集合的重要知识点总结
集合的重要知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
课题：集合的知识点小结
教学目标：1、掌握集合的有关概念及相关性质；2、理解集合间的关系；3、能够进行集合的基本运算。
重点：集合的表示及三大性质，集合间的关系，数形结合思想的应用
难点：集合的基本运算，集合间的关系
教学内容:
一、集合的概念
元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写英文字母a,b,c…..来表示。
集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称集），常用大写的英文字母
A,B,C….来表示。
例如：① 1, 2，3, 4, 5，6，7；
②某农场所有的拖拉机；
③在实数范围内方程250
x+=的解。
二、集合的表示方法
1、列举法：将集合中的元素一一列举出来，卸载大括号内表示集合的方法。注意事项：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号。
2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内来表示集合的
{|p p适合的条件，其中p叫做代表元素。
方法。它的一般形式是}
注意事项：(1)、对于竖号“|”左边“p”的姓氏引起足够的重视，看下面几个例子：
① 对于集合}{2|10
A x x x =+-=，A 中的元素是方程210x x +-=的解集，A
即是方程的解集。 ② 对于集合()}{,|240N x y x y =-+>，N 中的元素可以看做是不等式
240x y -+> 所表示的平面区域，即直线240x y -+=的右下方的坐标平面所有的点构成的集合。
（2）、此外，我们在用描述法的时候还应注意到一下问题：
①写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表示的元素符号）；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应该准备使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥用于描述的语句力求简明、准确。
3、图示法：为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，例如：如图表示集合}{1,2,3,4,5。图像法，也叫做venn 图法。
三、 集合中元素的三大性质
1、确定性：设A 施一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 或者是A 的元素，或者是不是A 是元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
2、互异性：集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。即集合中的元素不重复，两个或两个以上的相同的元素都认为是一个元素，在用列举法表示时，也只能写一个。例如方程2210x x ++=的解组成的集合A ，必须写成}{1A =-。
3、无序性：集合中的元素不考虑顺序，对于元素相同而元素顺序不同的集合认为是相同的集合。例如集合}{}{1,2,3,4
4,3,2,1与是相同的集合。
四、 集合的分类
1）按元素的属性：数集（元素是数），点集（元素是点），直线集（元素是直线）等等，等等。
2）按元素的多少：有限集（元素的个数是有限个），无限集（元素的个数是无限个）和空集（不含有任何元素）
3）常用的数集及符号表示：N （非负整数集，或自然数集），N*或N +（正整数集，或除了0以外的自然数集），Z （整数集），Q （有理数集），R （实数集）
五、 集合与集合间的关系
（1）、元素与集合的关系
属于：如果a 是集合A 的元素，我们就说a 属于集合A ，记作a A ∈. 不属于：如果a 不是集合A 的元素，我们就说a 不属于集合A ，记作a A ?.
（2）、集合与集合间的关系
1）子集：若对于任意的x A ∈，都有x B ∈，则称A 是B 的子集，记作()A B B A ??或。 2）真子集：若A B ?，且至少有,b A b B ?∈，则称A 是B 的真子集，记作A B （或B A ）。
3）集合相等：对于两个集合A 、B ，如果A B ?，同时B A ?，那么集合A 和集合B 叫做相等集合，记作A=B 。
4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，通常记为?。特别注意：0，}{0，?，}{?的关系。
此外，?是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。
5）venn
如A 是B
6）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合叫做集合A 与B 的交集，记为}{,=|,A B A B x x A x B ??∈∈即且。
性质：;;
;
;;;
A A A A A
B B A A B A A B B A B A B A A B B A B
?=??=??=??????=???=??
7）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做集合A 与集合B 的并集，记为}{,=|,A B A B x x A x B ??∈∈即或。
性质：;;
;
;;;
A A A A A A
B B A A B A A B B A B A A B A B B B A
?=??=?=??????=???=??
8）全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 。全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此全集因研究问题而异。例如，在研究数集时，常常把实数集R 看做全集。
9）补集：一般地，设U 是一个全集，A 是U 的一个子集，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集U 中的补集（或余集）。记为 U A={}|,x x U x A ∈∈且。
性质：A U A =U; A U A=?; U ( U A) =A; U (A B)= ( U A) ( U B);
U (A B)= ( U A) ( U B); U ?= U; U U=?.
六、 集合的运算律
1、交换律
;A B B A A B B A
?=??=? 2、结合律
()();()()A B C A B C A B C A B C
??=????=?? 3、分配律
()()();()()()
A B C A B A C A B C A B A C ??=?????=???