16 D．16

【答案】B

【解析】由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，

所求几何体的体积为：=8π．

故选B．

3.(2019年高考浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是

A．158 B．162

C．182 D．324

【答案】B

【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下

底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为

2646

336162 22

++

??

?+??=

?

??

.

故选B.

4. (2018年浙江卷)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

【答案】C

【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.

5．(2018年理新课标I卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）

A. B.

C. D. 2

【答案】B

【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.

6.(2019年高考全国Ⅲ卷理)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )

A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线

B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线

C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线

D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B

【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.

过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，

平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥?平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，

MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35

,,72

MF BF BM =

=∴=，BM EN ∴≠，故选B ．

7.(2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考)在长方体

中，，，

，点在平面

内运动，则线段

的最小值为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意问题转化为求点到平面

的距离，由于

，所以

边上的高

，故三角形

的面积为

，又三棱锥的体积

，所以，应选答案C .

8.(2018届江西省南昌市二轮测试（八）)将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,则

，

设内切球的半径为R ，则 选A.

9.(2018届贵州省黔东南州高三上第一次联考)在ABC ?中， 0

2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=（如下图），若将ABC ?绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ）

A.

92π B. 72π C. 52π D. 32

π

【答案】D

【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以3,1OA OB ==,所以旋转体的体积：

()2

1333

2

OC OB ππ??-=

.

故选：D ．

10．(2018年理科新课标I 卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体中，

平面与线

所成的角是相等的，

所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面

也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，

要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面

与

中间的，

且过棱的中点的正六边形，且边长为，

所以其面积为，故选A.

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）

11．(重庆市綦江区2017-2018学年高二上期末)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若1,90AA AC AB BAC ==?=∠，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 . 【答案】

3

π

【解析】延长CA到D，使得AD=AC，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又,则三角形为等边三角形，∴

12．(浙江省三校2019年5月份第二次联考)若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体最长的棱长是__________，体积等于__________．

【答案】20

【解析】由三视图可得该几何体是截长方体得到的四棱锥,

其中，最长的棱长是，

体积.

13．(浙江省2019届高三高考全真模拟（二)）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的最长的棱长为________，体积为________.

【答案】7()cm

2

2

3()cm 【解析】由通过三视图可以知道该几何是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，底面是直角梯形，如图所示：四棱锥A BCDE -，2,22,AC DC BE AC =

==⊥底面BCDE ，

在直角梯形BCDE 中，可求出2BC =Rt ABC ?中，

2222(2)(2)2AB AC BC =+=+=，同理可求出：22(2)26AD =+=22222222(2)217AE AC CE AC CD DE =+=++=++=，

设四棱锥的底面BCDE 的面积为S ，所以13

111122

S =?+

??=，因此四棱锥的体积113223322V S AC =??=?=

7()cm ，体积为2

2

3()cm .

14.(浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm3）等于_____，表面积（单位：cm2） 等于____．

【答案】3

【解析】根据几何体的三视图，得该几何体为以等腰梯形ABCD与等腰梯形为底面，高为1的直四棱柱，如图：

由柱体体积公式得：V．

又等腰梯形ABCD与等腰梯形全等，面积和为6，

矩形DC的面积为21=2，矩形的面积为41=4，矩形与矩形DA的面积相等，又由正视图可得BC=，所以矩形与矩形DA的面积和为2=2，所以表面积为

6+2+4+2=12+2，

故答案为3，.

15.(浙江省台州市2019届高三上期末)已知某多面体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱长和为

_______，其体积为____．

【答案】

【解析】三视图对应的几何体如图所示：

该几何体是正方体中挖掉如图所示的棱台，

各棱长之和为，

其体积为，

故填，．

16．(浙北四校2019届高三12月模拟)如图，已知分别是正方形的边的中点，现将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是_______．

【答案】

【解析】如图所示：

连接BD，∵AE∥DF

∴∠DFB即为异面直线FB与AE所成角

设正方形ABCD的边长为2，则在△BDF中，

DF=1，BF=，BD==

∴cos∠DFB=

故答案为：

17．(浙江省嘉兴市2019 届高三上期末)已知长方体的底面为正方形，，，且，侧棱上一点满足，设异面直线与，与，与的所成角分别为，，，它们从小到大的顺序是.

【答案】

【解析】

根据题意将异面直线平移到同一平面中，如上图，显然，，，因为，异面直线与的夹角即角，根据三角形中的余弦定理得到，故，同理在三角形中利用余弦定理得到：

，故，

连接AC，则AC垂直于BD，CE垂直于BD，AC交CE于C点，故可得到BD垂直于面ACE，进而得到BD垂直于AE，而BD平行于.从而得到，故答案为.

三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）

18．（改编自浙江省2019届高考模拟卷（二)】已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，侧视图为直角三角形，求该三棱锥的体积及其外接球的表面积．

【答案】12π

【解析】由题意得三视图对应的几何体为如图所示的三棱锥，其中底面三角形为等腰直角三角

形，；底面，且．

所以该三棱锥的体积为

．

由题意得三角形外接圆半径．设三棱锥外接圆圆心为O ，则点O 在过AB 的中点且与底面垂

直的直线上，设球心O 到平面

的距离为，球半径为，则有

，解得，所以，所以外接球的表面积为

．

故答案为．

19．（2018届云南省昆明一中高三第一次摸底）体积为183的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 的中点，过点E 作球O 的截面，求所得截面圆面积的最小值． 【答案】9π

【解析】设3BC k =，则()20R k k =>，

体积为183的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R

的球O 的球面上， 21391833k h ∴???=，得224h k

=，由()(

)

2

22

3R h R k

=-+，得2k =或324

k =（舍去），4R ∴=，由题意知点E 为线段BD 的中点，从而在ODB ?中， 4,6OD OB DB ===，解得

1697OE =-=， ∴当截面垂直于OE 时，截面圆的半径为1673-=，故截面圆面积最小值为9π.

20．(改编自2018届河南省漯河市高级中学高三上第二次模拟)四面体

的四个顶点都在球的表面上，

，，，平面，求球的表面积.

【答案】

【解析】如图，

∵BC=CD=1，∠BCD=60°∴底面△BCD 为等边三角形，取CD 中点为E ，连接BE ，∴△BCD 的外心G 在BE 上，设为G ，取BC 中点F ，连接GF ，在Rt △BCE 中，由

，

，得

，又

在Rt △BFG 中，得BG=，过G 作AB 的平行线与AB 的中垂线HO 交于O ，则O 为四面体ABCD

的外接球的球心，即R=OB ，

∵AB ⊥平面BCD ，∴OG ⊥BG ，在Rt △BGO 中，求得OB=，

∴球O 的表面积为4π .

21．已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 【答案】半径为

2

R ，高为2R 时，其侧面积的值最大，最大值为22R π. 【解析】如图为其轴截面，令圆柱的高为h ，底面半径为r ，侧面积为S ，

则222

()2

h r R ＋＝，即222h R r -＝因为2224S rh R r ππ-＝＝224

4R r r -，

由二次函数的性质知，r＝

2

2

R时，取得最大值2

2R

π，

所以当内接圆柱底面半径为

2

2

R，高为2R时，其侧面积的值最大，最大值为2

2R

π.

22.(改编自浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考）已知三棱锥的所有棱长为

是底面内部一个动点包括边界，且到三个侧面，，的距离，，成单调递增的等差数列，记与，，所成的角分别为，，，试确定，的关系.

【答案】

【解析】依题意知正四面体的顶点在底面的射影是正三角形的中心，

则，，其中，表示直线、的夹角，

，，其中，表示直线、的夹角，

，，其中，表示直线的夹角，

由于是公共的，因此题意即比较与，，夹角的大小，

设到，，的距离为，，则，其中是正四面体相邻两个面所成角，

所以，，成单调递增的等差数列，然后在中解决问题

由于，结合角平分线性质可知在如图阴影区域不包括边界

从图中可以看出，、所成角小于所成角，所以．