物体平衡有关知识点讲解总结
科目：物理 年级：高三
高三总复习
第一章 力
第四章 物体的平衡
策划：沈宇喆
[本章知识结构]
1．力的概念：
重力、重心
弹力、弹力方向
摩擦力、静摩擦力和滑动摩擦力
2．力的合成与分解：
（1）共点力的合成
平行四边形法则
合力的大小
（2）力的分解：
力分解的依据和唯一解的条件
正交分解法
3．物体的受力分析
隔离法与整体法在受力分析中的应用
4．共点力作用下物体的平衡
平衡条件：0=∑F
平衡条件的分量表达式
?
??=∑=∑00y x F F 5．有转动轴物体的平衡
平衡条件：0=∑M
一般物体的平衡条件：
须同时满足：?????=∑=∑→0
0M F [重点与难点分析]
一．力的基本概念：
1．力的意义：
①力是物体对物体的作用：找不到施力物体或受力物体的力不存在.
②力是改变物体运动状态的原因，即力是产生加速度的原因. ③力是物体的动量变化率：t
P F ??=∑→
→
2．力的性质：
①矢量性：力有大小，有方向，合成分解遵守平行四边形法则.力是滑移矢量，在物体上沿力的作用线改变力的作用点，作用效果不变.当物体可以被视作质点时，或当力对物体没有转动效果时，力还可以在物体上平移.反之则不可.
②物质性：力不能脱离物体而存在.
③相互性：力总是成对出现的.有相互作用的两个物体互为施、受力物体，两个力互为作用力与反作用力，它们的关系满足牛顿第三定律.注意作用力，反作用力与一对平衡力的区别.
3．力的作用效果：
①静效果：使物体发生形变.
②动效果：改变物体运动状态.
4．力的三要素：大小、方向、作用点.力可以由一条有向线段来表示.在做力的图示时，只能选取一个标度.
二．几种常见力：
1．重力：由于地球吸引而使物体受到的力.
①产生条件：物体处在地球附近的重力场中.重力是场力，这点类似于电场力和磁场力. ②大小：G=mg(g 为物体所在位置的重力加速度)重力大小随物体在地面上的纬度位置和距离地面的高度而变化.重力大小不等于地球对物体的吸引力，重力是地球对地球表面上物体的万有引力的分力，如图1-1所示A 点物体所受重力的大小和方向.
物体静止时，对竖直悬绳的拉力和对水平支持面的压力的大小等于物体的重量.当物体处于超重或失重状态时，其本身重量不变.
③方向：总是竖直向下，而不是指向地心.注意竖直向下不等于垂直接触面向下.
④作用点：重心.确定薄板状物体重心位置的方法：二次悬挂法.所依据的原理：物体静止时，绳拉力与重力大小相等、方向相反，作用在一条直线上，即满足二力平衡条件.
2．弹力：发生形变的物体由于要恢复形变而对使之产生形变的物体的力的作用.
①产生条件：互相接触、挤压发生弹性形变.判断弹力产生的方法：可以假设撤掉接触物，看研究对象的运动状态是否与给定的状态矛盾.也可以假设弹力存在，看研究对象的运动状态是否与给定状态矛盾.
②大小：弹簧产生弹力大小由胡克定律F=kx 决定，其中x 为弹簧形变量.一般物体所受弹力大小及方向由该物体的受力状态ma F =∑确定，要具体的问题具体分析.
③方向：弹力方向与物体要恢复形变的方向一致.规律为：面面接触，弹力垂直于两接触面的公切面.点面接触，弹力垂直于面的切面方向.点线接触，弹力垂直于线.轻绳的拉力方向沿绳的走向，且绳上张力处处相等.杆可提供拉力或支持力，但弹力方向不一定沿杆.
ω
④作用点：接触点，物为质点时可移至重心.
3．摩擦力：相互接触的物体间存在相对运动或相对运动趋势时，在接触面处产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力.
①产生条件：接触、接触面粗糙、接触面发生弹性形变、接触面间有相对运动或相对运动趋势.判断静摩擦力的方法：可以假设接触面光滑，此时物体的运动状态是否与给定状态相矛盾.若此时物体发生了相对运动，则证明静摩擦力存在，而且此时物体发生相对运动的方向就是相对运动趋势的方向.
②大小：滑动摩擦力f N f F F F ,μ=的大小与物体的接触面面积及物体的运动状态无关.静摩擦力0f F 是个变力，它的大小和方向由物体的运动状态求出.最大静摩擦力是静摩擦力取值范围的最大值，μμμ稍大于滑动摩擦系数其中静摩擦系数00,N m F F =，一般认为μμ≈0
③方向：沿接触面的切线方向，与物体的相对运动或相对运动趋势方向相反.注意，运动物体不一定不受静摩擦力，静止物体不一定不受滑动摩擦力.摩擦力既可以做阻力，也可以做动力.
④作用点：受力物体的接触面或被视作质点的物体的重心.
三．物体受力分析的基本方法：——隔离法
1．选好隔离体：隔离体可以为单个物体也可是运动状态完全相同的几个物体所组成的整体.把研究对象从相关体系中隔离出来，分析周围物体对隔离体的力的作用.注意，当研究两个物体之间的相互作用力时，不能把两个物体当作整体，要分别再隔离，进行分析.
2．分析受力依据：各力产生条件（包括假设法），力的相互性（牛顿第三定律），物体的运动状态a m F →
→=∑（牛顿第二定律）.
3．分析受力顺序：先分析场力（重力、电场力、磁场力……）再分析接触力（弹力、摩擦力）.对于连接体受力分析顺序要由易到难.
四．力的合成分解及正交分解法：
1．力的合成：力的合成满足平行四边形法则.求多个力的合力时，要先求出任意两个力的合力，再与第三个力求合力，直到所有力都合成进去最后得到结果.两个共点力大小不变，其合力的大小随两个共点力夹角的增大而减小.合力的大小范围是： 2121F F F F F +≤≤-合.
合力不一定大于其中任一分力.
2．力的分解：力的分解是力合成的逆运算，同样遵从平形四边形法则.一个力可以分解为无数对分力.分解后的力性质及作用点不变.
①力的分解有唯一一组解的条件：已知合力大小和方向及两分力的方向，可唯一确定两分力的大小.已知合力大小和方向及其中一个分力的大小和方向，可唯一确定另一个分力的大小和方向.
②合力大小方向不变，一个分力方向不变时，另一个分力有极值.一般由作图法确定.
③一个分力大小方向确定，合力方向确定时，另一个分力有最小值.
3．正交分解法：当物体受三个以上共点力作用时，一般选用正交分解法.正确选定直角坐标系的原则是：通常选共点力的作用点为坐标原点，让尽量多力落在坐标轴上，同时尽量使未知力落在坐标轴上，有必要时要分解加速度.
五．物体的平衡：
1．共点力作用下物体的平衡：物体的平衡可视作为质点的平衡问题.
①平衡状态：物体静止或做匀速直线运动.
②平衡条件：?????=∑=∑=∑→
000y x F F F 即
③处理平衡问题的基本方法；平行四边形法（合成法、分解法）.正交分解法相似三角形法、直角三角形法、正弦定理及余弦定理法.
2．有固定转动轴的物体的平衡：
①平衡状态：物体静止或做匀速转动.
②平衡条件：逆顺即M M M ∑=∑=∑0.
③解题步骤：首先选取研究对象，确定固定轴.其次对物体受力分析，找出除轴以外的所有外力及相应力臂.再依据平衡条件列方程求解.
[典型例题]
[例1]一物体重量为G ，用一水平力F 将它压紧在墙上，开始时重物从静止开始运动，力F 从零开始随时间正比增大，那么物体受到墙的摩擦力随时间的变化图线，哪个是正确的？
解：
分析：
∵F 从零正比增大，可写作
F=k ·t （k 为常数）
开始时重力大于f
G>t k F ?=μμ
物体做加速运动，加速度a 越来越小，当0,===a f F G 时μ,重物速度最大，见图中
（B ）的t 1时刻
.
当t>t 1时刻时，滑动摩擦力继续重物做减速运动∴>?==,,G t k F f μμ增大. 直到重物速度减为零时，物体静止，它受到摩擦力为静摩擦力f 0=G
综上分析，只有图线B 正确.
[例2]
质量为m 的木块在水平力F 的作用下静止在倾角为θ的斜面上,如下图示，若使力F 增大，但木块与斜面仍静止，若木块对斜面压力为N ，斜面对木块的摩擦力为f ，则：
A ．N 一定增大，f 一定增大
B ．N 不一定增大，f 一定增大
C ．N 一定增大，f 不一定增大
D ．N 不一定增大，f 一定减小
分析：
m 在水平力F 作用下静止在斜面上，可有向上滑动趋势，f 沿斜面向下；也可能有可能向下滑动趋势，f 沿斜面向上，当F 逐渐增大时，f 先减小，反向，再增大，题目并未给出初始受力情况，所以f 增大，减小，不变均有可能；F 增大时，m 对斜面压力一定增大，故选项C 正确.
[例3]木块B 的质量是木板A 质量的两倍，将A 用绳固定，B 恰好能匀速下滑，A 与B 之间，B 与斜面之间的滑动摩擦因数均为μ，μ=？
分析：
设m A =m,m B =2m
B 匀速下滑： 2
/0
cos 3cos sin 20
sin cos 3:cos :2121θμθμθμθθ?
μ?
μtg m g m g m g f f G m g f m g f B =∴=--∴=--?∴==下表面受上表面受
此题应注意：（1）木块上下两面均受摩擦力
θ θ
（2）木块上下两面正压力不同
[例4]将一小球m 用细绳系起，沿半径为R 的半球面缓慢拉起，半球面光滑，试分析拉起过程中，m 对半球压力及拉力F 的变化情况.
解：
分析：
设半球半径为R
滑轮到半球距离为h
对m 进行受力分析见右图示：
____'''
,:m o
OmO F G h
R R N G R h
R R Q N OmO mNQ 中边长的变化与拉力在相似三角形中同理恒定不变其中其中??+=∴=+=∴??
线段长度变化相对应，∴F 逐渐变小.
所以,将m 沿半球拉上过程中，m 对半球压力不变，拉力变小.
[本章检测题]
A 组
一．选择题：
1．右图中，在力F 作用下，物体AB 一起以相同速度沿F 方向做匀速运动，则A 受到的摩擦力方向为；
（A ）甲乙图中A 受摩擦力均与F 同向
（B ）甲乙图中A 受摩擦力均与F 反向
∽
（C ）甲乙图中，A 均不受摩擦力
（D ）甲图中A 不受摩擦力，乙图中A 受摩擦力方向和F 相同
2．将某个力分解为两个分力，那么：
（A ）合力的大小一定等于两个分力大小之和.
（B ）合力大小一定大于每个分力的大小
（C ）合力大小一定小于每个分力的大小
（D ）合力大小一定大于一个分力的大小，而小于另一个分力的大小
（E ）合力大小可能比两个分力的大小都大，也可能都小.还可能比一个分力大，比另一个分力小.
3．一个倾角 的光滑斜面固定在竖直墙壁上，为使铁球静止于墙与斜面之间.需用一个对球的水平推力F 作用，则
（A ）墙对球的压力一定等于F
（B ）球的重力一定大于F
（C ）斜面对球的压力一定小于G
（D ）斜面对球的压力一定大于G
4．物体m 放在斜面上恰好沿斜面匀速下滑，现用一个力F 作用在m 上，F 过m 的重心，且竖直向下，则
（A ）斜面对物体压力增大了
（B ）斜面对物体的摩擦力增大了
（C ）物体将沿斜面加速下滑
（D ）物体仍保持匀速下滑
5．物体受共点力F 1F 2F 3作用而做匀速直线运动，则这三个力大小的可能范围是：
（A ）15N ，5N ，6N （B ）3N ，6N ，4N
（C ）1N ，2N ，10N （D ）1N ，6N ，3N
6．绳通过动滑轮拉住物体G ，当
逐渐减小时，为使物体仍能静止，拉住绳的力F 必须：
（A ）增大 （B ）不变
（C ）减小 （D ）无法确定
7．物体m 受到水平推力静止于斜面上，若将F 增大，仍使m 静止，则斜面对m 的摩擦力
（A ）一定增大 （B ）一定减小
（C ）为零 （D ）增大，减小，为零都可能
8．F 1=F 2=1N ，分别作用于上下叠放的物体AB 上，且A 、B 均静止，则AB 之间，B 与地面间摩擦力大小分别为：
（A ）1N ，0 （B ）2N ，
θ
θ
（C ）1N ，1N （D ）2N ，1N
9．人重600N ，木板重400N ，人与木板，木板与地面间滑动摩擦系数均为0.2，现人用水平力拉绳.使人与木板一起匀速运动.
（A ）人拉绳的力是200N
（B ）人拉绳的功是100J
（C ）人脚给木板的摩擦力向右
（D ）人脚与木板间会发生相对滑动
10．斜面倾角 45=θ，绳重不计滑轮无摩擦，A 重G ，B 重G/2，当 增大时如A 仍保持静止，绳张力为T ，A 对斜面压力为N ，A 受到的摩擦力为f.则：
（A ）T 将增大 （B ）N 将减小
（C ）f 将减小 （D ）f 将增大
11．A 的重量大于B 重量.AB 恰好静止，如将悬点P 稍向右移则B ：
（A ）仍静止 （B ）向下运动
（C ）向上运动 （D ）无法判断
12．物体静止于水平桌面：
（A ）桌面对物体支持力的大小等于物体的重力，这两个力是一对平衡力.
（B ）物体所受的重力和桌面对它的支持力是一对作用和反作用力.
（C ）物体对桌面的压力就是物体的重力，这两个是同性质的力.
（D ）物体对桌面的压力和桌面对物体的支持力是一对相互平衡的力.
二．填空：
13．一根轻质弹簧在100N 拉力作用下长0.5米.当它在300N 拉力作用下长0.65米.则它不受外力作用的长____________米.
14．右图中小球重30N ，则挡板对小球的作用力为_______牛，斜面对小球支持力为______________牛.
15．光滑小球放在光滑墙和木板之间，当图中)90( <αα角增大时墙对小球弹力变________,木板对小球弹力变______________.
?
α
θ
16．右图中绳OB 水平，OA 与竖直成300角，若AO 与BO 能承受的最大拉力为10N 和6N ，OC 能承受足够大的拉力，为使细绳不被拉断，重物G 最大为__________牛.
17．物体放在光滑水平面上，在大小为40N 的水平力Q 作用下由西向东运动，现用F 1F 2两个水平共点力作用代替Q ，已知F 1方向东偏北300，此时F 2大小不能小于___________牛.
三．计算题：
18．一根均匀长木板，质量为M ，放在地面上，一个质量为m 的人站在板中间，将绳一端拴在板上，人用力拉绳，使板右端刚好离开地面，求人拉绳力？
19．水平地面与竖直墙面均光滑，半径为R 的球重量为G ，木块高为h ，用水平力F 推动木块，恰好使球刚离开地面，求力F 至少多大？
(18题) （19题）
[检测题答案]
1、D
2、E
3、D
4、A 、B 、D
5、B
6、A
7、D
8、A 9、B 、C 10、B 、D 11、B 12、A
13、0.50M
14、N N 320,310
15、变小、变小
16、N 35
17、20N
18、
B 端刚好离开地面，人拉绳力为T
以人和木板整体为研究对象，以A 为轴：
转动平衡：
g m M T L g m M L T L T M )(3
102
)(20
+=∴=?+-?+?∴=∑ 19．球与木块均处于共点力平衡状态
G h R h Rh F R h Rh N F G h
R R N R
h R G N F ?--=-=
?=?-=∴-==∑→2
2'1112:2cos :cos :
:0
水平推力代入得其中对木块几何关系可得
对大球满足θθ
B 组
1．重为G 的均匀横梁OB ，一端用钢索AB 拉着，另一端固定在转轴O 上，如图所示，如果挂在横梁上的重物P 向轴O 移动，试写出钢索拉力T 随重物与轴O 间距离x 而变化的函数式，并定性做出其图象.
2．相距4m 的两根竖直杆上挂一根长5m 的细绳，绳子两端高度差为h ，绳上有一直径很小的滑轮，下方挂一个重180N 的重物，如图所示.已知滑轮可在绳上无摩擦滑动，滑轮与绳子质量均不计，试求重物静止时，滑轮两侧绳子拉力T 1、T 2各是多大？并讨论h 对绳子拉力的影响.
θ
3．如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻细绳AB 和AC 一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平成θ=60°的拉力，若要使绳都能伸直，求拉
力F 的大小范围？
4．如图所示，整个装置处于静止状态，PQ 为水平放置的光滑细长杆，质量均为m 的两小球 A 、B 穿于其上.两球用长度均为L 的轻线结于O 点，A 、B 球间杆上有一劲度系数为K 的被压缩的轻弹簧（在弹性限度内），这时弹簧的长度也为L.E 为质量不计的光滑定滑轮，质量为m/2的C 球用轻绳跨过定滑轮与置于水平地面上质量为2m 的D 球相连，求弹簧的原长？
5．如图所示，质量不计的杆O 1B 和O 2A 长度均为L ，O 1和O 2为光滑固定转轴，A 处有一凸起物搁在O 1B 的中点，B 处用绳系在O 2A 的中点，此时两短杆便组成一根长杆，今在O 1B 杆的C 点（C 为AB 的中点）悬挂一重量为G 的物体，则A 处受到的支撑力大小为____________，B 处绳的拉力大小为_____________.
6．如图所示，斜坡与水平面夹角为β，两个人一推一拉使物体匀速上斜坡，设两人用力大小相同都是F ，已知物体与斜坡的动摩擦因数33=
μ，推力F 与斜坡平行，求拉力F
与斜面所成角度α为多大时最省力？
[标准答案和解析]
α
αSin G LSin Px T 2.1+= 分析和解
本题考查有固定转动轴物体平衡条件的应用及如何用数学方法解决物理问题.
以OB 杆及重物P 为研究对象，以O 为轴，在拉力和重力的力矩作用下平衡，则应有 ∑=0M
设OB 长为L ，则有
αααSin G LSin Px T L G
Px TLSin 202+==-- 2．T 1=T 2=150N
分析和解
本题考查共点力作用下平衡条件的应用.
滑轮可在绳上无摩擦滑动，绳子与滑轮质量可不计，故滑轮两侧绳子张力大小相等（设为T ），以滑轮和物体为研究对象，应满足
∑∑===)1(00
21θθTSin TSin Fx F
TCos θ1+TCos θ2=G （2）
由（1）得
θ1=θ2，设为θ1=θ2=θ
由（2）得
)3(9021802θθθCos Cos Cos G T ===
如图所示：
设AB 的竖直距离为h ，则可得
??
???=+=+524200θθθCos h Sin L htg L 5
3,54==θθCos Sin 可见h 变化不影响Sin θ、Cos θ的值.将Cos θ值代入（3）式
)(1505
3
90N T == N F N 33
403320.3≤≤ 分析和解
本题考查共点力平衡条件的应用.
:,,,0,0,11则有可知如图所示拉力为要使应满足要使绳都能伸直T F AC F ==∑ 2F 1Sin θ=mg
N F 33
201=
若要AB 拉力为零，如图所示，F 2Sin θ=mg ，所以有：
)(33
402N F =
bk mg L L 3.40+=
分析和解
以滑轮为对象，受力如图.处于平衡状态故有： T OE =2T BC =mg
以O 点为对象，受力分析如图，T AO =T BO ，则有 3
3020
mg
T mg Cos T F AO AO ==?=∑
以A 球为研究对象，受力分析如图，满足 m g
Sin T F F AO 63
300
=?==∑
K mg
K F x 63==所以
所以弹簧原长
L 0=L+x
K mg L 63+=
G G
,2.5
分析和解
以杆O 1B 为研究对象，以O 1为轴，应满足 0=∑M
则有
)1(243L T L T L G B A ?=?+ 以杆AO 2为研究对象，以O 2为轴，应满足 0=∑M
则有
)2(2L
T L T B A ?=?
以上两式联立求解可得
G T G T B A ==,2
6．当α=30°时，F 最小.
分析和解
∵Fcos α+F=mgsin β+μ（mgcos β-Fsin α） ∴F(1+cos α)=mgsin β+μmgcos β-μFsin α ∴F(1+cos α+μsin α)=mg(sin β+μcos β) )
sin cos 1()cos (sin αμαβμβ++-=∴mg F 则当α=30°时，F 最小.
初二物理下册知识点——物质的密度
初二物理下册知识点：物质的密度初二物理下册知识点：物质的密度 知识点1 密度的概念 1、物质的特性：同种物质的不同物体，质量与体积的比值是相同的;不同物质的物体，质量与体积的比值一般是不同的。 2、定义：单位体积某种物质的质量叫做这种物质的密度。 3、密度是表示物质本身特性(不同物质单位体积的质量不同)的物理量。 4、表达式：ρ=m/V 5、单位：国际单位kg/m3;常用单位 g/cm3.1g/cm3=1×103kg/m3探究如何测量一种物质的密度? 点拨根据密度的表达式，我们可以测出物体的质量和体积，然后利用表达式即可求出被测物体的密度。 例1 对一块金属进行鉴别，用天平称得其质量为50.0g，将它投入盛有盐水为125.0cm3的量筒中，水面长高到128.0cm3的地方，通过以上实验验证该金属块是否属纯金? 思路解析密度是物质的特性，根据测量所得到的数据可计算出金属的密度，并与密度表中各种物质的密
度值进行对比，可确定它的成分。 正确解答对照密度表可知纯金的密度是19.3g/cm3，所以，这块金属不是纯金的。 误点警示密度知识在生活和生产中有广泛的应用。例如，可以用来鉴别物质，因为各种物质的密度是一定的，不同物质的密度一般不同。 知识点2 密度的测量1、原理：2、量筒的使用用 量筒可以直接测出液体的体积。测量固体的体积时，则 需先倒入适量的水(放入物体后要能没过物体，又要不超最大测量范围)，读出水面到达的刻度V1，再将物体放 入并使其浸没，读出此时的读数V2，则该物体的体积为 V=V2-V1，此种方法称为排水法。 例2 张刚同学有一枚金光闪烁的第十一届亚运会 纪念币，制作这枚纪念币的材料是什么物质?是纯金吗? 设计实验根据，测出纪念币的质量和体积，求出纪念 币的密度与金的密度比较，判断是否为纯金。 实验器材天平、量筒、水测量记录m=16.1g，V 分析论证.得出结论纪念币不是纯金的，查密度表可判断可能是铜或其他合金。 知识点3 密度的应用1、鉴别物质或选择不同的材料。 2、计算不易直接测量的庞大物体的质量。
高中解析几何知识点
曲线与方程 （2）求曲线方程的基本方法 直线 一、直线的倾斜角与斜率 1、倾斜角的概念：（1）倾斜角：当直线 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角。 （2）倾斜角的范围：当 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角 为0°因此0°≤ ＜180°。 2、直线的斜率 （1）斜率公式：K=tan （ ≠90°） （2）斜率坐标公式：K=12 1 2x x y y -- （x1≠x 2） （3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当 =0°时，k=0；当0°＜ ＜90°时，k ＞0，且 越大，k 越大；当 =90°时，k 不存在；当90°＜ ＜180°时，k ＜0，且 越大，k 越大。 二、两直线平行与垂直的判定 1、两直线平行的判定： （1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，则这两直线平行； （2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k1=k2 1 ∥2 2、两直线垂直的判定：
已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为11 12122121(,) y y x x x x y y y y x x --=≠≠--， 由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式 已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程1 =+b y a x 叫做直线 的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则22122121()()PP x x y y =-+-. 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为 22 OP x y =+. 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 点斜式 111(,),P x y k 11() y y k x x -=- k 存在 斜截式 b k ， y kx b =+ k 存在 两点式 ) ,(11y x （),22y x 11 2121 y y x x y y x x --= -- 12x x ≠ 12y y ≠ 截距式 b a , 1x y a b += 0a ≠ 0b ≠
高中平面解析几何知识点总结
高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α 叫做直线 的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意 直线．
（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，有
质量与密度知识点总结
第六章《质量与密度》知识点汇编 第一节质量 一、质量 1、物体是由物质组成的。 2、物体所含物质的多少叫做质量，用“m”表示。 3、质量的基本单位是千克（kg），常用单位有吨（t）、克（g）、毫克（mg）。 1t=103kg 1kg=103g 1g=103mg 4、质量是物体本身的一种属性，不随它的形状、状态、温度以及所处的位置的改变而改变。 二、质量的策测量 1、实验室测质量的常用工具是天平。 2、生产生活中测质量常用杆秤、案秤、磅秤、电子称等。 三、天平的使用 1、基本步骤 （1）放：测量时，应将天平放在水平桌面上； （2）调：先将游码拨回标尺左端的零刻线出（归零），在调节平衡螺母（走向高端），使指针指到分度盘的中央刻度（或左右摆动幅度相等），表示横梁平衡； （3）测：将物体放在左盘砝码放在右盘（左物右砝），用镊子加减砝码并调节游码，使天平重新平衡；（4）读：被测物体的质量=右盘中砝码的总质量+游码在标尺上的指示值。 2、注意事项 (1)被测物体的质量不能超过天平的量程； (2)用镊子加减砝码时要轻拿轻放； (3)保持天平清洁、干燥,不要把潮湿的物体和化学药品直接放在盘上,也不要把砝码弄湿,弄脏,以免锈蚀。 第二节密度 1、定义：某种物质组成的物体的质量与它的体积之比叫做这种物质的密度。 2、公式：ρ=m/v 3、单位：1g/cm3=103kg/m3 4、含义：以水为例 ρ水=1.0×103kg/m3 其物理意义为:体积为1 m3的水的质量为1.0×103kg。 5、应用：（1）求物体的体积（v=m/ρ）或质量(m=ρv)；（2）测出物体密度来鉴别物质。 第三节测量物质的密度 一、量筒的使用 1、看：首先认清量筒采用的单位、量程、分度值； 2、放：应将量筒放在水平桌面上； 3、读：当液面是凹形时，视线应与凹液面的底部保持水平；当液面是凸形时，视线应与凸液面的顶部保持水平。 二、测量液体密度的步骤 1、将适量的液体倒入烧杯中，用天平称出杯与液体的总重量m1； 2、将杯中的部分液体倒入量筒中，读出量筒中液体的体积v； 3、用天平称出烧杯和剩余液体的总质量m2； 4、计算液体的密度：ρ= m/v = m1-m2/v 三、测量固体的密度 1、用天平称出固体的质量m； 2、在量筒中倒入适量的水，读出水的体积v1； 3、用细线拴住固体，轻放浸没在水中，读出固体水的总体积v2； 4、计算固体的密度：ρ= m/v = m/v2-v1 第四节密度与社会生活 一、密度与温度 1、在质量不变的前提下，物质温度升高，体积膨胀，密度减小（个别物质除外，如水4℃时密度最大。 2、热气球原理：空气受热，温度升高，体积膨胀，密度减小而上升。 二、密度与鉴别物质 1、原理：密度是物质的基本特性，不同的物质的密度不同； 2、方法：用天平和量筒测出被鉴定物质的密度，与标准密度表比较即可。
三角形有关的角知识点总结与随堂练(基础篇)
三角形有关的角知识点总结与随堂练（基础篇）知识点一：三角形内角和定理? 定理：三角形三个内角的和等于180°．? 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角．? ②在三角形中，已知三个内角的比或它们之间的关系，求各内角．? ③三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角．? 知识点二：直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余。? 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点三：三角形的外角? 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．? 性质：?①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．? ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．? 三角形的外角和为360度．?三角形的外角最少两个钝角 随堂练 一、选择题: 1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛
A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形 2.下列说法正确的是( ) A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60° 3.已知三角形的一个内角是另一个内角的 ,是第三个内角的 ,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A.60°,90°,75° B.48°,72°,60° C.48°,32°,38° D .40°,50°,90° 4.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160° 5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 6.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( ) A.有两个锐角、一个钝角 B.有两个钝角、一个锐角 C.至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角
解析几何知识点总结
抛物线的标准方程、图象及几何性质：0 p >
关于抛物线知识点的补充： 1、定义： 2、几个概念： ① p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，故p 为正数； ② 焦点的非零坐标是一次项系数的1 4 ； ③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径：2p 3、如：AB 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l MN ⊥，N 为垂足，l BD ⊥，l AH ⊥，
D ，H 为垂足，求证： （1）DF HF ⊥； （2）BN AN ⊥； （3）AB FN ⊥； （4）设MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN ； （5）设),(),,(2211y x B y x A ，则221p y y -=，2 214 1p x x =； （6） p FB FA 2 ||1||1=+； （7）D O A ,,三点在一条直线上 （8）过M 作AB ME ⊥，ME 交x 轴于E ，求证：||2 1||AB EF =，||||||2FB FA ME ?=； 关于双曲线知识点的补充： 1、 双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于|| 21F F ）的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。 注意： a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； 2、 双曲线的标准方程 ①焦点在x 轴上的方程：22221x y a b -=（a>0，b>0）； ②焦点在y 轴上的方程：22 221y x a b -= （a>0，b>0）； ③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx 2-ny 2=1(m ·n<0)； ④双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程. 3、双曲线的渐近线： ①求双曲线122 2 2=- b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02 2 2 2=- b y a x ，因式分解得到。②与双曲线122 22=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x ；
初二物理物质的密度知识点总结(附例题)
物质的密度 一、知识点复习 1、密度的定义：某种物质单位体积的质量。 2、密度是物质的一种特性，同种物质密度相同，不同种物质密度不同。 3、密度计算公式：p=m/v，导出式m=pv，v=m/p 4、密度的单位：kg/m3，g/m3 二、对密度的理解。 1、密度是物质的一种特性，主要有三层意思： 1）每种物质都有它特定的密度值，对于同种物质（状态相同）来说，密度是不变的，而它的质量与体积成正比，例如，对铝制品来说，不管它的体积有多大，质量有多少，单位体积的铝的质量是不变的，即密度是不变的。 2）对于不同种物质，其密度一般不同。我们说“水比油重”，其实是说水的密度大于油的密度，在相同体积的情况下，水的质量大于油的质量。 3）密度与该物体的质量、体积、形状、运动状态无关。 2、对于公式p=m/v，可以从以下两方面来理解 1）同种物质，在一定状态下的密度是定值，与质量和体积无关。实际上，当物体的质量（或体积）增大几倍时，其体积（或质量）也随着增大几倍，即单位体积的质量不改变。因此，不能认为物质的密度与质量成正比，与体积成反比。即当密度一定时，质量与体积成正比。 2）对于不同种物质，当质量一定时，密度与体积成反比。当体积一定时，密度与质量成反比。 注意：计算密度时，一般要求将质量和体积的统一换算为国际单位，即kg/m3或g/m3。 三、关于密度的常识 1、一般来说，固体的密度较大，液体次之，气体最小。 2、锇是固体中密度最大的，水银是液体中密度最大的。 3、固体、液体的密度一般写成n*103kg/m3，气体的密度一般写成nkg/m3。 4、气体的密度是在“零摄氏度，1个标准大气压下”测定的，当条件变化时，气体的密度值也会发生变化。
三角形有关知识点总结及习题大全-打印
一 、三角形内角和 定 理 一、 选择题 1.如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B?=?40°，∠ACD?=?120°，则∠A 等于（ ） A ．60° B ．70° C ．80° D ．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角α等于（ ）A ．75o B ．60o C ．45o D ．30o 3.如图，直线m n ∥，?∠1=55，?∠2=45， 则∠3的度数为（ ） A ．80? B ．90? C ．100? D ．110? 5.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°， 则3∠的度数等于（ ） A ．50° B ．30° C ．20° D ．15° 6.已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形或锐角三角形 8.如图，11002145∠=∠=o o ，，那么3∠=（ ） A ．55° B ．65° C ．75° D ．85° 二、 解答题 15.（2009·淄博中考）如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37o ，求∠D 的度数． 16.在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小． 二、特殊三角形 1．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=4：5：9，则△ABC 是（ ） A ． 直角三角形，且∠A=90° B ． 直角三角形，且∠B=90° C ． 直角三角形，且∠C=90° D ． 锐角三角形 2．在等腰△ABC 中，如果AB 的长是BC 的2倍，且周长为40，那么AB 等于（ ） A ． 20 B ． 16 C ． 20或16 D ． 以上都不对 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 考点： 三角形内角和定理；角平分线的定义。 5．如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若AB=13，AC=5，则△ACD 的周长为 6．如图，AD 是等腰三角形ABC 的底边BC 上的高，DE ∥AB ，交AC 于点E ，判断△ADE 是不是等腰三角形，并说明理由． 三：三角形全等的判定及其应用 一、 选择题 1.如图，已知AB AD = ， 那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ 3.如图，ACB A CB ''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A.20° B.30° C.35° D.40° 6.如图所示，90E F ∠=∠=o ，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =； ②CD DN = ；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM △≌△．其中正确的有（ ） A B C D 40° 120° A E F B C D M N
初二物理物质的密度知识点总结(附例题)
初二物理物质的密度知识点总结(附例题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
物质的密度 一、知识点复习 1、密度的定义：某种物质单位体积的质量。 2、密度是物质的一种特性，同种物质密度相同，不同种物质密度不同。 3、密度计算公式：p=m/v，导出式m=pv，v=m/p 4、密度的单位：kg/m3，g/m3 二、对密度的理解。 1、密度是物质的一种特性，主要有三层意思： 1）每种物质都有它特定的密度值，对于同种物质（状态相同）来说，密度是不变的，而它的质量与体积成正比，例如，对铝制品来说，不管它的体积有多大，质量有多少，单位体积的铝的质量是不变的，即密度是不变的。 2）对于不同种物质，其密度一般不同。我们说“水比油重”，其实是说水的密度大于油的密度，在相同体积的情况下，水的质量大于油的质量。 3）密度与该物体的质量、体积、形状、运动状态无关。 2、对于公式p=m/v，可以从以下两方面来理解 1）同种物质，在一定状态下的密度是定值，与质量和体积无关。实际上，当物体的质量（或体积）增大几倍时，其体积（或质量）也随着增大几倍，即单位体积的质量不改变。因此，不能认为物质的密度与质量成正比，与体积成反比。即当密度一定时，质量与体积成正比。 2）对于不同种物质，当质量一定时，密度与体积成反比。当体积一定时，密度与质量成反比。 注意：计算密度时，一般要求将质量和体积的统一换算为国际单位，即kg/m3或g/m3。 三、关于密度的常识 1、一般来说，固体的密度较大，液体次之，气体最小。 2、锇是固体中密度最大的，水银是液体中密度最大的。 3、固体、液体的密度一般写成n*103kg/m3，气体的密度一般写成 nkg/m3。 4、气体的密度是在“零摄氏度，1个标准大气压下”测定的，当条件变化时，气体的密度值也会发生变化。
任意角及弧度制知识点总结
任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如
高中解析几何知识点
解析几何知识点 一、基本内容 （一）直线的方程 1、直线的方程 确定直线方程需要有两个互相独立的条件，而其中一个必不可少的条件是直线必须经过一已知点．确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围． 2、两条直线的位置关系 两条直线的夹角，当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠ 外注意到角公式与夹角公式的区别． (2)判断两直线是否平行，或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断．但若直线斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断． 3、在学习中注意应用数形结合的数学思想，即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义． （二）圆的方程 (1)圆的方程 1、掌握圆的标准方程及一般方程，并能熟练地相互转化，一般地说，具有三个条件(独立的)才能确定一个圆方程．在求圆方程时，若条件与圆心有关，则一般用标准型较易，若
已知圆上三点，则用一般式方便，注意运用圆的几何性质，去简化运算，有时利用圆系方程也可使解题过程简化． 2、 圆的标准方程为(x －a )2+(y －b )2＝r 2；一般方程x 2+y 2+Dx+Ey +F =0,圆心坐标 (,)22D E -- 3、 在圆(x －a )2+(y －b )2＝r 2，若满足a 2+b 2 = r 2条件时，能使圆过原点；满足a=0，r ＞0条件时，能使圆心在y 轴上；满足b r =时，能使圆与x 轴相切；r =条件时， 能使圆与x －y ＝0相切；满足|a |=|b |=r 条件时，圆与两坐标轴相切． 4、 若圆以A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)为直径，则利用圆周上任一点P (x ，y )， 1PA PB k k =-求出圆方程(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)＝0 (2) 直线与圆的位置关系 ①在解决的问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用△＞0，△=0，△＜0，而用圆心到直线距离d ＜r ，d=r ，d ＞r ，分别确定相关交相切，相离的位置关系．涉及到圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算交弦长时，要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形，当然，不失一般性弦长式 ③已知⊙O 1：x 2+y 2 = r 2，⊙O 2：(x -a )2+(y -b )2＝r 2；⊙O 3：x 2+y 2+Dx+Ey +F =0则以M (x 0，y 0)为切点的⊙O 1切线方程为xx 0+yy 0＝r 2；⊙O 2切线方程 条切线，切线弦方程：xx 0+yy 0=r 2． (三)曲线与方程 (1)在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对x 、y 表示，这就是动点的坐标(x ，y )．当点按某种规律运动而形成曲线时，动点坐标(x ，y )中的变量x ，y 存在着某种制约关系．这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x ，y 方程F (x ，y )＝0． 曲线C 和方程F (x ，y )＝0的这种对应关系，还必须满足两个条件： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，这时，我们才能把这个方程叫做曲线的方程，
与三角形有关的角知识点归纳
6x Ｂ Ｄ Ａ 第(3)题 第(4) 与三角形有关的角知识点归纳 知识点篇: 知识点一：三角形的内角和定理:三角形内角和为180° 知识点二:三角形外角的性质:1.三角形的一个外角与相邻的内角互补;2.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;3. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. 基础篇: (1)在△ABC 中，若7836A '∠=o ，5724B '∠=o ，则C ∠= ． (2) 在ABC △中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，B C ∠∠，越来越大．若A ∠减少α度，B ∠增加β度，C ∠增加γ度，则αβγ，，三者之间的等量关系是 ． (3)如图，在Rt ADB △中，90D ∠=o ，C 为AD 上一点，则x 可能是 （ ） Ａ.10o Ｂ20o Ｃ.30o Ｄ40o (4)如图， 在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，? 且CD 、BE 交于一点P ， 若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ） （A ）150° （B ）130°（C ）120°（D ）100° (5)四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（ ） （A ）80° （B ）90°（C ）170°（D ）20° (6)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6 方法篇: A.注意方程思想的应用 例题1．已知△ABC 中, (1)∠A=20°,∠B －∠C=40°,则∠B=____°; (2)∠A=120°,2∠B+∠C=80°,则∠B=___°; (3)∠B=∠A+40°,∠C=∠B-50°,则∠B=_____°; (4)∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B=_____°. B β 2β 3β
初二物理质量与密度知识点总结
质量与密度 知识点梳理 1、质量： 1、定义：物理学中把物体所含物质的多少叫做物体的质量。 2、表示符号：m 3、单位： 国际单位制： 基本单位：千克（单位符号：kg ） \ 常用单位：吨（t ）；克（g）；毫克（mg ） 单位关系：1t = 1000kg 1kg = 1000g 1g = 1000mg 4、质量的理解： 质量是物体的一个基本属性，物体的质量不随物体的形态、状态、所处的空间位置、温度的改变而改变。 5、测量工具： ⑴日常生活中常用的测量工具：案秤、台秤、杆秤， } 实验室常用的测量工具：托盘天平， 也可用弹簧测力计测出物重，再通过公式m=G/g计算出物体质量。 2、托盘天平和量筒的使用： 1、托盘天平 （1）托盘天平的使用方法： ①“看”：观察天平的称量以及游码在标尺上的分度值。 ②“放”：把天平放在水平台上，把游码放在标尺左端的零刻度线处。 ③“调”：调节天平横梁右端的平衡螺母使指针指在分度盘的中线处，这时横梁平衡。 : ④“称”：把被测物体放在左盘里，用镊子向右盘里加减砝码，并调节游码在标尺上的位置，直到横梁恢复平衡。 ⑤“记”：被测物体的质量=盘中砝码总质量+ 游码在标尺上所对的刻度值 （2）注意事项： A 不能超过天平的称量 B 保持天平干燥、清洁。 （3）测量方法：A、直接测量：固体的质量 B、特殊测量：液体的质量、微小质量。 2、量筒和量杯： （1）用途：测量液体体积（间接地可测固体体积）。 ~ （2）使用方法： 看：单位：毫升（ml）=厘米3 ( cm3 ) 量程、分度值。 放：放在水平台上。
读：量筒里的液面如果是凹形的，读数时，视线要和凹面的底部相平。 量筒里的液面如果是凸形的，读数时，视线要和凸面的顶部相平。 3、密度： \ 1、定义：物理学中，把某种物质单位体积的质量叫做这种物质的密度。 2、公式： （ ρ：密度 ；m ：质量 ：V ：体积 ） 变形公式： 3、单位： 国际单位制： 主单位：kg/m 3， （ 读作：千克每立方米） ￥ 常用单位：g/cm 3。 （读作：克每立方厘米） 单位换算：1 g/cm3 = 1000 kg/m3 （说明：两个单位比较：g/cm 3单位大） 物理意义： 水的密度为×103kg/m 3，读作×103千克每立方米， 它表示物理意义是：1立方米的水的质量为×103千克。 4、理解密度公式： ⑴同种材料，同种物质，ρ不变，m 与 V 成正比； 物体的密度ρ与物体的质量、体积、形状无关，但与质量和体积的比值有关； ~ 密度随温度、压强、状态等改变而改变，不同物质密度一般不同，所以密度是物质的一种特性。 ⑵质量相同的不同物质，密度ρ与体积成反比；体积相同的不同物质密度ρ与质量成正比。 5、密度图象： 左图所示：ρ甲>ρ乙 ρ m V = V \ ρ = ~ V m ρ = · ρm V = 、
角和角的比较知识归纳及经典习题
角（基础）知识讲解 【高清课堂：角397364 角的概念】 要点一、角的概念 1．角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图1 图2 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 1.下列语句正确的是( C )
A．两条直线相交，组成的图形叫做角． B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角． C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角． D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角． 【答案】 【解析】根据角的定义判断 【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别． 举一反三： 【变式】判断下列说法是否正确 (1)两条射线组成的图形叫做角( ×) (2)平角是一条直线( × ) (3)周角是一条射线( × ) 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角；(3)图中共有几个角(小于180°). 【答案与解析】 解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C． (2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE． (3)图中共有7个角． 【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示；(2)一般数角时不包括平角和大于平角的角． 已知：如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，求图中共有多少个角？如果引出99条射线，则有多少个角？ 分析：在∠AOE的内部从O点引出3条射线，那么在图形中，以O为端点的射线共5条。其中，任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角（小于平角的角）。数角的时候要按一定的顺序，从OE边开始数，这样可得到4+3+2+1个角，所以，这5条射线共组成角的个数为10个角。 公式为：2)1 ( n n 。同理，如果引出99条射线，那么，以O为顶点的射线共101
高中数学解析几何知识点总结
高中数学解析几何知识 点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
§0 7. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若23 2--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是23 2--=x y ，但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜 率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则 1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条 件，且21C C ≠）
初中物理浮力知识点总结
初中物理浮力知识点总结 定义：浮力是由液体(或气体)对物体向上和向下压力差产生的。 1、准确理解阿基米德原理： ?内容：浸入液体里的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体受到的重力。 公式表示：F浮= G排=ρ液V排g。从公式中能够看出：液体对物体的浮力与液体的密度和物体排开液体的体积相关，而与物体的质量、体积、重力、形状、浸没的深度等均无关。 适用条件：液体(或气体)。 对阿基米德原理及其公式的理解，应注意以下几个问题： (1)浮力的大小由液体密度ρ液和排开液体的体积V排两个因素决定。浮力大小与物体自身的重力、物体的体积、物体的密度及物体的形状无关。浸没在液体中的物体受到的浮力不随深度的变化而改变。 (2)阿基米德原理对浸没或部分浸在液体中的物体都适用。 (3)当物体浸没在液体中时，V排=V物，当物体部分浸在液体中时，当液体密度ρ液一定时，V排越大，浮力也越大。 (4)阿基米德原理也适用于气体，其计算公式是：F浮=ρ气gV排。 2、如何判断物体的浮沉：判断物体浮沉的方法有两种： (1)受力比较法： 浸没在液体中的物体受到重力和浮力的作用。 F浮>G物，物体上浮; F浮 F浮=G物，物体悬浮; (2)密度比较法： 浸没在液体中的物体，只要比较物体的密度ρ物和液体的密度ρ液的大小，就能够判断物体的浮沉。 ρ液>ρ物，物体上浮; ρ液<ρ物，物体下沉; ρ液=ρ物，物体悬浮; 对于质量分布不均匀的物体，如空心球，求出物体的平均密度，也能够用比较密度的方法来判断物体的浮沉。 3、准确理解漂浮条件：漂浮问题是浮力问题的重要组成部分，解决浮力问题的关键是理解物体的漂浮条件F浮=G物。 (1)因为F浮=ρ液gV排，G物=ρ物gV物，又因为F浮=G物(漂浮条件)，所以，ρ液gV排=ρ物gV物，由物体漂浮时V排ρ物，即物体的密度小于液体密度时，物体将浮在液面上。此时，V物=V排+V露。 (2)根据漂浮条件F浮=G物，得：ρ液gV排=ρ物gV物 同一物体在不同液体中漂浮时，ρ物、V物不变;物体排开液体的体积V排与液体的密度ρ液成反比。ρ液越大，V排反而越小。 4、计算浮力的方法一般归纳为以下四种： (1)根据浮力产生的原因F浮=F向上-F向下，一般用于已知物体在液体中的深度，形状规则的物体。 (2)根据阿基米德原理：F浮=G排液=ρ液gV排，这个公式对任何受到浮力的物体都适用。计算时要已知ρ液和V排。 (3)根据力的平衡原理：将挂在弹簧秤下的物体浸在液体中，静止时，物体受到重力，
初中三角形有关知识点总结及习题大全带答案
一、三角形内角和定理 一、 选择题 1.如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于（ ） A ．60° B ．70° C ．80° D ．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角α等于（ ）A ．75o B ．60o C ．45o D ． 30o 3.如图，直线m n ∥，?∠1=55，?∠2=45， 则∠3的度数为（ ） A ．80? B ．90? C ．100? D ．110? 【解析】选C. 如图，由三角形的外角性质得0001004555214=+=∠+∠=∠， 由m n ∥， 得010043=∠=∠ 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°， 则3∠的度数等于（ ） A ．50° B ．30° C ．20° D ．15° 【解析】选C 在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°， 所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于（ ）. A.20° B. 35° C. 45° D.55° 【解析】选D 因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB ＝55o，又因为AB ∥CD,所以∠C ＝∠EFB ＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形或锐角三角形 【解析】选B 因为△ABC 的一个外角为50°，所以与△ABC 的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. A B C D 40° 120° α
解析几何知识点总结
抛物线的标准方程、图象及几何性质：0>p
1、定义： 2、几个概念： ① p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，故p 为正数； ② 焦点的非零坐标是一次项系数的1 4 ； ③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径：2p 3、如：AB 是过抛物线)0(22 >=p px y 焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l MN ⊥，N 为垂足，l BD ⊥，l AH ⊥，D ，H 为垂足，求证： （1）DF HF ⊥； （2）BN AN ⊥； （3）AB FN ⊥； （4）设MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN ； （5）设),(),,(2211y x B y x A ，则2 21p y y -=，2 214 1p x x =； （6）p FB FA 2| |1 | |1= +； （7）D O A ,,三点在一条直线上 （8）过M 作AB ME ⊥，ME 交x 轴于E ，求证：||2 1||AB EF =，||||||2 FB FA ME ?=；
1、 双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。 第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。 注意： a PF PF 2|||| 21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； 2、 双曲线的标准方程 ①焦点在x 轴上的方程：22221x y a b -=（a>0，b>0）； ②焦点在y 轴上的方程：22 221y x a b -= （a>0，b>0）； ③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx 2 -ny 2 =1(m ·n<0)； ④双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程. 3、双曲线的渐近线： ①求双曲线12 2 22 =-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得022 22=-b y a x ，因式分解得到。②与双曲线122 2 2 =-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x ； 4、等轴双曲线： 为2 22t y x =-，其离心率为2 5、共轭双曲线： 6、几个概念： ①焦准距：b 2 c ; ②通径：2b 2 a ; ③等轴双曲线x 2-y 2=λ (λ∈R,λ≠0)：渐近线是y=±x,离心率为：2 ；④22 221x y a b -=焦点三角形的面积：b 2 cot θ2 (其中∠F 1PF 2=θ)； ⑤弦长公式：c 2 =a 2 -b 2 ,而在双曲线中:c 2 =a 2 +b 2 ,