二次函数压轴题之平行四边形存在性问题

平行四边形存在性问题

考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分．

这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为：A B D C

A

B D

C x x x x y y y y -=-??-=-?，

可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．

y D -y C

x D -x C

y A -y B

x A -x B

A

B

C D

（2）对角线互相平分转化为：2222

A C

B D

A

C B

D x x x x y y y y ++?=???++?=??，

可以理解为AC 的中点也是BD 的中点．

D

C

B

A

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D B

A B D C A

C D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+??→??

-=-+=+??， 2222

A C

B D

A

C B

D x x x x y y y y ++?=???

++?=??→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+??+=+?． 当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）

以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？

反例如下：

D

之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．

虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．

（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．

【题型分类】

平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动

已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．

D 3

D 2

D 1

O

y

x

C

B

A

思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：

设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得： （1）BC 为对角线时，531352m n +=+??+=+?，可得()17,6D ；

（2）AC 为对角线时，135253m

n +=+??+=+?，解得()21,4D -；

（3）AB 为对角线时，153235m

n +=+??+=+?

，解得()33,0D ．

当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可． 比如：1=D B C A +-，2=D A C B +-，3D A B C =+-．（此处特指点的横纵坐标相加减）

2．两定两动

已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．

【分析】

设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）． （1）当AB 为对角线时，130120m n +=+??+=+?，解得43m n =??=?，故C （4，0）、D （0，3）；

（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+??+=+?，解得2

1m n =??=-?，故C （2，0）、D （0，-1）；

（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+??+=+?，解得2

1m n =-??=?

，故C （-2，0）、D （0，1）．

【动点综述】

“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．

从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．

找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； （2）对角线互相平分．

但此两个性质统一成一个等式： A C B D A

C B

D x x x x y y y y +=+??+=+?，

两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．

由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．

【2019宜宾中考】

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．

（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；

（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x

轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标，并

求△P AB 面积的最大值．

【分析】

（1）抛物线：223y x x =--，直线AB ：3y x =-；

（2）考虑EC ∥MN ，故若使点M 、N 、C 、E 是平行四边形，则EC =MN 即可，

∵E （1，-2）、C （1，-4）， ∴EC =2，

设M 点坐标为（m ，m -3）（m >1），则N 点坐标为()

2,23m m m --， 则MN =()()222333MN m m m m m =----=- 由题意得：232m m -=， 232m m -=

，解得：1m =

，2m =（舍）， 对应P

点坐标为??

； 232m m -=-，解得：32m =，41m =（舍）． 对应P 点坐标为（2，-1）．

综上，P

点坐标为??

或（2，-1）． （3）铅垂法可解．

【2018河南中考（删减）】

如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过B 、C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，

C 重合）

，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．

【分析】

（1）265

y x x

=-+-；

（2）考虑到AM∥PQ，故只需AM=PQ即可．

过点A作BC的平行线，与抛物线交点即为P点，

易得直线AP的解析式：1

y x

=-，

联立方程：2651

x x x

-+-=-，解得：

11

x=（舍），

24

x=，故对应P点坐标为（4，3）；

作点A关于B点的对称点A'，过点A'作BC的平行线，

与抛物线的交点亦为题目所求P点，

易求直线解析式：9

y x

=-，

联立方程：2659

x x x

-+-=-

，解得：

1

x

，

2

x=．

故对应P

点坐标为

??

、

??

．

综上所述，P点坐标为（4，3）

、

??

、

??

．

【2018郴州中考（删减）】

如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形

CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）抛物线：223y x x =-++； （2）由题意可知CP 、DM 为对角线，

考虑DM 在直线x =-1上，故CP 中点在直线x =-1上，

∵点C 坐标为（0，3），故点P 横坐标为2，代入解析式得P （2，3）， 易知M 点坐标为（1，6）．

【三定一动】

（2018·恩施州中考删减）如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为(1,0)-，2OC =，3OB =，点D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；

（2）P 为坐标平面内一点，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标．

【分析】

（1）抛物线：224

233

y x x =-++；

（2）设P 点坐标为（m ，n ），又B （3，0）、C （0，2）、D 813??

???

，

①若BC 为对角线，由题意得：3018023m n +=+???+=+??，解得：223m n =??

?=-??

，

故1P 的坐标为22,3?

?- ??

?；

②若BD 为对角线，由题意得：3108023m n +=+???+=+??，解得：4

23m n =??

?=??

，

故2P 坐标为24,3??

???；

③若BP 为对角线，由题意得：3018023m n +=+???+=+??，解得：2143m n =-??

?=??

，

故3P 坐标为142,3??

- ??

?．

综上所述，P 点坐标为22,3?

?- ??

?、24,3?? ???、142,3??- ???．

（2018·济宁中考删减）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(3,0)A ，(1,0)B -，(0,3)C -．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是

平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）抛物线：223y x x =--；

（2）列方程组求：设P ()

2,23m m m --、Q (),0n ，又B （-1，0）、C （0，-3），

若BC 为对角线，由题意得：2

1003230m n m m -+=+??-=--+?

，解得：23m n =??=-?或0

1m n =??=-?（舍）， 故对应的P （2，-3）；

若BP 为对角线，由题意得：21023003m n m m -=+??--+=-?

，解得：21m n =??=?或0

1m n =??=-?（舍），

故对应的P （2，-3）；

若BQ 为对角线，由题意得：2

1000233n m m m -=+??+=---?，

解得：12m n ?=??=+??

12m n ?=??=-??， 故对应的

P ()1+

、()

1．

综上所述，P 点坐标为（2，-3）、()1、()

1．

（2019·包头中考删减）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；

（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）抛物线：224

233

y x x =-++，对称轴：直线x =1；

（2）设M 点坐标为224,233m m m ??

-++ ???

，N 点坐标为()1,n ，

又B （3，0）、C （0，2）

若BC 为对角线，由题意得：2301

24

02233m m m n +=+??

?+=-+++??

，解得：20m n =??=?， 故M 点坐标为（2，2）；

若BN 为对角线，由题意得：23102402233m n m m +=+???+=-+++??，解得：4

43m n =??

?=-??

，

故M 点坐标为104,3?

?- ???；

若BM 为对角线，由题意得：23102420233m m m n +=+???-+++=+??，解得：2

163m n =-??

?=-??

，

故M 点坐标为102,3?

?-- ???．

综上所述，M 点坐标为（2，2）、104,3?

?- ??

?、102,3??-- ???．

（2019·咸宁中考删减）如图，在平面直角坐标系中，直线1

22y x =-+与x 轴交于点A ，

与y 轴交于点B ，抛物线21

2

y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）已知E ，F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B ，O ，E ，F 为顶点的四边形是

平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标．

【分析】

（1）抛物线：213

222

y x x =-++；

（2）设E 点坐标为1,22m m ??-+ ???，F 点坐标为213,222n n n ??

-++ ???

，

又B （0，2）、O （0，0），

①若OB 为对角线，由题意得：200113

0222222m n

m n n +=+??

?+=-+-++??，

解得：1122m n ?=--??=+??

或2222m n ?=-+??=-??

故E

点坐标为(2--

或(2-+；

②若OE 为对角线，由题意得：200113

0222222m n

m n n +=+??

?-+=-++??，

解得：3322m n ?=+??=+??

4422m n ?=-??=-??

故E

点坐标为(2+

或(2-；

③若OF 为对角线，由题意得：200131

0222222

n m

n n m +=+??

?-++=-+??，解得：5522m n =??=?， 故E 点坐标为（2，1）．

【两定两动：抛物线+抛物线】

（2019·连云港中考删减）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:L y x bx c =++过点(0,3)C -，与抛物线2213

:222

L y x x =--+的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q

分别是抛物线1L 、2L 上的动点． （1）求抛物线1L 对应的函数表达式；

（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标．

备用图

【分析】

（1）1L 解析式：223y x x =--；

（2）虽然两个动点均在抛物线上，仍可用设点坐标的方法求解．

设P 点坐标为()

2,23m m m --，Q 点坐标为213,222n n n ??

--+ ???

，

又C （0，-3）、A （2，-3），

①若CA 为对角线，由题意得;2

202133323222m n

m m n n +=+??

?--=----+??， 解得：35m n =-??=?

或0

2m n =??=?（舍），故P 点坐标为（-3，12）；

②若CP 为对角线，由题意得：2

202133233222m n

m m n n +=+??

?-+--=---+??， 解得：31m n =??=?或43

10

3m n ?

=-

????=-??

，故P 点坐标为（3，0）或413,39??- ???；

③若CQ 为对角线，由题意得：22

021********n m

n n m m +=+??

?---+=-+--??， 解得：11m n =-??=?

或0

2m n =??=?（舍），故P 点坐标为（-1，0）．

综上所述，P 点坐标为（-3，12）、（3，0）、413,39??

- ???

、（-1，0）．

【四动点构造】

（2019·锦州中考删减）如图，在平面直角坐标系中，一次函数3

34

y x =-+的图像与x 轴

交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ． （1）求抛物线的函数表达式

（2）F 是第一象限内抛物线上的动点

（不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．

【分析】

（1）抛物线：213

34

y x x =-+

+； （2）本题4个点皆为动点，使四边形DEGF 为平行四边形易，而使周长最大难．

设E 点坐标为3,34m m ??-+ ???，则D 点坐标为213,34m m m ??

-++ ???，

设F 点坐标为213,34n n n ??-++ ???，则G 点坐标为3,34n n ??

-+ ???，

2213333444DE m m m m m ??

=-++--+=-+ ???

， 2213333444FG n n n n n ??

=-+

+--+=-+ ???

， 由DE =FG ，可得：2244m m n n -+=-+， ∵m ≠n ，∴4m n +=，

过点G 作GH ⊥CD 交CD 于H 点，则()()555

425442

EG n m m m =-=-=-， 又24DE m m =-+， ∴22524523102DEGF

C

m m m m m ?

?=-++-=-++ ??

?，

当34m =

时，四边形DEGF 是平行四边形且周长最大，此时G 点坐标为139,416??

???

．